1. Математически иерархия и ее свойства могут быть описаны следующим образом. На множестве объектов i={1,2,…,N} (рис. 6) определяется иерархическая структура путем задания орграфа G=(I,W), W^ﮯI×I, который:
2. разбивает вершины на непересекающиеся уровни: I=U_lV_l; ; ; ;
3. означает, что вес Z_i объекта i непосредственно зависит от Z_j объекта j;
4. если (I,j) - дуга графа G, т.е. , то объекты i и j находятся на смежных уровнях, т.е. найдется такое k, что , ;
5. веса Z_i объекта определяются через веса Z_j вершин множества , в которые ведут дуги из вершины i с помощью феноменологически вводимой зависимости ,i=I/V_i, где   - вес дуги (i,j). Методика определения  изложена ниже.

 

   

   Рис. 6. Общий вид иерархии 

   22. Синтез приоритетов  на иерархии и  оценка ее однородности.

   Иерархический синтез используется для взвешивания  собственных векторов матриц парных сравнений альтернатив весами критериев (элементов), имеющихся в иерархии, а также для вычисления суммы по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов нижележащего уровня иерархии.

   Шаг 1. Определяются векторы приоритетов  альтернатив WA(Eij) относительно элементов Eij предпоследнего уровня иерархии (i = S). Здесь через Eij обозначены элементы иерархии, причем верхний индекс i указывает уровень иерархии, а нижний индекс j - порядковый номер элемента на уровне. Вычисление множества векторов приоритетов альтернатив W^A_S относительно уровня иерархии S осуществляется по итерационному алгоритму, реализованному по исходным данным, зафиксированным в матрицах попарных сравнений. В результате определяется множество векторов:

   

   Шаг 2. Аналогичным образом обрабатываются матрицы попарных сравнений собственно элементов Eij. Данные матрицы построены таким образом, чтобы определить предпочтительность элементов определенного иерархического уровня относительно элементов вышележащего уровня, с которыми они непосредственно связаны. В матрицах через vj обозначен вес, или интенсивность, Еj-го элемента.

   В результате обработки матриц попарных сравнений определяется множество  векторов приоритетов элементов:

   

   Полученные  значения векторов WE(Eij) используются впоследствии при определении векторов приоритетов альтернатив относительно всех элементов иерархии.

   Шаг 3. Осуществляется собственно иерархический  синтез, заключающийся в последовательном определении векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Eij находящихся на всех иерархических уровнях, кроме предпоследнего, содержащего элементы ESj. Вычисление векторов приоритетов проводится в направлении от нижних уровней к верхним с учетом конкретных связей между элементами, принадлежащими различным уровням. Вычисление проводится путем перемножения соответствующих векторов и матриц.

   Оценка  однородности иерархии

   После решения задачи иерархического синтеза  оценивается однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей однородности всех уровней, приведенных путем "взвешивания" к первому иерархическому уровню, где находится корневая вершина. Число шагов алгоритма по вычислению однородности определяется конкретной иерархией.

   Рассмотрим  принципы вычисления индекса ИОИ  и отношения ООИ однородности иерархии.

   Пусть задана иерархия критериев и альтернатив  и для каждого уровня определен  индекс однородности и векторы приоритетов критериев следующим образом:

   ИО1 - индекс однородности для 1-го уровня;

   {ИО2, ИО3} - индексы однородности для 2-го уровня;

   {ИО4, ИО5, ИО6} - индексы однородности для 3-го уровня;

   {W1} - вектор приоритетов критериев  K2 и K3 относительно критерия K1;

   {W2},{W3} - векторы приоритетов критериев  K4, K5, K6 относительно критериев K2 и K3 второго уровня.

   В этом случае индекс однородности рассматриваемой иерархии можно определить по формуле:

   

   где Т - знак транспонирования.

   Определение отношения однородности ООИ для  всей иерархии осуществляется по формуле

   ООИ = ИОИ / М(ИОИ),

   где М(ИОИ) - индекс однородности иерархии при случайном заполнении матриц попарных сравнений.

   Расчет  индекса однородности М(ИОИ) с учетом экспериментальных данных выполняется  по формуле:

   

   Однородность  иерархии считается удовлетворительной при значениях ООИ <= 0,10. 
 

   23. Многокритериальный  выбор на иерархиях  с различным числом  и составом альтернатив под критериями.

   В практике принятия решений нередко  встречается задача, когда ранжируемые  по множеству критериев альтернативы оцениваются экспертом не по всем критериям. Эта задача характерна для ситуаций, в которых множество критериев, выделенных для всех рассматриваемых альтернатив, является избыточным относительно одной или нескольких альтернатив. Таким образом, в рассматриваемом случае эксперт имеет разное количество альтернатив под каждым критерием или под их частью.

   Рассмотрим  методику определения вектора приоритета альтернатив для случая, когда иерархия имеет один уровень критериев, объединенных фокусом с учетом значимости критериев, и разное количество альтернатив у каждого критерия. Методика предполагает выполнение ряда процедур по структурированию информации и проведению вычислительных операций.

   Процедура 1. Исходная проблема структурируется  в виде иерархии, устанавливающей  взаимосвязь между множеством сравниваемых альтернатив и множеством критериев.

