Механика

Рассмотрим движение точки М по произвольной траектории (рис. 2) . Пусть в момент времени t ее положение характеризуется радиусом-вектором r0 . Через промежуток времени ^t точка займет на траектории новое положение М1, характеризуемое радиусом- вектором r. При этом она прошла путь длиной (4), а радиус вектор получил превращение: ^r=r-ro(5).

Направленный отрезок  прямой, соединяющий некоторое начальное  положение точки с ее последующим  положением, называется перемещением. Вектор перемещения точки ^r есть векторная разность радиусов-векторов начального r0 и конечного положений r точки. При прямолинейном движении точки перемещение равно пройденному пути, при криволинейном движении оно по модулю меньше пути. Средняя скорость на участке ММ1, равная отношению (6)

Движение на участке  ММ1 характеризуется направлением вектора  MM1 и значением скорости Vcp. Следовательно, можно ввести вектор, численно равный средней скорости и имеющий направление вектора перемещения: (7)

Беря бесконечно малый промежуток времени (^t->0), в течение которого происходит движение, получим, что отношение ^r/^t стремится к пределу, и тогда lim(^r/^t)=V(8)

Будет выражать вектор мгновенной скорости, т.е. скорости в  данный момент времени. При бесконечном  уменьшении ^t различие между^S и ^r будет уменьшатся и в пределе. Они совпадут, тогда на основании (4) можно записать, что модуль скорости: V=lim(^S/^t)=dS/dt (9) т.е. мгновенная скорость при неравномерном движении численно равна первой производной пути по времени.

При неравномерном  движении необходимо узнать закономерность изменения скорости со временем. Для  этого вводится величина, характеризующая быстроту изменения скорости со временем, т.е. ускорение. Ускорение, как и скорость, является векторной величиной. Отношение приращения скорости ^V к промежуток времени ^t, выражает среднее ускорение:acp=^V/^t(10). Мгновенная скорость численно равна пределу среднего ускорения при стремлении промежутка времени ^t к нулю: d=lim(^V/^t)=dV/dt=d^2S/dt^2(11) 
Равномерное прямолинейное движение. При равномерном прямолинейном движении материальной точки мгновенная скорость не зависит от времени и и в каждой точке траектории направлена вдоль траектории. Средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости точки: (12). Таким образом, (13). График (15) при равномерном движении представляется прямой линией, параллельной оси времени Ot рис. Вид графиков (16), (17) и (18) зависит от направления вектора V и от выбора положительного направления той или иной координатной оси. При равномерном и прямолинейном движении со скоростью V вектор перемещения ^t материальной точки за промежуток времени: ^t=t-t0(19) равен: (20)

Путь S, пройденный материальной точкой при равномерном  прямолинейном движении за промежуток времени ^t=t-t0(21), равен модулю ^t вектора перемещения точки за тот же промежуток времени. Поэтому (22) или, если,t0=0 , (23)

Равнопеременное прямолинейное движение. Равнопеременное прямолинейное движение является частным случаем неравномерного движения, при котором ускорение остается постоянным и по модулю и по направлению(a=const). При этом среднее ускорение acp равно и мгновенному ускорению (24). Если направление ускорения а совпадает с направлением скорости V точки, движение называется равноускоренным. Модуль скорости равноускоренного движения точки с течением времени возрастает. Если направления векторов а и V противоположны, движение называется равнозамедленным. Модуль скорости при равнозамедленном движении с течением времени уменьшается. Изменение скорости (25) в течение промежутка времени при равнопеременном прямолинейном движении равно (26) или (27). Если в момент начала отсчета времени скорость точки равна V0 (начальная скорость) и ускорения а известно, то скорость V в произвольный момент времени t: (28). Проекция вектора скорости на ось ОХ прямоугольной Декартовой системы координат связана с соответствующими проекциями векторов начальной скорости и ускорения уравнением: (29). 
Вектор перемещения Dr точки за промежуток времени при равнопеременном прямолинейном движении с начальной скоростью и ускорением а равен: (30), а его проекция на ось ОХ прямоугольной декартовой системы координат при равна: (31). Путь S, пройденный точкой за промежуток времени в равноускоренном прямолинейном движении с начальной скоростью и ускорением а , при равен: (32).При путь равен: (33). 
При равнозамедленном прямолинейном движении формула пути: (34).

№9 Момент инерции твердого тела 

  Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться относительно некоторой оси (рис.). Момент импульса i-й точки тела относительно этой оси определяется формулой:

.   (1.84) Выражая линейную скорость точки через угловую скорость тела и используя свойства векторного произведения, получим

   (1.85) Спроектируем момент импульса на ось вращения: — эта проекция определяет момент относительно этой оси. Получим

(1.86) где z_i,- координата i—точки вдоль оси Z, a R_i, — расстояние точки от оси вращения. Суммируя по всем частицам тела, получим момент импульса всего тела относительно оси вращения:

(1.87)                                        Величина

(1.88) является моментом инерции  тела относительно оси вращения. Момент импульса тела относительно  данной оси вращения принимает,  таким образом, вид: M_z=J·ω.   (1.89) Полученная формула аналогична формуле P_z = mV_z для поступательного движения. Роль массы играет момент инерции, роль линейной скорости — угловая скорость. Подставив выражение (1.89) в уравнение для момента импульса (2.74), получим

