Методика сбора и обработки данных о надёжности элементов автомобиля

При экспоненциальном законе распределения вероятность безотказной работы не зависит от того, сколько проработало изделие с начала эксплуатации, а определяется конкретной продолжительностью рассматриваемого периода или пробега ∆x, называемого временем исполнения задания. Таким образом, эта модель не учитывает постепенного изменения параметров технического состояния, например, в результате изнашивания, старения и других причин, а рассматривает так называемые нестареющие элементы и отказы. Экспоненциальный закон распределения чаще всего используется при описании внезапных отказов, продолжительности ремонта и в ряд других случаев:

                                        ;                                                   (1.17)

                                        ,                                                     (1.18)

где λ – параметр потока отказов (для этого закона ,  M=σ, ν=1).

13. Проверить совпадение  опытного и теоретического законов  распределения случайной величины по критерию согласия. В процессе оценки совпадения определяют степень совпадения или расхождения опытной вероятности и дифференциальной функции или же накопленной опытной вероятности и интегральной функции в интервалах статистического ряда. Для определения совпадения или расхождения выбирают различные критерии: суммы квадратов отклонения дифференциальной функции от опытной вероятности, наибольшее или наименьшее отклонение кривой накопленных вероятностей от интегральной кривой теоретического закона распределения и т.д.

При обработке статистических данных по показателям надёжности автомобильного транспорта наиболее часто применяется критерий согласия Пирсона χ², определяемый по уравнению

                                     ,                                               (1.19)

где nу – число интервалов укрупнённого статистического ряда; mi - опытная частота в i-ом интервале статистического ряда; mt_i – теоретическая частота i-ом интервале статистического ряда.

Теоретическая частота

                                   ,                                       (1.20)

где N – число точек информации; F(ti) и  F(ti-1) – интегральные функции i-го и (i-1)-го интервалов статистического ряда.

Для определения интегральной функции F(ti) применяют уравнения:

при нормальном законе распределения

                                      ;                                         (1.21)

где xkt – значение конца i–го интервала.

При этом используют уравнение

                                           .

Значения функции F(ti) приведены в соответствующих таблицах.

при  законе распределения  Вейбулла-Гнеденко

                                     ,                                                 (1.22)

где а – параметр распределения  Вейбулла-Гнеденко.

Данную функцию также  определяют по соответствующим таблицам.

Для определения χ² строят укрупнённый статистический ряд, соблюдая условие: n_у>4, mi≥5. При этом допускается объединение соседних рядов, в которых mi<5. По сводной таблице для α=0,05 и числу степеней свободы r= nу-1-2 (где nу – число укрупнённых интервалов) находим табличное значение χ`<sup>2</sup><sub>0,05; r</sub>. Если  χ`²_{0,05; r} > χ²,  полученного по формуле (1.19) гипотеза о принятом распределении случайной величины подтверждается.

Проверить правдоподобность принятой гипотезы о принадлежности экспериментальных данных к тому или иному закону распределения можно с помощью критерия Романовского, который определяется по формуле

                                         ,                                                   (1.21)

где τ – число степеней свободы.

                                            τ = N-Z-1,

где  – Z число параметров теоретического закона; для нормального закона Z =2.

Если подсчитанный по формуле (1.21) критерий Романовского меньше трёх, то гипотеза оправдывается; если Kром≥3, то гипотеза о принятом законе отвергается. В последнем случае необходимо принять другой закон распределения и снова провести статистическую обработку данных.

Пример.

По результатам обработки  статистических данных ТР автомобиля были получены величины наработки элемента автомобиля до замены. Произвести точечную и вероятностную оценки наработки  до замены, определить закон распределения случайной величины и найти вероятность отказа F_i и безотказной работы R_i элемента в процессе эксплуатации.

Величины наработки  элемента до замены li, тыс. км представлены ниже.

(см. приложение 2)

25	41	48	56	129	85
112	66	29	89	118	62
69	59	91	74	31	79
88	75	11	114	45	98
50	107	81	70	72	18
72	36	48	65	5	84

 

Точечная оценка наработки до отказа.

Точечная оценка позволяет  предварительно судить о качестве изделия. Чем ниже средний ресурс и выше вариация, тем ниже качество изготовления изделия или ремонта изделия.

1. Случайные величины располагаем в порядке возрастания.

5; 11; 18; 25; 29; 31; 36; 41; 45; 48; 48; 50; 56; 59; 62; 65; 66; 69; 70; 72; 72; 74; 75; 79; 81; 84; 85; 88; 89; 91; 98; 107; 112; 114; 118; 129;

2. Определяем размах случайной величины R:

тыс. км.

3. Определяем среднее значение наработки до отказа:

тыс. км.

4. Определяем среднеквадратическое отклонение:

5. Определяем коэффициент вариации:

.

Коэффициент вариации служит для предварительного определения  закона распределения случайной величины. В нашем случае нормальный закон распределения.

Вероятностная оценка случайной величины.

