№1 Механика. Механическое движение.

Механика — наука о движении материальных объектов и взаимодействии между ними. Важнейшими разделами механики являются классическая механика и квантовая механика. Объекты, изучаемые механикой, называются механическими системами. Механическая система обладает определённым числом k степеней свободы и описывается с помощью обобщённых координат q₁, … q_k. Задача механики состоит в изучении свойств механических систем, и, в частности, в выяснении их эволюции во времени.

Наиболее  важными механическими  системами являются:1) материальная точка 2)гармонический осциллятор 3)математический маятник 4)крутильный маятник 5)абсолютно твёрдое тело 6)деформируемое тело 7)абсолютно упругое тело 8)сплошная среда

Механическим движением тела называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени. При этом тела взаимодействуют по законам механики.

Виды механического движения

Механическое движение можно рассматривать для разных механических объектов:

Движение материальной точки полностью определяется изменением её координат во времени (например, двух на плоскости). Изучением этого занимается кинематика точки.   

1)Прямолинейное движение точки (когда она всегда находится на прямой, скорость параллельна эта прямой)

2)Криволинейное движение это движение точки по траектории, не представляющей собою прямую, с произвольным ускорением и произвольной скоростью в любой момент времени (например, движение по окружности).

Движение твёрдого тела складывается из движения какой-либо его точки (например, центра масс) и вращательного движения вокруг этой точки. Изучается кинематикой твёрдого тела.

1)Если вращение  отсутствует, то движение называется поступательным и полностью определяется движением выбранной точки. Заметим, что при этом оно не обязательно является прямолинейным.

2)Для описания  вращательного движения — движения тела относительно выбранной точки, например закреплённого в точке, используют Углы Эйлера. Их количество в случае трёхмерного пространства равно трём.

3)Также для твёрдого  тела выделяют плоское движение — движение, при котором траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях, при этом оно полностью определяется одним из сечений тела, а сечение тела положением любых двух точек.

Движение сплошной среды. Здесь предполагается, что движение отдельных частиц среды довольно независимо друг от друга (обычно ограничено лишь условиями непрерывности полей скорости), поэтому число определяющих координат бесконечно (неизестными становятся функции). 

№4 Основные законы динамики материальной точки

Второй закон  Ньютона можно записать в другой форме. Согласно определению:

Вектор  называется импульсом или количеством движения тела и совпадает по направлению с вектором скорости , а выражает изменение вектора импульса. Преобразуем последнее выражение к следующему виду: Вектор называется импульсом силы . Это уравнение является выражением основного закона динамики материальной точки: изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы.

Динамика – раздел механики, в котором изучаются законы движения материальных тел под действием сил. Осн.законы механики (зак-ны Галилея-Нютона): закон инерции (1-ый закон): материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других тел не изменит это состояние; основной закон динамики ( 2-ой закон (Ньютона)): ускорение матер.точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление  ; закон равенства действия и противодействия (3-й закон (Ньютона)): всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие; закон независимости сил: несколько одновременно действующих на матер.точку сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, равная их геометрической сумме. В классической механике масса движущегося тела принимается равной массе покоящегося тела, – мера инертности тела и его гравитационных свойств. Масса = весу тела, деленному на ускорение свободного падения. m=G/g, g»9,81м/с². g зависит от географической широты места и высоты над уровнем моря – не постоянная величина. Сила – 1Н (Ньютон) = 1кг×м/с². Система отсчета, в которой проявляются 1-ый и 2-ой законы, назыв. инерциальной системой отсчета. Дифференциальные уравнения движения материальной точки: , в проекции на декартовы оси коорд.: , на оси естественного трехгранника: ma_t=åF_it;   ma_n=åF_in;   ma_b=åF_ib (a_b=0 – проекция ускорения на бинормаль), т.е.  (r – радиус кривизны траектории в текущей точке). Вслучае плоского движения точки в полярных координатах: . Две основные задачи динамики: первая задача динамики – зная закон движения точки, определить действующую на нее силу; вторая задача динамики (основная) – зная действующие на точку силы, определить закон движения точки.  – дифференциальное ур-ие прямолинейного движения точки. Дважды интегрируя его, находим общее решение x=f(t,C₁,C₂).

Постоянные интегрирования C₁,C₂ ищут из начальных условий: t=0, x=x₀, =V_x=V₀, x=f(t,x₀,V₀) – частное решение – закон движения точки. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

№6 Закон изменения  импульса механической системы

Физическое содержание понятия импульс или количество движения  определяется предназначением этого понятия. Импульс – один из параметров, описывающих качественно и количественно движение механической системы.

Теорема об изменении  импульса незамкнутой системы: Если система незамкнута, то ее импульс  не сохраняется, и изменение количества движения такой системы с течением времени выражается формулой:

 Вектор K называется главным вектором  внешних действующих сил.

(Доказательство) Продифференцируем (4):

 Воспользуемся уравнением движения незамкнутой системы:

ч.т.д.

Импульс                                                       Импульс тела (материальной точки) — векторная величина, равная произведению массы тела (материальной точки) на её скорость. Импульс системы тел (материальных точек) — векторная сумма импульсов всех точек.                              Импульс силы — произведение силы на время её действия (или интеграл по времени, если сила изменяется со временем).                         Закон сохранения импульса: в инерциальной системе отсчета импульс замкнутой системы сохраняется.

