В случае, если множество U является непрерывным, F можно записать как интеграл:

   

   Нечеткие  множества широко применяются для  формализации лингвистических знаний.

   Рассмотрим  для примера множество процентных ставок, предоставляемых банками  по вкладам. Каким образом можно выделить подмножество высоких процентных ставок? В условиях динамично изменяющейся среды не всегда возможно точно ответить на этот вопрос, однозначно выделив множество высоких ставок. При использовании аппарата теории нечетких множеств решить такую задачу можно даже при отсутствии полной количественной информации об окружении. Функция принадлежности для элементов нечеткого множества F1, соответствующих понятию "высокие процентные ставки" (рис. 4.1), будет иметь следующий вид:

   

   

   Функция принадлежности к нечеткому множеству низких процентных ставок запишется следующим образом:

     

   27. Нечеткие операции, отношения, свойства  отношений.

   Операции  над нечеткими  множествами. Над нечеткими множествами, как и над обычными, можно выполнять математические операции. Рассмотрим важнейшие из них: дополнение множества, объединение и пересечение множеств.

   Операция  дополнения может быть представлена следующим образом:

   

   Операция  объединения будет иметь следующий вид:

   

   Здесь и далее операция v обозначает взятие максимума. Операция пересечения вычисляется следующим образом:

   

   Здесь и далее символ л обозначает взятие минимума.

   Нечеткие  отношения. Нечетким отношением R между полным множеством U и другим полным множеством V называется подмножество прямого декартова произведения U V, определяемое следующим образом:

   

   где U = {u₁, u₂,..., u_l}, V {v₁, v₂,..., v_m}.

   Допустим, что между элементами знаний, представленных нечеткими множествами F и G, существует связь, заданная правилом: "Если F, то G", при этом F U, G V. В логике высказываний для представления правил подобного вида используется операция импликации. В нечеткой логике предложены различные способы реализации импликации. Один из наиболее простых способов заключается в представлении импликации, соответствующей правилу "Если F, то G", нечетким отношением R, которое вычисляется следующим образом [2]:

   

   Свойства  нечетких отношений.

   1. Объединение отношений

   (R S)(u, v) = R(u, v) S(u, v), u U, v V.

   2. Пересечение отношений

   (R S)(u, v) = R(u, v) S(u, v), u U, v V.

   3. Операция включения

   (R S) ↔ R(u, v) ≤ S (u, v), u U, v V.

   4. Свойство идемпотентности 

   R R = R, R R = R.

   5. Коммутативность

   R S = S R, R S = S R.

   6. Ассоциативность 

   R (S Q) = (R S) Q.

   R (S Q) = (R S) Q.

   7. Дистрибутивность

   R (S Q) = (R S) (S Q).

   R (S Q) = (R S) (S Q).

   8. Рефлексивность

   Если  μ_R (u, u) = 1, отношение R - рефлексивное.

   Если  μ_R (u, u) < 1, отношение R - слабо рефлексивное.

   Если  μ_R (u, u) = 0, отношение R - антирефлексивное.

   Если  μ_R (u, u) > 0, отношение R - слабо антирефлекеивное.

   9. Симметричность

   μ_R (u, v) = μ_R (v, u); u, v U.

   10. Транзитивность

   μ_R(u, v) ≥ μ_R(u, z) μ_R(z, v); u, v, z U. 

   28. Многокритериальный  выбор альтернатив  на основе теории  нечетких множеств.

   Многокритериальный  выбор альтернатив  на основе пересечения  нечетких множеств

   Экспертные  оценки альтернативных вариантов по критериям могут быть представлены как нечеткие множества или числа, выраженные с помощью функций принадлежности. Для упорядочения нечетких чисел существует множество методов, которые отличаются друг от друга способом свертки и построения нечетких отношений. Последние можно определить как отношения предпочтительности между объектами.

   В данном случае критерии определяют некоторые  понятия, а оценки альтернатив представляют собой степени соответствия этим понятиям. Пусть имеется множество альтернатив А = {а₁, а₂, ..., a_m,} и множество критериев С= {C₁, C₂, ..., C_n}, при этом оценки альтернатив по каждому i-му критерию представлены нечеткими множествами:

   C_i= { μ_Ci (a₁)/ μ_Ci, (a₂)/a₂, …, μ_Ci (a_m)/a_m}

   Правило выбора лучшей альтернативы можно представить как пересечение нечетких множеств, соответствующих критериям:

   D = C₁ C2 ... C_n.

   Операция  пересечения нечетких множеств может быть реализована разными способами. Иногда пересечение выполняется как умножение, но обычно этой операции соответствует взятие минимума:

   

   Лучшей  считается альтернатива a^*, имеющая наибольшее значение функции принадлежности

   

   Если  критерии C_i имеют различную важность, то их вклад в общее решение можно представить как взвешенное пересечение:

   D=C₁^a1 C₂^a2 ... C_n^an,

   где a_i - весовые коэффициенты соответствующих критериев, которые должны удовлетворять следующим условиям:

   

   Коэффициенты  относительной важности можно определить, используя процедуру попарного  сравнения критериев.

