r">     

   Переходную  характеристику звена можно найти классическим способом, решая дифференциальное уравнение   звена, когда в правой части 1(t)=x_вх(t)

   Решение однородного уравнения определяются корнями характеристического уравнения  звена, которое имеет вид:

      Т²₂p² + T₁p + 1 = 0 

 

   Возможно  два случая:

   1) Т₁³2Т₂ (Т₁/2Т₂ = d ³ 1);     p_1,2 = - a_1,2

   В этом случае полное решение уравнения, т.е. переходная характеристика, может  быть записана следующим образом:

где С₁, С₂ – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Характеристика звена в этом случае имеет вид: 
 
 
 
 
 

   Звено в этом случае называется инерционным  второго порядка. 

2)   T₁ < 2T₂  (T₁/2T₂ = d < 1)   p_1,2 = - a ± jb . 

   В этом случае в общем виде переходную характеристику можно записать как:

      h(t) = k [1 + Ae^–at sin(bt + j)],

   где А  и  определяются из начальных условий.

   
 
 
 
 
 

   Переходная  характеристика в этом случае представляется затухающими колебаниями, и звено  в этом  случае называется колебательным звеном.                                Переходные характеристики звена второго порядка можно определить также в операторной форме из передаточной функции, а оригинал найти из таблиц преобразования Лапласа.

   Уравнение звена второго порядка для  случая T₁/2T₂<1 переписывается  через параметры колебательного звена в виде:

где w₀  - частота собственных колебаний звена; d-коэффициент затухания. Параметры колебательного звена связаны с параметрами инерционного звена второго порядка соотношениями:

   Частотные характеристики звена определяются из комплексной передаточной функции:

 

ФЧХ:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Тема 3

Структурные схемы САР. Правила  структурных преобразований

 

     При математическом описании САР обычно изображают в виде блок-схемы и для каждого “блока” (элемента) записывают уравнения, исходя из физических законов, которым подчиняются процессы в нём. Структурную схему можно составить на основании этой блок-схемы и полученных уравнений (передаточных функций). И дальнейшие преобразования, необходимые для получения уравнений и передаточных функций системы, проще и нагляднее производить по структурной схеме.

§1.   Последовательное соединение звеньев.

      При последовательном соединении выходная величина каждого предшествующего  звена является входным воздействием последующего звена.

                                                                                                             

    При преобразовании структурных схем цепочку из последовательно соединенных  звеньев можно заменить одним  звеном с передаточной функцией W_экв(p), которую находят следующим образом: 
 

 

   Записывают  уравнения последовательно соединенных  звеньев:

   x₁(p)= x(p)∙W₁(p);    x₂(p)= x₁(p)∙W₂(p), …;

      y(p)=x_n-1(p)∙W_n(p).

   Исключив  из этой системы  x₁, x₂, … ,x_n-1, получим:

   y(p)= W₁(p)∙W₂(p)∙ … ∙W_n(p)∙x(p);

откуда

т.е. передаточная функция последовательного соединения звеньев определяется как произведение передаточных функций звеньев, включенных последовательно.

§2.  Параллельное соединение звеньев.

   При параллельном соединении на вход всех звеньев подается один и тот же сигнал, а выходящие  величины алгебраически складываются:

   Эту цепь нужно заменить одним звеном с  передаточной функцией W_экв(p):

 

                       

   Составим  уравнения для каждого из звеньев  цепочки:

                                   x₁p)= x(p)∙W₁(p);     x₂(p)=x(p)∙W₂(p); … ;

                                   x_n(p)=x(p)∙W_n(p);     y(p)= x₁(p) x₂(p) … x_n(p)

   Исключив  из этой системы  x₁, x₂,…,x_n, получим:

        y(p)= x(p)[W₁(p)+W₂(p)+…+W_n(p)],   

откуда

т.е. передаточная функция параллельного соединения звеньев определяется как алгебраическая сумма передаточных функций звеньев, включенных параллельно.

§3.   Звено, охваченное обратной связью.

   Звено охвачено обратной связью, если его  выходной сигнал через какое-либо другое звено подается на выход.

   

    Необходимо  заменить эту цепочку эквивалентным  звеном с передаточной функцией W_экв (p). 
 
 

   Уравнения, описывающие эту цепочку звеньев:

                           y(p) = D(p) × W_nр(p);      x_ос(p) =  y(p) × W_ос(p);

            D (p) = x(p) x_ос(p).

   Отсюда  уравнения, связывающие выход и  вход системы:

       y(p)=[x(p) y(p)∙W_ос(p)]∙W_пр(p)

или

              

                                        

   Передаточная  функция замкнутой цепи равна  передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс (о.о.с.) или  минус (п.о.с.) передаточная функция  цепи обратной связи, умноженная на передаточную функцию прямой цепи.

§4.  Определение передаточных функций разомкнутой  и замкнутой системы.

   Пусть исследуемая система имеет следующую  структурную схему:

 
 

                                                                                                                         

                                                                                                  
 
 
 
 

   Используя правила структурных преобразований, приведем исходную систему к одноконтурной:

   

 

Замкнутая система называется одноконтурной, если при её размыкании в какой-либо точке получается цепь, не содержащая параллельных и обратных связей.  

   Рассмотрим полученную одноконтурную систему.

   Найдём  передаточную функцию по входу x(p) и выходу y(p).

   Участок по ходу сигнала от точки приложения входного воздействия до точки съёма  выходного сигнала назовем прямой, а цепь при отсутствии обратной связи  – разомкнутой цепью.

Передаточная функция одноконтурной  системы с отрицательной обратной связью определяется как:

§5.  Статика САР. Способы  уменьшения статизма.

 

   Описания  линейной системы в статике можно  получить, зная передаточную функцию  системы. Поскольку    структурные схемы в статике можно получить из структурных схем в динамике, заменив передаточные функции звеньев статическими коэффициентами передачи, найденными по этой формуле.

   Правила структурных схем, справедливые для  динамики, можно применить и для  структурных преобразований в статике.

   Качество  систем автоматического регулирования  в статике определяется  статической  ошибкой  - разница между заданным и действительным значениями регулируемой величины в установившемся режиме.

   Пусть структурная схема САР в статике  имеет вид:

        

По определению  статическая ошибка D = x_уст – y_уст. Найдем Δ через параметры системы

Тогда    

где k_р·k_о = k_раз – статический коэффициент передачи разомкнутой системы.

   Тогда     зависит не только от параметров системы, но и от входного сигнала.

   Поэтому для оценки качества САР применяют  относительную статическую ошибку – статизм, которую определяют как отношение абсолютной статический ошибки к заданному значению регулируемой величины.

    Качество системы в статике тем лучше, чем меньше статическая ошибка, которая зависит от величины k_раз.

   Для уменьшения статической ошибки нужно:

1. Увеличивать k_раз. Однако увеличение k_раз ведёт к уменьшению запаса устойчивости поэтому увеличивать k_раз нужно очень осторожно;
2. Включать  в прямую цепь регулирования астатическое (интегрирующее) звено.