 Изменение импульса системы материальных точек — в инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса механической системы равна векторной сумме внешних сил, действующих на материальные точки системы. Силы, действующие на частицу в механической системе, можно подразделить на внутренние и внешние силы (рис. 5.2). Внутренними называются силы, которые обусловлены взаимодействием частиц системы между собой. Внешние  силы характеризуют действие не входящих в систему (т.е. внешних) тел, на частицы системы. Система, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой.

 
№10 Механическая работа                                    Механической работой или просто работой постоянной силы  на перемещении  называется скалярная физическая величина, равная произведению модуля силы, модуля перемещения и косинуса угла между этими векторами.                           Если работу обозначить буквой А, то по определению А=Fscos(a) α – угол между силой и перемещением.                                             Произведение Fcosa представляет собой проекцию силы на направление перемещения. Именно от величины этой проекции зависит то, какой будет работа силы на данном перемещении. Если, в частности, сила F перпендикулярна перемещению, то эта проекция равна нулю и никакой работы при этом сила F не совершает. При других значениях угла  работа силы может быть как положительной   (когда   0°≤α<90°),   так   и   отрицательной   (когда 90°<α≤180°).    Единицей работы в СИ является 1 Дж (джоуль). 1 Дж — это работа, которую совершает постоянная сила в 1 Н на перемещении в 1 м в направлении, совпадающем с линией действия этой силы.

Работа любой  постоянной силы обладает следующими двумя замечательными свойствами:                 1.Работа постоянной силы на любой замкнутой траектории всегда равна нулю.                          2.Работа постоянной силы, совершаемая при перемещении частицы из одной точки в другую, не зависит от формы траектории, соединяющей эти точки.                                                           По формуле А=Fscos(a) можно находить работу лишь постоянной силы. Если же действующая на тело сила меняется от точки к точке, то работа на всей территории определяется по формуле:A=A1+A2+…+An                                                           Когда какой-либо механизм совершает работу, надо отличать полную работу от полезной, т. е. от той работы, ради которой и используется данное устройство (механизм)                Коэффициент полезного действия равен:

Мощность                                                          Для характеристики процесса совершения работы важно знать также время, за которое она совершается. Быстроту совершения работы характеризуют особой величиной, называемой мощностью.                                                      Мощностью называется скалярная физическая величина, равная отношению работы ко времени, в течение которого она была совершена. Обозначается буквой Р: P=A/t=Fv Единицей мощности в СИ является 1 Вт (ватт). 1 Вт — это такая мощность, при которой за 1 с совершается работа в 1 Дж. 
 
 
 
 
 

 
№11 Кинетическая энергия                                      С понятием работы тесно связано другое фундаментальное физическое понятие — понятие энергии. Поскольку в механике изучается, во-первых, движение тел, а во-вторых, взаимодействие тел между собой, то принято различать два вида механической энергии: кинетическую энергию, обусловленную движением тела, и потенциальную энергию, обусловленную взаимодействием тела с другими телами. Кинетическая энергия, очевидно, должна зависеть от скорости движения тела v, а потенциальная — от взаимного расположения взаимодействующих тел. Кинетической энергией частицы называется скалярная физическая величина, равная половине произведения массы этой частицы на квадрат ее скорости.

.

Теорема о кинетической энергии: Изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на это тело,

Если   - конечная кинетическая энергия, а -начальная кинетическая энергия, то .

Если движущееся вначале тело постепенно останавливается, например, ударившись о какую-либо преграду, и его кинетическая энергия  E_k обращается в нуль, то совершенная им при этом работа будет полностью определяться его начальной кинетической энергией.

Физический  смысл кинетической энергии: кинетическая энергия тела равна работе, которую оно способно совершить в процессе уменьшения своей скорости до нуля. Чем больше «запас» кинетической энергии у тела, тем большую работу оно способно совершить.  

№12 Потенциальная энергия

Вторым видом  энергии является потенциальная  энергия–энергия, обусловленная взаимодействием  тел.

Величину, равную произведению массы тела т на ускорение свободного падения g и на высоту h тела над поверхностью Земли, называют потенциальной энергией взаимодействия тела и Земли.  Условимся обозначать потенциальную энергию буквой Е_р.

Е_р = mgh.                           Величину, равную половине произведения коэффициента упругости k тела на квадрат деформации х, называют потенциальной энергией упруго деформированного тела:

В обоих случаях  потенциальная энергия определяется расположением тел системы или частей одного тела относительно друг друга.

Введя понятие  потенциальной энергии, мы получаем возможность выразить работу любых  консервативных сил через изменение  потенциальной энергии. Под изменением величины понимают разность между ее конечным и начальным значениями

 Эта формула позволяет дать общее определение потенциальной энергии. Потенциальной энергией системы называется зависящая от положения тел величина, изменение которой при переходе системы из начального состояния в конечное равно работе внутренних консервативных сил системы, взятой с противоположным знаком.           Знак «минус» в формуле не означает, что работа консервативных сил всегда отрицательна. Он означает лишь, что изменение потенциальной энергии и работа сил в системе всегда имеют противоположные знаки.                    Нулевой уровень – уровень отсчета потенциальной энергии. Поскольку работа определяет лишь изменение потенциальной энергии, то только изменение энергии в механике имеет физический смысл. Поэтому можно произвольно выбрать состояние системы, в котором ее потенциальная энергия считается равной нулю. Этому состоянию соответствует нулевой уровень потенциальной энергии. Ни одно явление в природе или технике не определяется значением самой потенциальной энергии. Важна лишь разность значений потенциальной энергии в конечном и начальном состояниях системы тел.                             Обычно в качестве состояния с нулевой потенциальной энергией выбирают состояние системы с минимальной энергией. Тогда потенциальная энергия всегда положительна.