Статистика страхования

где    v^x = (1/(1+I))^х          — дисконтирующий множитель в степени х;

  • числа N_x, или сумма дисконтированных чисел D_x. Эти числа 
вычисляются как сумма чисел D_x, начиная со значения в строке х 
лет и до конца таблицы, т.е. до ω:

                                                                  N_x = ΣD_k ;                                     (1.4)

  • числа S_x, или сумма сумм дисконтированных чисел доживаю 
щих. Вычисляются как сумма чисел N_x, начиная со значения в стро 
ке х и до конца таблицы, т.е. до ω:     S_x = ΣN_k ;                                      (1.5)

    • числа С_х или дисконтированные числа умерших в возрасте х 
лет:

                                                                  C_x = d_x · v^x+1                                 (1.6)

  • числа М_х, или сумма дисконтированных чисел умерших в воз 
расте х лет. Вычисляются как сумма чисел С_х, начиная со значения 
в строке х и до конца таблицы, т.е. до ω:

                                                                      М_Х = Σ С_k.                                       (1.7)

   • числа R_x, или сумма сумм дисконтированных чисел умираю 
щих. Вычисляются как сумма чисел М_х, начиная со значения в стро 
ке х лет и до конца таблицы, т.е. до ω:

                                                                                     R_x = Σ M_k                                      (1.8)

  Ниже  приведены фрагменты таблицы смертности (табл.1.1), содержащейся в Методике расчета страховых тарифов по видам страхования, относящимся к страхованию жизни, утвержденной приказом Федеральной службы РФ по надзору за страховой деятельностью (в н/в — Федеральная служба страхового надзора) от 28 июня 1996г. № 02-02/18.

  В основу тарифных расчетов в страховании  положен так называемый принцип эквивалентности обязательств страховщика и страхователя. Он гласит: обязательства страховщика и обязательства страхователя, учтенные к одному и тому же моменту времени должны быть равны. Под обязательствами страховщика при этом понимаются финансовые обязательства по выполнению условий страховых договоров. Под обязательствами страхователя понимаются обязательства по выплате страховых взносов (премий).

     Рассмотрев основные понятия, необходимые для расчета тарифа, перейдем к рассмотрению тарифов по конкретным видам страхования. Изучим методику расчета единовременного тарифа нетто на примере расчета единовременного тарифа нетто по страхованию лица в возрасте х на дожитие до возраста х + n.

  Предположим, что в страховой компании страхуется l_Х человек (в соответствии с данными таблицы смертности). Тогда, согласно таблице смертности, до возраста х + n доживет 1_х+п человек. Так как мы рассматриваем расчет тарифа, т.е. взноса с единицы страховой суммы (с рубля), то каждому из доживших страховая компания должна заплатить (1 руб. >l_х+п) рублей или просто 1_х+n рублей. Этой суммой страховщик должен располагать через n лет после заключения договора страхования и, следовательно, уплаты взносов. Тогда современная стоимость суммы 1_х+п рублей на момент заключения договора страхования составит l_х+п· vⁿ рублей. Взнос на одного застрахованного будет равен частному от деления указанной современной стоимости страхового обеспечения на количество застрахованных l_Х:                 

                                              _nE_x = l_x+n· vⁿ/ l_x                                                 (1.9)

где _nЕ_х — единовременная нетто-ставка страхования лица в возрасте х на дожитие до возраста х + n.

  Если  в страховой компании страхуется иное, чем l_Х число лиц, то, учитывая, что таблицы смертности отражают законы дожития и смертности застрахованных, получаем, что количество фактически застрахованных, доживших до возраста х + n, будет находиться в той же пропорции к исходному их количеству, в какой l_х+п относится к l_Х. Таким образом, независимо от числа застрахованных при неизменных законах смертности отношение  l_х+п к l_Х будет постоянным и равным вероятности дожить с возраста х до возраста х + n:

                                                            l_x+n / l_x =  _np_x   (1.10)

  Таблица 1.1

Таблица смертности и коммутационных чисел  для i = 0,05

где _пр_х — вероятность дожить с возраста х до возраста х + n.