1. Размах случайных величин разбиваем на 7 равных по величине интервалов    (2 столбец табл.3).
2. Производим группировку, т.е. определяем число случайных величин в 1-ом,  2-ом и последующих интервалах. Количество случайных величин попавших в определенный интервал называется частотой (3 столбец табл.3).

Таблица 3

Номер интер-вала	Интервал ∆l, тыс.км	Середина интервала lсерj , тыс.км	Частота, mi, шт.	Частость, ωi → рi	Дифференциальная функция распределения  f(x)	Вероятность Рi*	Оценка накопленных  вероятностей
							отказа Fi	безотказ-ности Ri
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	0-20	10	2	0,0556	0,0018	0,0367	0,0367	0,9633
2	20-40	30	4	0,1111	0,0058	0,1181	0,1547	0,8453
3	40-60	50	8	0,2222	0,0115	0,2330	0,3877	0,6123
4	60-80	70	10	0,2778	0,0139	0,2818	0,6696	0,3304
5	80-100	90	7	0,1944	0,0103	0,2090	0,8786	0,1214
6	100-120	110	4	0,1111	0,0047	0,0950	0,9735	0,0265
7	120-140	130	1	0,0278	0,0013	0,0265	1,0000	0
ВСЕГО:	-	-	36		0,0494	1,0000	-	-

3. Определяем частость: . Результаты заносим в 5 столбец табл.3. Частость является эмпирической величиной и служит для оценки вероятности.
4. Определяем среднее значение наработки до отказа:

тыс.км.

5. Определяем среднеквадратическое отклонение:

 тыс.км

6. Определяем коэффициент вариации:

.

7. Находим значения дифференциальной функции распределения. С учётом того, что значение коэффициента вариации υ<0,4, для заданного массива данных предпочтителен нормальный закон распределения, т.е.

.

Найденные значения заносим в 6 столбец  табл.3. В случае если коэффициент вариации υ_ф =0,40-0,85 распределение случайных величин подчиняется закону распределения Вейбулла-Гнеденко, если υ_ф =0,60-1,30 - экспоненциальному.

8. Определяем вероятность отказа, т.е. отношение числа случаев благоприятствующих возникновению событий к общему числу случаев:

. Найденные значения заносим  в 7 столбец табл.3.

9. Определяем вероятность отказов F_i, которая может быть получена суммированием интервальных вероятностей за наработку :

. Полученные значения заносим  в 8 столбец табл.3.

10.   Определяем вероятность безотказности работы R_i:

. Полученные значения заносим  в 9 столбец табл.3.

По данным таблицы  строим графики: ; ; ; ; (см. стр. ).

10. Составить отчёт,  используя титульный лист (см. приложение 6).

 

 

 

 

 

 

Контрольные вопросы:

1. Какие законы распределения случайных величин существуют?
2. Каким образом определяется коэффициент вариации?
3. Что такое частота случайных величин?
4. Что такое частость случайных величин?
5. Каким образом определяется нормальный закон распределения случайной величины?
6. Чем отличается дифференциальное и интегральное распределение случайной величины?
7. Если на протекание исследуемого процесса и его результат влияет сравнительно большое число случайных и взаимозависимых факторов, интенсивность действия которых зависит от достигнутого случайной величиной состояния, условия для какого закона распределения возникают?
8. Какой закон распределения чаще всего используется при описании внезапных отказов, продолжительности ремонта?
9. Каким образом определяется размах случайной величины?
10. Какой критерий согласия используют при проверке совпадение опытного и теоретического законов распределения случайной величины по критерию согласия?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1 

Параметры и  коэффициенты распределения Вейбулла

 

υ	b	Кв	Св	υ	b	Кв	Св	υ	b	Кв	Св
1,26	0,80	1,13	1,43	0,55	1,90	0,89	0,49	0,36	3,00	0,89	0,33
1,11	0,90	1,07	1,20	0,52	2,00	0,89	0,46	0,35	3,10	0,89	0,32
1,00	1,00	1,00	1,00	0,50	2,10	0,89	0,44	0,34	3,20	0,90	0,31
0,91	1,10	0,97	0,88	0,48	2,20	0,89	0,43	0,33	3,30	0,90	0,30
0,84	1,20	0,94	0,79	0,46	2,30	0,89	0,41	0,33	3,40	0,90	0,29
0,78	1,30	0,92	0,72	0,44	2,40	0,89	0,39	0,32	3,50	0,90	0,29
0,72	1,40	0,91	0,66	0,43	2,50	0,89	0,38	0,31	3,60	0,90	0,28
0,68	1,50	0,90	0,61	0,41	2,60	0,89	0,37	0,30	3,70	0,90	0,27
0,64	1,60	0,90	0,57	0,40	2,70	0,89	0,35	0,29	3,80	0,90	0,27
0,61	1,70	0,89	0,54	0,39	2,80	0,89	0,34	0,29	3,90	0,91	0,26
0,58	1,80	0,89	0,51	0,38	2,90	0,89	0,34	0,28	4,00	0,91	0,25