   Процедура 2. На основе иерархической структуры  определяется бинарная матрица [В], устанавливающая  соответствие между альтернативами и критериями. Матрица [В] содержит элементы bij = {0,1}. При этом если альтернатива Аi оценивается по критерию Ej, то bij = 1, в противном случае bij = 0.

   Процедура 3. Осуществляется экспертная оценка альтернатив  по соответствующим критериям. Для  этой цели используются метод попарного сравнения, метод сравнения относительно стандартов или метод копирования. На основе экспертных оценок с учетом матрицы [В] строится матрица [А] следующего вида:

   

   В матрице [А] экспертные оценки {aij} представляют векторы приоритетов альтернатив относительно критериев Ej. При этом если альтернатива Ai не оценивается по критерию Еj, то в матрице [А] соответствующее значение aij = 0. Векторы в указанной матрице имеют различное число значений aij и могут быть нормированными или ненормированными в зависимости от используемого метода сравнения альтернатив.

   Процедура 4. В результате обработки матрицы попарных сравнений критериев Еj определяется нормированный вектор приоритетов критериев.

   Процедура 5. Формируются структурные критерии S и L, отображаемые соответствующими диагональными матрицами [S] и [L].

   Рассмотрим состав упомянутых матриц.

   Матрица [S] имеет следующий вид:

   

   где aij - значения векторов приоритетов из матрицы [А].

   С помощью матрицы [S] обеспечивается нормирование векторов приоритетов альтернатив, образующих матрицу [А], если последняя заполнена методом сравнения относительно стандартов или копирования без предварительного нормирования.

   Матрица [L] имеет следующий вид:

   

   где Rj - число альтернатив Ai, находящихся под критерием Еj,

    - суммарное число альтернатив,  находящихся под всеми критериями.

   Здесь следует отметить, что число N в матрице [L] может приниматься равным числу рассматриваемых альтернатив r, т.е. N= r. При этом на конечный результат способ определения N не оказывает влияния.

   Процедура 6. Определяется вектор приоритетов  альтернатив W относительно критериев. Данная процедура реализуется последовательным перемножением слева направо следующих матриц и векторов:

   а) для случая, когда экспертные оценки в матрице [А] ненормированы:

   W=[A]*[S]*[L]**[B];

   б) для случая, когда экспертные оценки в матрице [А] нормированы:

   W=[A]*[L]**[B].

   В выражениях диагональная матрица [В] предназначена для окончательного нормирования значений вектора приоритетов альтернатив. Эта матрица имеет следующий вид:

   

   где xi - значение ненормированного вектора приоритетов альтернатив, полученное после последовательного перемножения слева направо матриц [A], [S], [L] и вектора ;

   r - число альтернатив. 

   24. Методика решения  прикладных задач.

   Метод статических предпочтений и приоритетов

   Рассмотрим  пример использования метода анализа иерархий для выбора наиболее надежного обеспечения кредита. Количество и состав рассматриваемых критериев и альтернатив ограничен, поскольку пример носит учебный характер.

   В качестве альтернатив примем наиболее часто применяемые в России виды обеспечения кредитов: A1 - иностранная валюта, A2 - драгоценные металлы, A3 - ценные бумаги, A4 - недвижимость.

   Для выбора наиболее рациональной альтернативы используем подход "выгоды - издержки". В соответствии с этим подходом необходимо построить две иерархии, упорядочивающие критерии качества и определяющие общие выгоды и издержки для рассматриваемых альтернатив. Наилучшей является альтернатива с наибольшим отношением количественно определенных выгод к издержкам.

   В приведенных иерархиях на первом уровне расположены основные факторы, определяющие выгоды и издержки, на втором - критерии качества, характеризующие собственно выгоды и издержки, на третьем - альтернативы, из которых предстоит сделать выбор.

   Используя метод попарного сравнения элементов  иерархии, построим матрицы парных сравнений для иерархии, отражающей выгоды от обеспечения кредита. Для каждой матрицы рассчитаем нормированный вектор приоритетов (W), собственное число матрицы (λmax) и отношение согласованности (ОС). Построим матрицы парных сравнений альтернатив относительно критериев качества. Осуществим иерархический синтез в целях определения вектора приоритета альтернатив относительно факторов и фокуса иерархии.

   Вектор  приоритетов альтернатив относительно экономического фактора (WAЭ) определяется путем перемножения матрицы, сформированной из значений векторов приоритетов W5, W6, W7, на вектор W2, определяющий значимость критериев качества, расположенных под экономическим фактором:

   WAЭ  = [W5, W6, W7]* W2. 

   26. Элементы теории  нечетких множеств.

   Рассмотрим основные элементы теории нечетких множеств [l]. Пусть U- полное множество, охватывающее все объекты некоторого класса. Нечеткое подмножество F множества U, которое в дальнейшем будем называть нечетким множеством, определяется через функцию принадлежности μF (u), u  U. Эта функция отображает элементы Ui, множества U на множество вещественных чисел отрезка [0,1], которые указывают степень принадлежности каждого элемента нечеткому множеству F.

   Если  полное множество U состоит из конечного числа элементов uЄi, i = 1, 2, ..., n, то нечеткое множество F можно представить в следующем виде:

   

   где "+" означает не сложение, а, скорее, объединение: символ "/" показывает, что значение μF относится к элементу, следующему за ним (а не означает деление на ui).