   Многокритериальный  выбор альтернатив  на основе нечеткого  отношения предпочтения

   Рассмотрим  метод принятия решений, предполагающий построение множества недоминируемых альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения.

   Постановка  задачи в краткой форме представляется следующим образом. Пусть задано множество альтернатив А и  каждая альтернатива характеризуется несколькими критериями качества с номерами j == i, ..., m. Информация о попарном сравнении альтернатив по каждому критерию качества j представлена в форме отношения предпочтения R_j. Таким образом, имеется m отношений предпочтения R_j на множестве А. Требуется выбрать лучшую альтернативу из множества {A, R₁, ...,R_m}.

   Метод многокритериального выбора альтернатив  на основе нечеткого отношения предпочтения основан на ряде определений.

   Определение 1. Нечетким отношением R на множестве А называется нечеткое подмножество декартова произведения А x А, характеризующееся функцией принадлежности μ_R: А x А → [0,1]. Значение μ_R (a, b) этой функции понимается как степень выполнения отношения а b .

   Определение 2. Нечетким отношением предпочтения на А называется любое заданное на этом множестве рефлексивное нечеткое отношение, функция принадлежности которого вычисляется следующим образом:

   

   Определение 3. Пусть А - множество альтернатив и μ_R - заданное на нем нечеткое отношение предпочтения. Нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив множества (А, μ_R) описывается функцией принадлежности

   

   Определение 4. Четко недоминируемыми называются альтернативы, для которых μ_R^НД (а) = 1, а множество таких альтернатив

   

   

   Определение 5. Носителем нечеткого множества В с функцией принадлежности μ_B(a) является множество {а | а А, μ_B > 0}.

   Процедура решения задачи выбора выполняется  в несколько шагов.

   1. Строится нечеткое отношение  Q₁, которое является пересечением исходных отношений предпочтения:

   

   и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве (А, μ_Q1):

   

   2. Строится нечеткое отношение Q₂

   

   и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве (A, μ_Q2):

   

   Данная  функция упорядочивает альтернативы по степени их недоминируемости. Числа w_j в приведенной выше свертке представляют собой коэффициенты относительной важности рассматриваемых критериев, для которых выполняются следующие условия:

   

   3. Отыскивается пересечение множеств μ_Q1^НД и μ_Q2^НД:

   

   4. Рациональным считается выбор  альтернатив из множества

   

   Наиболее  рациональной альтернативой из множества  А^НД является та, которая имеет максимальную степень недоминируемости.

   Многокритериальный  выбор альтернатив  с использованием правила нечеткого вывода

   Рассмотрим  метод многокритериального выбора альтернатив на основе композиционного  правила агрегирования описаний альтернатив с информацией о предпочтениях лица, принимающего решение, которые заданы в виде нечетких суждений [2].

   Сущность  метода, на основе которого реализована  компьютерная система, заключается  в следующем. Пусть U - множество элементов, А - его нечеткое подмножество, степень принадлежности элементов к которому есть число из единичного интервала [0, 1]. Подмножества A_j

   являются  значениями лингвистической переменной X.

   Допустим, что множество решений характеризуется  набором критериев x₁, x₂, ..., x_p, т.е. лингвистических переменных, заданных на базовых множествах u₁, u₂, .... u_p соответственно. Например, переменная x₁ "качество управления" может иметь значение НИЗКОЕ, а переменная x₂ "стоимость" - значение ХОРОШЕЕ и т. д. Набор из нескольких критериев с соответствующими значениями характеризует представления лица, принимающего решение, об удовлетворительности альтернативы. Переменная S "удовлетворительность" также является лингвистической. Ниже приведен пример высказывания :

   d₁: "Если x₁ = НИЗКОЕ и x₂ = ХОРОШЕЕ, то S = ВЫСОКАЯ". В общем случае высказывание d₁ имеет вид:

   d₁: "Если x₁ = A₁, и x₂ = A_2i и ... хр = A_pi то S = B_i". (4.1)

   Обозначим пересечение (x₁ = A_1i x₂ = A_2i ... х_р = A_pi) через х = A_i. Операции пересечения нечетких множеств соответствует нахождение минимума их функций принадлежности:

   

   Здесь V= U₁ x U₂ x ... U_p; v = (u₁, u₂ ..., u_p); μ_Aij (u_j) - значение принадлежности элемента и, нечеткому множеству A_ij.

   Тогда высказывание (4.1) можно записать в виде:

   

   Для придания общности суждениям обозначим  базовые множества U и V через W. Тогда A_i - нечеткое подмножество W, в то время как B_i - нечеткое подмножество единичного интервала I.