Статистический анализ продуктивности коров

      Статистическими (корреляционными) называют связи, при которых строго определенному изменению факторного признака х соответствует целый ряд (статистическое распределение) изменений результата у, не вполне определенных, подверженных случайным колебаниям. Эти связи проявляются лишь в среднем, в массовых явлениях; кроме изучаемого фактора на результат воздействуют и другие причины, в том числе носящие случайный характер.

      Корреляционные  связи варьирующих величин, характерные  для массовых общественных явлений, изучают путём сопоставления  соответствующих признаков по единицам совокупности или обобщающих (статических) показателей. При этом используют различные приёмы: сопоставление параллельных рядов, статистические группировки, экспериментальный метод, дисперсионный и корреляционный анализ.

      Последний мы и будем использовать для определения  влияния уровня кормления коров  на их продуктивность.

      Сущность  корреляционного анализа в основном сводится к изучению тесноты связи между признаками.

      Если  же между ними имеется причинно-следственная связь, проводят корреляционно-регрессионный анализ.

      Указанные виды анализа имеют дело не с абсолютными уровнями показателей, а только с их колеблемостью; предметом изучения является сопряженная вариация признаков. Образно говоря, изучается высота волн на море, но не его глубина.

      Так как определяемые при изучении статистических зависимостей коэффициенты регрессии и корреляции являются - средними величинами, необходимо соблюдать все требования, предъявляемые к статистическим средним, такие, как качественная однородность совокупности, достаточно большая ее численность и др.

      Качественная  однородность нужна для получения  типических средних. Это условие будет выполнено, если корреляционно-регрессионный анализ применять в сочетании с методом статистических группировок и в первую очередь внутри выделенных благодаря группировке качественно однородных групп.

      Парная  корреляция возникает, когда изучают связь между двумя признаками, а все остальные факторы (также, возможно, влияющие на результат) игнорируют. Это простейшая и наиболее распространенная разновидность корреляционно-регрессионного анализа.

      При парной корреляции результативный признак у рассматривается как функция факторного признака х, то есть у = f(х).

Линейную  форму связи выражают уравнением прямой линии у_х = а_о + a₁x.

3.2. Расчётная часть.

     Задание 3.

      С помощью корреляционного анализа определите влияние уровня кормления коров на их продуктивность по 20 сельскохозяйственным предприятиям. Для этого изобразите на графике зависимость среднегодового удоя молока от расхода кормов на корову в год, постройте линейное уравнение регрессии, рассчитайте коэффициент корреляции и оцените его достоверность с помощью    t-критерия Стьюдента.

     Решение.

     По  выборочным данным получаем сведения о среднегодовом удое молока от коровы и расходе на голову строим таблицу 3.1.

     Требуется определить зависимость удоев от уровня кормления коров. Для этого  строим график (рис. 2.1), который позволит установить зависимость между двумя признаками. Признак среднегодовой удой молока от коровы – является результативным, в признак расход кормов на корову – факторным.

     Рис. 2.1 График зависимости результативного признака от факторного признака 

     Анализ  данных показывает, что с увеличением  расхода кормов среднегодовой удой молока от коровы повышается.

     Расположение  точек на графике показывает, что  связь между признаками имеет  прямолинейный характер и поэтому  может быть выражена уравнением прямой линии:

                                           y_x = a₀ + a₁x.                                      (9)

              где y_x - результативный признак, x - факторный признак; a₀ a₁ – параметры;

a₀ –начало отсчёта (значение y_x при x=0); a₁ –коэффициент регрессии, показывающий, на сколько изменится y_x величина при изменении x на единицу.

      Для определения неизвестных параметров уравнения a₀ и a₁ решаем систему нормальных уравнений:

                                           Σy =na₀ + a₁Σx                                     (10)

Σxy =a₀Σx + a₁Σx²,

      где n – число единиц в совокупности.

 

      Определяем значения  Σy, Σx, Σxy, и Σx² по данным наблюдения таблицы 3.1. и подставляем их в уравнения:

    814,7  = 20a₀ + 973a₁

          40095 = 973a₀ + 47901a₁

Затем делим каждый член уравнения на коэффициент при a₀:

40,735  = a₀ + 48,65a₁

41,208 = a₀ + 49,23a₁

Вычитая одно уравнение из другого, получаем:

0,473 = 0,58a₁

После решения уравнений получаем значение параметров:

a₀ =1,108; a₁ =0,815.

Уравнение регрессии  имеет вид:

y_x = 1,108 + 0,815x.

     Полученные  данные можно проверить с помощью функции Microsoft Excel - ЛИНЕЙН. (Таблицы 3.2, 3.3.)

 

Для оценки тесноты связи рассчитаем коэффициент корреляции:

                                                                 (11)

20 ∙40095 — 814.7 ∙973

r = ———————————————————— = 0,876

                         (20 ∙47901 — 973²)∙(20 ∙33674,93 — 814.7²)

               

            Чем ближе коэффициент корреляции к единице, тем связь сильнее. это объясняется тем, что чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем большая доля вариации результативного признака обусловлена влиянием факторного признака, а значит, и теснее статистическая зависимость между ними.         

          Значение r близко  к единице, поэтому можно утверждать, что полученное уравнение регрессии достаточно хорошо описывает исследуемую зависимость.

           Коэффициент детерминации r² = 0.7674 показывает, что 76,7% колеблемости в среднегодовом удое молока от коровы объясняется уровнем кормления.

           Для оценки  достоверности коэффициента корреляции применяют t- критерий Стьюдента. Для этого сначала определим его фактическое значение по формуле:  

                                       

                                                  (12)

                                                    0,876   20—2

t_факт = —————— = 7,7049

                                                      1—0,876²