Астатическое  звено уменьшает статическую  ошибку системы до 0. Систему с  нулевой статической ошибкой (при  отсутствии остаточного отклонения между заданным и действительным значениями регулируемой величины) называется астатической.

   Система с наличием статической ошибки (при  наличии остаточного отклонения между заданным и действительным значениями регулируемой величины) называется статической.

Тема  4

Устойчивость  систем автоматического  регулирования

§1. Физическое и математическое определение устойчивости.

 Система автоматического  регулирования называется устойчивой, если после снятия возмущающего  воздействия, которое вывело её  из состояния равновесия, она  вновь возвращается в состояние  равновесия. Если система не возвращается  в состояние равновесия после снятия возмущения, она неустойчива.

              

             

      устойчивая система (кривые 1, 2) 
 
 

          

      неустойчивая (3). 
 
 

    Для определения математического условия устойчивости САР необходимо решить дифференциальное уравнение системы, когда правая часть этого уравнения  равна  0 (при снятии возмущающего воздействия), и посмотреть, как ведет y_вых (t) при t ® ¥.

    Пусть             

   Тогда дифференциальное уравнение системы в операторной форме:

α_npⁿy(p) + ... + α₁py(p) + α_oy(p) = b_mp^mx(p) + ... + b₁px(p) + b_ox(p)

   Оригинал  дифференциального уравнения:

   Для определения устойчивости системы, описываемой этим уравнением, снимем возмущения x(t)=0 и решим уравнение:

   

   Для этого  запишем характеристическое уравнение:

H(p) = α_npⁿ + .... + α₁p + α_o = 0. 

     Как видно из последнего выражения, характеристическое уравнение звена или системы – это знаменатель передаточной функции звена или системы, приравненный к нулю.

     Если p₁, p₂, ..., p_n – корни характеристического уравнения, то решение этого уравнения имеет вид:

        где C_i – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

   Рассмотрим  отдельные случаи решения дифференциального уравнения:

    1) p₁, p₂, ..., p_n – отрицательные действительные корни: p_i = -a_i. Решение уравнения в этом случае:

       .

        

   2) p₁, p₂, ..., p_n - положительные действительные корни: p_i = +a_i.

– решение уравнения в этом случае  
 

. 
 
 
 
 
 

3) p₁, p₂, ..., p_n - корни комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью: 

p_i = – a_i ± jb_i .         

        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   4) p₁, p₂, ..., p_n – корни комплексно-сопряженные с положительной вещественной частью:

   p_i = + a_i ± jb_i     

        
 

        
 
 
 
 
 
 

   Анализируя  все случаи решения дифференциального  уравнения для случая x(t) = 0, можно сделать вывод:

система автоматического регулирования устойчива, если все корни ее характеристического уравнения отрицательные действительные или комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью. Если же среди корней характеристического уравнения системы имеется хотя бы один положительный действительный корень или хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней с положительной вещественной частью, такая система неустойчива.

   Математические  правила, позволяющие определить знаки  корней алгебраического (характеристического) уравнения, не решая это уравнение, в ТАУ называют критериями устойчивости.

§2.  Алгебраический  критерий  Гурвица.

   Алгебраические  критерии  устойчивости  позволяют  судить  об  устойчивости  системы  по  коэффициентам  характеристического  уравнения.

   Система  автоматического  регулирования  устойчива,  если  все  коэффициенты  её  характеристического  уравнения  имеют  одинаковые  знаки,  а  главный  диагональный  определитель  системы (определитель  Гурвица)  и  его  диагональные  миноры  будут  положительными.

   Пусть – характеристическое  уравнение системы; 

1. Необходимые  условия: α₀ > 0,  α₁ > 0,……, α_n > 0  или α₀<0, α₁<0,….., α_n<0.
2. Для  проверки  достаточного  условия,  составляют  из  коэффициентов  уравнения  главный  диагональный  определитель:

• по  главной  диагонали  определителя  слева  направо  выписывают  все  коэффициенты характеристического  уравнения,  начиная  со  второго.
• столбцы  вверх  от  главной  диагонали  дополняют  коэффициенты  с  последовательно убывающими  индексами;

столбцы  вниз – коэффициентами  с последовательно возрастающими                                    индексами;

• i^ый диагональный  минор получают  отчёркивая  i^ый  столбец и i^ую                                 строку.

   Для  исследуемой  системы:

   

 

            D₁= α_n-1>0;  

      

            D₂=                                             = α_n-1 α_n-2 - α_n α_n-3 >0; 
 
 
 

        
 

           D₃=                                                             >0;     D_n=                                                           >0; 
 
 
 

   Исходным  выражением  для  определения  устойчивости  по  Гурвицу  является  Н(р),  следовательно,  по  Гурвицу определяют  устойчивость  замкнутых и разомкнутых систем.

   Пример  1.  Определить  по  Гурвицу устойчивость  системы первого порядка,  заданной  характеристическим  уравнением:

   Н(р)=α₁р+α₀=0 

   1)α₁ >0;  α₀ >0

   2)D=| α₀| >0,  т.е.  для того,  чтобы система первого порядка была  устойчива,  необходимо  и достаточно,  чтобы все коэффициенты  её  характеристического уравнения имели одинаковые  знаки.

   Пример  2.   Определить  по  Гурвицу устойчивость  системы второго  порядка  заданной  характеристическим  уравнением:

   Н(р)=а₂р²+α₁р+α₀=0 

   1)α₁> 0; α₂>0; α₀>0

   

   2)D₂=                                          = α₁ α₀ – α₂ 0 >0 
 

   т.е.  для  того  чтобы  система  второго  порядка  была  устойчива,  необходимо и достаточно,  чтобы все коэффициенты  её  характеристического уравнения имели одинаковые  знаки.

   Пример   3. Определить по Гурвицу устойчивость замкнутой системы, заданной следующей структурной схемой:

                                                                                                                             

  
 
 
 
 

   Исходным  выражением для определения устойчивости по Гурвицу является характеристическое уравнение замкнутой САР, которое  находится как знаменатель ее передаточной функции.

где:     

   Первое  условие:

   

 

   Второе  условие:   ∆ =