  Отсюда  нетто-ставку по страхованию на дожитие  можно записать в виде

                    _nE_x = _np_x · vⁿ                                                             (1.11)

     Следовательно, величина тарифа нетто по страхованию на дожитие не зависит от конкретного числа застрахованных в данной страховой компании. Можно показать, что и другие тарифы нетто по страхованию жизни можно выразить только через вероятности дожить или умереть и дисконтирующие множители, т.е. они не зависят от численности застрахованных.

    Замечание. При расчете тарифа всегда подразумевается, что численность застрахованных достаточно велика и в ней проявляются статистические закономерности смертности и дожития населения.

  Для упрощения записи тарифной ставки используют коммутационные числа. Для того чтобы записать формулу для _пЕ_х в коммутационных числах, необходимо умножить числитель и знаменатель на одно и то же число v^x. Тогда с учетом определений коммутационных чисел формула примет вид

                      _nE_x = l_x+n·vⁿ/ l_x· vⁿ= D_x+n/ D_x                                                               (1.12)

   При расчете тарифа нетто по другим видам  страхования жизни пользуются той же последовательностью рассуждений, примером которой был расчет тарифа нетто

   на  дожитие (_пЕ_х). Формулы единовременных тарифов нетто по простейшим видам страхования жизни приведены в табл. 1.2. В частности, это различные варианты тарифов по страхованию на случай смерти и рент (пенсионного страхования). В отношении рент отметим, что различают ренты пренумерандо (выплачиваемые в начале страхового года) и ренты постнумерандо (выплачиваемые в конце страхового года). Предполагается, что рента выплачивается один раз в год в размере, равном страховой сумме. В тарифе страховой суммой является один рубль. В формулах тарифов используются следующие обозначения: х — возраст застрахованного; т — период отсрочки исполнения договора страхования (страховые выплаты в период с х лет до х + т лет не производятся); п — период действия договора страхования с момента наступления права на получение страхового обеспечения. 

    Если по договору страхования предполагается выплачивать несколько страховых взносов, то производят перерасчет единовременной нетто ставки в нетто-ставку, выплачиваемую периодически. Наиболее простым случаем является договор с ежегодной уплатой страховых взносов в течении п лет.

      Коэффициент рассрочки — величина, формула для расчета которой зависит от двух условий: момента уплаты взносов относительно начала страхового года и наличия ограничений на количество внесенных взносов. По первому условию различают взносы пренумерандо и постнумерандо. По второму условию различают взносы в течение определенного количества лет и пожизненные. Отметим, что формула перевода единовременных платежей в ежегодные является универсальной для любых платежей, связанных со страхованием жизни, независимо от их предназначения.

      Можно  показать, что   формулы    для коэффициентов рассрочки эквивалентны   формулам по    соответствующим     видам    рентного страхования. Таким образом,  с математической     точки    зрения    не    имеет     значения   направление выплат: от    страховщика к      страхователю       (ежегодная рента)      или     от   страхователя к     страховщику      (ежегодный страховой взнос).     Поэтому   коэффициенты          рассрочки        имеют      те    же      

обозначения,     что    и    единовременные тарифы нетто по рентному страхованию (см. табл.1.2). В связи с этим, если необходимо найти коэффициент рассрочки платежей для взносов, выплачиваемых ежегодно пренумерандо в течение первых четырех лет после заключения договора страхования, следует воспользоваться формулой для _|па'_х, подставив n = 4.

   Для определения тарифа брутто по договорам  страхования жизни в него включают нетто-ставку и элементы нагрузки. Последние представляют собой различные виды расходов страховой организации, кроме расходов на выплату страхового обеспечения. Их можно сгруппировать по частоте возникновения и способу исчисления. По этим признакам принято выделять следующие элементы нагрузки:

• единовременные расходы, исчисляемые в долях (процентах) от страховой суммы (α);
• периодические (ежегодные) расходы, исчисляемые в долях (процентах) от брутто ставки (β);
• периодические (ежегодные) расходы (φ) и планируемая прибыль (δ), исчисляемые в долях (процентах) от страховой суммы.