7.Статистическое изучение вариации социально-экономических явлений

    В статистической практике часто вместо расчета и анализа темпов роста и прироста рассматривают абсолютное значение одного процента прироста. Оно представляет собой одну сотую часть базисного уровня и в то же время - отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу прироста:

     (1.10.10)

    Подставив данные графы 1 за предыдущий год, деленные на 100% (1942:100=19,4) в формулу (1.10.10), получим абсолютное значение 1% прироста (см. графу 8 табл. 1.10.4). 

    Средний уровень ряда динамики ( ) рассчитывается по средней хронологической. Средней хронологической называется средняя, исчисленная из значений, изменяющихся во времени. Такие средние обобщают хронологическую вариацию. В хронологической средней отражается совокупность тех условий, в которых развивалось изучаемое явление в данном промежутке времени.

    Методы  расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики различны. Для интервальных равноотстоящих рядов средний уровень находится по формуле средней арифметической простой и для неравноотстоящих рядов по средней арифметической взвешенной: 

 

    (1.10.11) 

    (1.10.11)

    где  - уровень ряда динамики;

             n - число уровней;

           - длительность интервала времени между уровнями. 

    Так, в таблице 1.10.4 приведен интервальный ряд динамики с равноотстоящими уровнями. По этим данным можно рассчитать среднегодовой уровень производства цемента за 1991-2002 гг. Он будет равен:

 

    Средний уровень моментного ряда динамики так исчислить нельзя, так как отдельные уровни содержат элементы повторного счета.

    Средний уровень моментного равноотстоящего ряда динамики находится по формуле средней хронологической: 

    (1.10.12)

    Средний уровень моментных рядов динамики с неравноотстоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической взвешенной: 

           (1.10.13)

      

    где ,   - уровни ряда динамики;

                  - длительность интервала времени между уровнями.

Методы  выравнивания рядов динамики

    Важной  задачей статистики при анализе  рядов динамики является определение основной тенденции развития, присущей тому или иному ряду динамики. Например, за колебаниями урожайности какой-либо сельскохозяйственной культуры в отдельные годы тенденция роста (уменьшения) урожайности может не просматриваться непосредственно, и поэтому должна быть выявлена статистическими методами.

    Методы  анализа основной тенденции в рядах динамики разделяются на две основные группы:

    1) сглаживание или механическое  выравнивание отдельных членов ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней;

    2) выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду и одновременно освободила его от незначительных колебаний.

    Рассмотрим  методы каждой группы.

    Метод укрупнения интервалов. Если рассматривать уровни экономических показателей за короткие промежутки времени, то в силу влияния различных факторов, действующих в разных направлениях, в рядах динамики наблюдается снижение и повышение этих уровней. Это мешает видеть основную тенденцию развития изучаемого явления. В этом случае для наглядного представления тренда применяется метод укрупнения интервалов, который основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

    Метод простой скользящей средней. Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень вначале и добавляя один следующий. Отсюда название - скользящая средняя.

Сглаженный ряд  урожайности по трехлетиям короче фактического на один член ряда в начале и в  конце, по пятилетиям – на два в  начале и в конце ряда. Он меньше, чем фактический подвержен колебаниям из-за случайных причин, и четче выражает основную тенденцию роста урожайности за изучаемый период, связанную с действием долговременно существующих причин и условий развития

    Недостаток  метода простой скользящей средней состоит в том, что сглаженный ряд динамики сокращается ввиду невозможности получить сглаженные уровни для начала и конца ряда. Этот недостаток устраняется применением метода аналитического выравнивания для анализа основной тенденции. 

    Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде функции времени - y =f(t).

    Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются различные функции: полиномы степени, экспоненты, логистические кривые и другие виды. Полиномы имеют следующий вид: 

    полином первой степени:        

    полином второй степени:        

    полином третьей степени:       

    полином n-ой степени:              

    Здесь ,... - параметры полиномов, t - условное обозначение времени. В статистической практике параметры полиномов невысокой степени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик динамического ряда. Так, параметр трактуется как характеристика средних условий ряда динамики, параметры , ,  - как изменения ускорения.

    В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамических рядов. Согласно этому правилу полином первой степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, у которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны, полиномы второй степени - для отражения ряда динамики с постоянными вторыми разностями (ускорениями), полиномы третьей степени - с постоянными третьими разностями и т.д.

    Рассмотрим  «технику» выравнивания ряда динамики по прямой (полином первой степени): . Параметры согласно методу наименьших квадратов находятся решением следующей системы нормальных уравнений:  

     (1.10.14) 

    где у – фактические (эмпирические) уровни ряда;

          t – время (порядковый номер периода или момента времени). 

    Расчет  параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени   (t=0) принять центральный интервал (момент). 
 

    При четном числе уровней значения t – условного обозначения времени будут такими:

…-5, -3, -1, +1, +3, +5,… 

    При нечетном числе уровней значения устанавливаются по-другому:

…-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, … 

    В обоих случаях  =0, так что система нормальных уравнений (1.10.14) принимает вид:

    (1.10.15)

    Из  первого уравнения      (1.10.16),

                     из второго -     (1.10.17).

    Проиллюстрируем на примере динамического ряда производства цемента в экономическом регионе за 1991 – 2002 гг. (см. табл. 1.10.4, расчетные значения – табл. 1.10.6) выравнивание ряда динамики по прямой. Для выравнивания данного ряда используем линейную трендовую модель – уравнение прямой: . В нашем примере n = 12 – четное число. Для упрощения расчетов обозначим время так, чтобы начало его отсчета приходилось на середину рассматриваемого периода.

Методы  выявления сезонной компоненты

    При рассмотрении квартальных или месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются определенные, постоянно повторяющиеся колебания, которые существенно не изменяются за длительный период времени. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также ряда многочисленных разнообразных факторов, которые частично являются регулируемыми. В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название «сезонных колебаний» или «сезонных волн», а динамический ряд в этом случае называют тренд-сезонным, или просто сезонным рядом динамики.

    Сезонные  колебания характеризуются специальным  показателями, которые называются индексами сезонности ( ). Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней.

    Для выявления сезонных колебаний обычно берут данные за несколько лет, распределенные по месяцам. Данные за несколько лет (обычно не менее трех) берутся для того, чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года.

    Если  ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания.

    Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например, за три года ( ), затем из них рассчитывается среднемесячный уровень для всего ряда ( ) и в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, то есть:

     (1.10.18) 

    Если  же ряд динамики содержит определенную тенденцию в развитии, то прежде чем вычислить сезонную волну, фактические данные должны быть обработаны так, чтобы была выявлена общая тенденция.

    Обычно  для этого прибегают к аналитическому выравниванию ряда динамики.

    При использовании способа  аналитического выравнивания ход вычислений индексов сезонности следующий:

• по соответствующему полиному вычисляются для каждого месяца (квартала) выровненные уровни на момент времени (t);
• вычисляются отношения фактических месячных (квартальных) данных ( ) к соответствующим выровненным данным ( ): ;
• находятся средние арифметические из процентных соотношений, рассчитанных по одноименным периодам в процентах  , где n – число одноименных периодов.

    В общем виде формулу расчета индекса сезонности данным способом можно записать так: 

    (1.10.19) 

    Расчет  заканчивается проверкой правильности вычислений индексов, так как средний индекс сезонности для всех месяцев (кварталов) должен быть 100 процентов, то сумма полученных индексов по месячным данным равна 1200, а сумма по четырем кварталам - 400.