J·β_z = N_z.        (1.90) где β_z. — проекция на ось вращения углового ускорения . Это уравнение эквивалентно по форме второму закону Ньютона.                                                      В общем случае несимметричного тела вектор M не совпадает по направлению с осью вращения тела и поворачивается вокруг этой ocи вместе с телом, описывая конус. Из соображений симметрии ясно что для однородного тела, симметричного относительно оси вращения, момент импульса относительно точки, лежащей на оси вращения, совпадает с направлением оси вращения. В этом случае имеет место соотношение:

. (1.91) Из выражения (1.90) следует, что при равенстве нулю момент внешних сил произведение Jω остается постоянным Jω = const и изменение момента инерции влечет за собой соответствующее изменение угловой скорости вращения тела. Этим объясняется известное явление, состоящее в том, что человек, стоящий на вертящейся скамье, разводя руки в стороны либо прижимая их к туловищу, изменяет частоту вращения.              Из полученных выше выражений ясно, что момент инерции является такой же характеристикой свойства инерции макроскопического тела в отношении вращательного движения, как инертная масса материальной точки в отношении поступательного движения. Из выражения (1.88) следует, что момент инерции вычисляется путем суммирования по всем частицам тела. В случае непрерывного распределения массы тела по его объему естественно перейти от суммирования к интегрированию, вводя плотность тела. Если тело однородно, то плотность определяется отношением массы к объему тела: p=m/V (1.92)                                                                 Для тела с неравномерно распределенной массой плотность тела в некоторой точке определяется производной p=dm/dV (1.93)                                             Момент инерции представим в виде:

, (1.94)

где DV — микроскопический объем, занимаемый точечной массой. Поскольку твердое тело состоит из большого числа частиц, практически непрерывно заполняющих весь занимаемый телом объем, в выражении (1.94) микроскопический объем можно считать бесконечно малым, в то же время полагая, что точечная масса «размазана» по этому объему. Фактически мы производим сейчас переход от модели точечного распределения масс к модели сплошной среды, какой  в действительности и является твердое тело благодаря большой его плотности. Произведенный переход позволяет в формуле (2.94) заменить суммирование по отдельным частицам интегрированием по всему объему тела: (1.95)

Рис. Вычисление момента  инерции однородного  диска                                                  Здесь величины ρ и r являются функциями точки, например, ее декартовых координат.                                     Формула (1.95) позволяет вычислять моменты инерции тел любой формы. Вычислим в качестве примера момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис.).     Поскольку диск однороден, плотность можно вынести из-под знака интеграла. Элемент объема диска dV = 2πr·b·dr, где b— толщина диска. Таким образом,

,              (1.96) где R — радиус диска. Введя массу диска, равную произведению плотности на объем диска π·R² b, получим:

. (1.97) Нахождение момента инерции диска в рассмотренном примере облегчалось тем, что тело было однородным и симметричным, а момент инерции вычислялся относительно оси симметрии тела. В общем случае вращения тела произвольной формы вокруг произвольной оси, вычисление момента инерции может быть произведено с помощью теоремы Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями: J=J₀+ma². (1.98)

      №24 Основной закон релятивистской динамики.

 
     Релятивистская энергия   Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина постоянная. Однако в конце XIX в. на опытах с электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его движения, а именно возрастает с увеличением v по закону  
    

 где  - масса покоя, т.е. масса материальной точки, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой точка покоится; m – масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v.  
     Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует, что основной закон динамики Ньютона  
    

 оказывается  инвариантным по отношению к  преобразованиям Лоренца, если  в нем справа стоит производная  от релятивистского импульса:  
    

 или  
    

 где  
    

 Из приведенных  формул следует, что при скоростях,  значительно меньших скорости  света в вакууме, они переходят  в формулы классической механики. Следовательно, условием применимости законов классической механики является условие . Законы Ньютона получаются как следствие СТО для предельного случая . Таким образом, классическая механика – это механика макротел, движущихся с малыми (по сравнению со скоростью света в вакууме) скоростями.  
     Вследствие однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы тел сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.  
     Изменение скорости тела в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии, т.е. между массой и энергией существует взаимосвязь. Эту универсальную зависимость – закон взаимосвязи массы и энергии – установил А. Эйнштейн:  
    

 Из (5.13) следует,  что любой массе (движущейся  m или покоящейся ) соответствует определенное значение энергии. Если тело находится в состоянии покоя, то его энергия покоя  
    

 Энергия покоя является внутренней энергией тела, которая складывается из кинетических энергий всех частиц, потенциальной энергии их взаимодействия и суммы энергий покоя всех частиц.  
     В релятивистской механике не справедлив закон сохранения массы покоя. Именно на этом представлении основано объяснение дефекта массы ядра и ядерных реакций.  
     В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии: изменение полной энергии тела (или системы) сопровождается эквивалентным изменением его массы:    
    

 Таким образом,  масса тела, которая в классической  механике является мерой инертности или гравитации, в релятивистской механике является еще и мерой энергосодержания тела.  
     Физический смысл выражения (5.14) состоит в том, что существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии.  
     Классическим примером этого является аннигиляция электрон-позитронной пары и, наоборот, образование пары электрон-позитрон из квантов электромагнитного излучения: