∆₁ = α₂ >0, если выполняется первое условие;

 

   ∆₂=                                                                                                                                                    = α₂ α₁ - α₃ α₀ >0, в этом случае система устойчива;

       

   ∆₃ = (-1)³⁺³ α₀ ∆₂^>0    всегда, если α₂>0 и выполняется первое условие. 

   Для того, чтобы система третьего порядка  была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты ее характеристического  уравнения имели одинаковые знаки, а произведение внутренних коэффициентов было больше произведения крайних.

   Но  может оказаться, что D₂<0, тогда система неустойчива, и ее необходимо скорректировать, не прибегая к структурной коррекции. Это, возможно меняя статический коэффициент передачи разомкнутой САР. Для данной системы k_раз = b₀, а коэффициент характеристического уравнения α₀=f(k_раз).

   В этом случае находят критическое  значение k_раз, при котором система находится на границе устойчивости, т. е. ∆₂=0.

   ∆₂= α₂ α₁ - α₃ α_{0 кр}=0

      α_{0 кр}= α₂ α₁/α₃

   k_{раз кр} (для данной системы)= α_{0 кр} - 1

   Выбирают  k_{раз ск} < k_{раз кр} и   α_{0 ск} = 1+ k_{раз ск}

     ∆_{2 скор. сист.} α₂ α₁ - α₃ α_{0 ск} >0, т. е. скорректированная система устойчива.

§3.    Частотный критерий Михайлова.

   Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик.

   Пусть характеристическое уравнение системы  имеет вид:

                (1)

Заменив в  Н(р) оператор р на оператор jω, получим вектор Н(jω)

   Пусть p₁, p₂,......, p_n  - корни характеристического уравнения. Тогда в соответствии с теоремой Безу характеристическое уравнение (1) можно переписать в виде:

 или

Н(jω)

           (2)

   Величина (jω-p_j) геометрически изображается векторами в комплексной плоскости, а Н(jω) представляет собой вектор, равный произведению элементарных векторов (jω-p_i), модуль этого вектора равен произведению модулей элементарных векторов, а фаза – сумма фаз элементарных векторов.

   Условимся считать вращение против часовой  стрелки положительным, тогда при  изменении ω от 0 до ∞ каждый элементарный вектор повернется на некоторый угол.

    Пусть p₁ - отрицательный действительный корень (“левый”, т. е. слева от мнимой оси), равный  “ -α ₁”. При изменении ω от 0 до ∞

     
 

arg(jω- p₁)                             
 
 

   т. е. каждый “левый” действительный корень характеристического уравнения  поворачивает вектор характеристического  уравнения в комплексной плоскости  при изменении ω от 0 до ∞ на угол в положительном направлении.

   Если  p₂ - положительный действительный корень (“правый”), равный “+α₂”,то при изменении ω от 0 до ∞

 

 arg(jω- p₂) 
 
 

                                                     

                                                                                                                                   

                                                                              

   т. е. каждый “правый” действительный корень характеристического уравнения поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞ на угол   в отрицательном направлении.

    Если p_3,4 - корени комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью, равные –α₃ ± jβ₃, то 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   
 
 
 
 
 

                                                                        

                            

   при изменении  ω от 0 до ∞

   arg(jω- p₃) (jω- p₄)

   т. е. пара комплексно-сопряженных корней с отрицательной действительной частью поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞ на угол +2(π/2).

   Если  p_5,6 - комплексно-сопряженные корни с положительной вещественной частью, равные  +α₄ ± jβ₄, то при изменении ω от 0 до ∞

   arg(jω- p₅) (jω- p₆)

 

 
 
 
 
 

      т.е. пара комплексно-сопряжённых корней с положительной действительной частью поворачивает вектор характеристического  уравнения в комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞ на угол 2π⁄2 в отрицательном направлении.

      Анализируя  выше изложенные случаи, можно сделать  вывод:

      Если  система устойчива - все корни  левые, и каждый даёт поворот на +π⁄2. Произведение векторов (jω-p_i)- тоже вектор. При изменении ω от 0 до ∞ его конец описывает кривую, называемую годографом Михайлова.

      Следовательно, если все корни левые, угол поворота вектора характеристического уравнения (вектор Михайлова) равен сумме углов  поворота векторов (jω-p_i), который в свою  очередь равен +nπ⁄2. Если же хоть один корень правый, угол поворота вектора Михайлова меньше nπ⁄2, где n- порядок характеристического уравнения.

      Таким образом, критерий Михайлова формулируется  так:

      САР устойчива, если при изменении ω  от 0 до ∞ годограф Михайлова проходит последовательно n квадрантов, не обращаясь в 0, или САР устойчива, если при изменении ω от 0 до ∞ вектор Михайлова поворачивается на угол nπ⁄2 в положительном направлении, где n- порядок характеристического уравнения.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Годограф устойчивых систем 
 

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      При увеличении статического коэффициента передачи разомкнутой САР, коэффициент  а₀ растёт и годограф смещается вправо, параллельно самому себе. При некотором а_{0 кр} годограф проходит через начало координат. Это граница устойчивости. Очевидно а_{0 кр}=АВ, т.е. отрезку действительной оси, отсекаемому годографом Михайлова.

§4.  Частотный критерий Найквиста.

 

      Этот  критерий позволяет судить об устойчивости замкнутых САР по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой САР.

      Замкнутая САР устойчива, если устойчива разомкнутая  САР и её АФЧХ не охватывает точки  с координатами (-1, j0)

                              

      Пусть W_раз=N(p)/M(p), тогда К(jω)_раз=N(jω)/M(jω) - выражение для АФЧХ. Построим АФЧХ разомкнутой САР.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Пусть АФЧХ проходит через точку (-1, j0). Что это значит?

 
 
 
 
 
 
 
 

   Пусть на выход разомкнутой САР подан  сигнал  x_вх=Аsinωt. При некоторой частоте ω, К(jω1)=-1=1е^-jπ,  т.е. амплитуда сигнала на выходе системы равна амплитуде на входе. Далее: Отрицательная обратная связь сдвигает фазу колебаний на –π, кроме того, сама система сдвигает фазу колебаний на –π, т.е. общий  сдвиг равен 2π.Входные и выходные колебания в фазе. Если замкнуть теперь САР, то выходные колебания совпадут с выходными. Входные можно отключить, а в системе всё равно останутся незатухающие колебания. Следовательно, САР находится на границе устойчивости.   

      Пусть К_об(jω)=A_об е^jφоб

                  К_рег(jω)=A_рег е^jφрег 

      тогда  К_раз(jω)= К_об(jω)·К_рег(jω)=-1, 

      т.е    А_об · А_рег  = 1       

                 φ_об + φ_рег  = - π        условие возникновения незатухающих колебаний 

      Если  же АФЧХ охватывает точку (-1, j0), то при этом 

          А_об · А_рег  >1       

          φ_об + φ_рег  = -π