Сравнив это выражение с выражением передаточной функции будем определять комплексную  передаточную функцию звена (системы) из передаточной функции, заменив в  ней оператор «р» на оператор «jw»,

     

   Из  выражения K(jw) видим, что каждой частоте w соответствует вектор K(jw), который при изменении частоты от 0 до ¥ описывает в комплексной плоскости кривую (годограф), называемую амплитудно-фазо-частотной характеристикой звена (системы) (АФЧХ).

   АФЧХ  показывает одновременно, как изменяется амплитуда и фаза выходного сигнала при изменении частоты входного сигнала.

   Можно построить отдельно амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики, показывающие как изменяется амплитуда и фаза в функции от частоты (w). 
 

Тема 2

Типовые динамические звенья САР

 

   По  виду динамических характеристик звенья САР делятся на

§1.  Безинерционные (усилительные или статические) звенья.

 

   К безинерционным звеньям относят  элементы, которые в динамике описываются  дифференциальным уравнением нулевого порядка вида

              y_вых(t) = kх_вх(t),     (1)

 где k-статический коэффициент передачи звена.

   Для получения выражения передаточной функции запишем уравнение (1) в  операторной форме (на основании  основного свойства преобразования Лапласа: )

   y_вых(p) = kx_вх(p)

   По  определению передаточная функция находится как отношение выхода ко входу в операторной форме при нулевых начальных условиях:

      (2)  

   Из  передаточной функции найдем статический  коэффициент передачи звена (в статике  все производные равны 0)

   Выражение передаточной функции совпадает  со статическим коэффициентом передачи, поэтому звено называют статическим.

   Из  передаточной функции находят переходную и весовую функции в операторной  форме:

       (3)

   Оригинал  переходной характеристики находят  из таблиц преобразования Лапласа.

   Переходная  характеристика безинерционного звена  имеет вид:

   Весовая функция в операторной форме

           ω(p)=W(p)         (4)

   Оригинал  весовой функции

ω(t) = L^-1 {k } = k d(t)  
 

 
 
 
 
 
 

   δ(t)- дельта-функция импульс бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды, площадь которого равно 1.

   Частотные характеристики звена найдем из выражения  комплексной передаточной функции:

                                        (5)

Амплитудно-частотная  и фазо-частотная характеристики звена имеют вид:

   АЧХ:

   ФЧХ:

   Графическое изображение частотных характеристик  представлено на рисунках:

     

      АФЧХ- годограф вектора K(jw) в комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до .

§2.  Инерционное звено  первого порядка.

      В динамике описывается дифференциальным уравнением первого порядка, которое  может быть приведено к виду:

                                                                  (1)

где   T - постоянная времени звена;

        k – статический коэффициент передачи звена;

      В операторной форме уравнение  имеет вид:

                 Т py(p) + y(p) = kx(p)

   А передаточная функция находится как:

   Статический коэффициент передачи звена:

      Переходная  характеристика в операторской форме:

                      (3)

   Оригинал  переходной характеристики:

   Графическое изображение переходной характеристике имеет вид: 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Касательная к начальной точке переходной характеристики отсекает на линии установившегося  режима отрезок, равный Т.

   T – время, за которое выходная величина достигает установившегося значение, если изменяется с начальной постоянной скоростью.

  

   Весовая функция инерционного звена первого  порядка в операторной форме

             (4) 

   Оригинал  весовой функции находит из таблиц преобразования Лапласа:

 
 
 
 
 
 
 

   Частные характеристики звена находим из выражения  К(jw):

 

Амплитудно-частотную  и фазо-частотную характеристи находим  следующим образом:

 

                                         j_вых(w) = arg K(jw) = – arctgw

Графический вид  характеристик показан на рисунки: 

 
 
 

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§3.    Идеальное дифференцирующее звено.

 

   Дифференциальное  уравнение звена:

       (1)

   Уравнение в операторной форме:

y_вых(р) = kpx_вх(p)

   Передаточная  функция:

           (2)

 

      т.е. в статике идеальные дифференцирующие звенья отсутствуют. Применяются такие  звенья при реализация  гибких обратных связей (в статике характеристики равны 0, динамические характеристики отличаются от 0). 

      Переходная  характеристика звена в операторной  форме:

                                         (3)

      Оригинал  переходной характеристики находим из таблиц:

       h(t)  = L^-1 {k}  = kd(t). 
 

        Частотные характеристики звена определим из выражения K(jw):

                                                                                  (4) 

АЧХ: A_вых(w) = ½K(jw)½_Aвх=1 = kw ,

                     ФЧХ:  j_вых(w) = arg K(jw)  = +p/2, 

то есть дифференцирующее звено вносит в систему опережение по фазе, равное 90^о.

   Графический вид характеристик дифференцирующего  звена:

§4.   Идеальное интегрирующее звено.

   Дифференциальное уравнение звена:

      

   Уравнение в операторной форме:

      py_вых(p) = kx_вх(p)

   Передаточная  функция и статический коэффициент  передачи:

   то  есть интегрирующее звено не имеет  статической характеристики в явно выраженной форме, она не определена. В статике такое звено является астатическим.

   Условная статическая характеристика (статический коэффициент) может быть определена:

      

   Переходная  характеристика в операторной форме

      

   Оригинал  переходной характеристики:

    
 
 

   Частотные характеристики звена определяются из

   А_вых(w) = | K(jw) |_Авх=1 = k/w        j_вых(w) = arg K(jw) = – p/2

 
 
 
 
 
 
 
 
 

§ 5.  Инерциальное звено второго порядка. Колебательное звено.

   Дифференциальное  уравнение инерционного звена второго  порядка:

   в операторной  форме:

      Т²₂p²y_вых(p) + T₁py_вых(p) + y_вых(p) = kx_вх(p)

   Передаточная  функция: