Автоматизированный априорный анализ статистической совокупности в среде MS Excel

      На  основе данных табл.9 структура рассеяния  значений признака по трем диапазонам (графы 5 и 6) сопоставляется со структурой  рассеяния по правилу «трех сигм», справедливому для нормальных и близких к нему распределений:

      68,3% значений располагаются в диапазоне ( ),

      95,4% значений располагаются в диапазоне ( ),

      99,7% значений располагаются в диапазоне ( ).

      Если  полученная в табл. 9 структура рассеяния х_i по 3-м диапазонам незначительно расходится с правилом «трех сигм», можно предположить, что распределение единиц совокупности по данному признаку близко к нормальному.

      Расхождение с правилом «трех  сигм» может быть существенным. Например, менее 60% значений х_i попадают в центральный диапазон ( ) или значительно более 5% значения х_i выходит за диапазон ( ). В этих случаях распределение нельзя считать близким к нормальному.

      Вывод:

      Сравнение данных графы 5 табл.9 с правилом «трех сигм» показывает на их незначительное (существенное) расхождение, следовательно, распределение единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов можно (нельзя) считать близким к нормальному.

      Сравнение данных графы 6 табл.9 с правилом «трех сигм» показывает на незначительное (существенное) расхождение, следовательно, распределение единиц совокупности по признаку Выпуск продукции можно (нельзя) считать близким к нормальному.

      Задача 4. Для ответа на вопросы 4а) – 4в) необходимо воспользоваться табл.8 и сравнить величины показателей для двух признаков.

      Для сравнения степени колеблемости значений изучаемых признаков, степени однородности совокупности по этим признакам, надежности их средних значений используются коэффициенты вариации V_s признаков.

      Вывод:

      Так как V_s для первого признака больше (меньше), чем V_s для второго признака, то колеблемость значений первого признака больше (меньше) колеблемости значений второго признака, совокупность более однородна по первому (второму) признаку, среднее значение первого признака является более (менее) надежным, чем у второго признака.

      Задача 5. Интервальный вариационный ряд распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов представлен в табл.7, а его гистограмма и кумулята – на рис.2.

      Возможность отнесения распределения признака «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов» к семейству нормальных распределений устанавливается путем анализа формы гистограммы распределения. Анализируются количество вершин в гистограмме, ее асимметричность и выраженность «хвостов», т.е. частоты появления в распределении значений, выходящих за диапазон ( ).

      1. При анализе формы гистограммы прежде всего следует оценить распределение вариантов признака по интервалам (группам). Если на гистограмме четко прослеживаются два-три «горба» частот вариантов, это говорит о том, что значения признака концентрируются сразу в нескольких интервалах, что не соответствует нормальному закону распределения.

      Если  гистограмма имеет одновершинную форму, есть основания предполагать, что выборочная совокупность может иметь характер распределения, близкий к нормальному.

      2. Для дальнейшего анализа  формы распределения используются описательные параметры выборки – показатели центра распределения ( , Mo, Me) и вариации ( ). Совокупность этих показателей позволяет дать качественную оценку близости эмпирических данных к нормальной форме распределения.

      Нормальное  распределение является симметричным, и для него выполняются соотношения:

=Mo=Me

Нарушение этих соотношений свидетельствует о наличии асимметрии распределения. Распределения с небольшой или умеренной асимметрией в большинстве случаев относятся к нормальному типу.

      3. Для  анализа  длины «хвостов» распределения используется правило «трех сигм». Согласно этому правилу в нормальном и близким к нему распределениях крайние значения признака (близкие к х_min и х_max) встречаются много реже (5-7 % всех случаев), чем лежащие в диапазоне ( ). Следовательно, по проценту выхода значений признака за пределы диапазона ( ) можно судить о соответствии длины «хвостов» распределения нормальному закону.

      Вывод:

      1. Гистограмма является одновершинной (многовершинной).

      2. Распределение приблизительно симметрично (существенно асимметрично), так как параметры , Mo, Me  отличаются незначительно (значительно):

      

= ..............,            Mo=..............,          Me=..............

      3. “Хвосты” распределения не очень длинны (являются длинными), т.к. согласно графе 5 табл.9…..……% вариантов лежат за пределами интервала ( )=(………………;…………….) млн. руб.

      Следовательно, на основании п.п. 1,2,3, можно (нельзя) сделать заключение о близости изучаемого распределения к нормальному.

 

      II. Статистический анализ  генеральной совокупности

Задача 1. Рассчитанные в табл.3 генеральные показатели представлены в табл.10.

      Таблица 10

      Описательные  статистики генеральной совокупности

      Для нормального распределения справедливо  равенство

      R_N=6s_N.

      В условиях близости распределения единиц генеральной совокупности к нормальному  это соотношение используется для прогнозной оценки размаха вариации признака в генеральной совокупности.

      Ожидаемый размах вариации признаков R_N:

      - для первого признака R_N =………...............,

      - для второго признака R_N  =………...............

     Соотношение между генеральной и выборочной дисперсиями:

      - для первого признака  ……, т.е. расхождение между дисперсиями незначительное (значительное);

      -для второго признака ……, т.е. расхождение между дисперсиями незначительное (значительное).

      Задача 2. Применение выборочного метода наблюдения связано с измерением степени достоверности статистических характеристик генеральной совокупности, полученных по результатам выборочного наблюдения. Достоверность генеральных параметров зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно представлены в выборке статистические свойства генеральной совокупности.

      Как правило, статистические характеристики выборочной и генеральной совокупностей  не совпадают, а отклоняются на некоторую  величину ε, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности). Ошибка выборки – это разность между значением показателя, который был получен по выборке, и генеральным значением этого показателя. Например, разность

   

= | - |

определяет  ошибку репрезентативности для средней  величины признака.

      Так как ошибки выборки всегда случайны, вычисляют среднюю и предельную ошибки выборки.

      1. Для среднего значения признака  средняя ошибка выборки (ее называют также стандартной ошибкой)  выражает среднее квадратическое отклонение s выборочной средней от математического ожидания M[ ] генеральной средней .

     Для изучаемых признаков средние ошибки выборки даны в табл. 3:

     - для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов

=……………….,

- для  признака Выпуск продукции

=………………..

      2. Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых  лежит генеральная средняя . Эти границы задают так называемый доверительный интервал генеральной средней – случайную область значений, которая с вероятностью P, близкой к 1,  гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность называют доверительной вероятностью или уровнем надежности.

      Для уровней надежности P=0,954; P=0,683 оценки предельных ошибок выборки даны в табл. 3 и табл. 4.

      Для генеральной средней предельные значения и доверительные интервалы  определяются выражениями:

                             ,

       

      Предельные  ошибки выборки и ожидаемые границы  для генеральных средних представлены в табл. 11.

      Таблица 11

Предельные  ошибки выборки и ожидаемые границы  для генеральных средних

Вывод:

     Увеличение  уровня надежности ведет к расширению (сужению) ожидаемых границ для генеральных средних.

     Задача 3. Рассчитанные в табл.3 значения коэффициентов асимметрии As и эксцесса Ek даны в табл.10.

        1.Показатель  асимметрии As оценивает смещение ряда распределения влево или вправо по отношению к оси симметрии нормального распределения.

      Если  асимметрия правосторонняя (As>0) то правая часть эмпирической кривой оказывается длиннее левой, т.е. имеет место неравенство >Me>Mo, что означает преимущественное появление в распределении более высоких значений признака (среднее значение больше серединного Me и модального Mo).