Производная и её применение в алгебре, геометрии и физике

Если LM’(x) = 0, то 8x/7+2(a/4 – 3x/(2√7))(-3/2√7) = 0,

8x/7 – 3a/4√7  + 9x/14 = 0,

25x/14 = 3a/4√7, 

x = 21a/50√7.  __        __

MN = (21a/50√7)*(2/√7) = 3a/25,

LN = a/4 – (3/2√7)*(21a/50√7) = 4a/25,

LM = √a²/625 + 9a²/625 = a√10/25.   _

S_∆MBK = a√3/2*a/5*1/2 = a√3/20 = 9√3 R²/80.

Ответ: 9√3 R²/80. 
 

Задача  8. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, высота которой в 1,5 раза меньше высоты основания. Между боковой гранью пирамиды и сферой расположена правильная четырехугольная призма, одно из оснований которой (ближнее к центру сферы) лежит в плоскости боковой грани пирамиды, а вершины другого основания принадлежат сфере. Какой должна быть высота призмы, чтобы ее объем был наибольшим? Найти этот объем.

Решение. SABC – правильная треугольная пирамида (рис), вписанная в сферу радиусом R,

SO*1,5 = AD,

LMN – правильная четырехугольная призма.

Найти. V_пр = f(LM).

Пусть SO = H, тогда AD = 1,5H;

SO₁ = R – радиус сферы; LM = x –высота призмы.

∆SKO₁ подобен ∆SOD => O₁K/OD = SO₁/SD => OK₁ = OD*SO₁/SD.

Из ∆AO₁O: R² = AO² + O₁O² = (2AD/3)² + (AD*2/3 - R)²,

R² = 4AD²/9 + 4AD²/9 –AD*R*4/3,

8AD²/9 = AD*R*4/3 => AD = 3R/2.

Отсюда OD = R/2;

AO₁ = R и SO₁ = R;    _

SD = √R² + R²/4 = R√5/2,  _

OK₁ = 2*R*R/(2R√5) = R√5/5;

O₁K = R√5/5.

Из ∆O₁FN => R² = (O₁K + x)² + NF²,

NF = √R² – R²/5 – 2x(√5)²/5 – x² , 

S_осн = 2NF².                                _

V_пр = S_осн*x = 2(R² – R²/5 – 2x√5 R/5 - x²)*x;

V_пр = 2(4R²x/5 – 2x²√5 R/5 - x³);

V’_пр(x) = 2(4R²/5 – 2x√5 R/5 - 3x²) = 0;           _

x _1,2 = (2R√5/5 ⁺ √4R²/5 + 12R²/5)/(-3) = (2R√5/5 ⁺ 4R/√5)/(-3);

x = 2√5 R/15         _                      _

V_пр.max = 2(4R²*2√5R/(5*15) – 2√5R*4R²/(45*5) -      _ 40√5R³/(225*15)) = 16R³√5(1 – 1/3 – 5/45)/75 = 16√5R³/135.

Ответ: 16√5R³/135 м³ при H = 2√5R/15. 
 

Задача  9. В конус вписан цилиндр, одно из оснований которого лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Правильная четырехугольная призма расположена так, что ее нижнее основание лежит в плоскости верхнего основания цилиндра, вершины верхнего основания принадлежат боковой поверхности конуса. Отношение длины диагонали основания призмы к ее высоте равно отношению длины диаметра цилиндра к его высоте. При какой высоте цилиндра объем призмы будет наибольшим? Найти этот объем призмы, если высота конуса – H и радиус основания – R.

Дано. ASO – конус;

SO = H;

AO = R;

CL/CM = BK/BN;

Найти. BN, чтобы V_пр = max 

Решение. BN = x, CM = h, V_пр = S_осн CM = CL²h/2.

∆CSD подобен ∆ASO: CD/AO = SD/SO;

CD/R = (H – x - h)/H;

CD = R(H – x -h)/H.

∆BSE подобен ∆ASO: BE/AO = SE/SO;

BE/R = (H - h)/H;

BE = R(H - h)/H.

Находим отношение  CD/BE = (H – x - h)/(H - x).

Исходя из условия (CL/CM = BK/BN) задачи делаем вывод,

что CD/BE = h/x, т. е. (H – x - h)/(H - x) = h/x => h = (Hx – x²)/H

Тогда CD = R(H – x – (Hx – x²)/H)/H = R(H² – Hx – Hx +x²)/H² = R(H - x)²/H²,

CL = 2CD = 2R(H - x)²/H².

V = 4R²(H - x)⁴(H - x)x/(2H*H⁴) = 2R²(H - x)⁵x/H⁵;

V’(x) = 2R²((H - x)⁵ – 5(H - x)⁴ x)/H⁵ = 0,

(H – x) – 5x = 0, x = H/6.

V = 2HR²(5H/6)⁵/(6H⁵) = 2R²H*5⁵/6⁶.

Ответ: при  H/6, V_max = 2R²H*5⁵/6⁶. 
 
 
 
 

В физике производная  применяется  в  основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.  
 

Задача 1.Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r² – b/r, где a и b — положительные постоянные, r — расстояние между частицами.

      Найти:

                   а) значение r₀ соответствующее равновесному положению частицы;

                   б) выяснить устойчиво ли это  положение;

                   в) F_max значение силы притяжения;

                   г) изобразить примерные графики  зависимости U(r) и F(r). 

U = a/r² – b/r;    Решение:

a и b — counts;   Для определения r₀ соответствующего равновесному

r₀ — ?    положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.

F_max — ?    Используя связь между потенциальной энергией поля

                              U и F, тогда F = -dU/dr, получим F = -dU/dr = - (-2a/r³+b/r²) = 0;

при этом r = r₀;  2a/r³ = b/r² => r₀ = 2a/b;

Устойчивое или  неустойчивое равновесие определим  по знаку второй производной:

d²U/dr₀²= dF/dr₀=-6a/r₀⁴ + 2b/r₀³ = -6a/(2a/b)⁴+2b/(2a/b)³=(-b⁴/8a³)<0;

равновесие  устойчивое.

Для определения  F_max притяжения исследую на экстремумы функцию:

F = 2a/r³— b/r²;

dF/dr = -6a/r⁴ + 2b/ r³ = 0;

при r = r₁ = 3a/b;

подставляя, получу F_max = 2a/r³₁ — b/r³₁ = - b³/27a²;

U(r) = 0;       при r = a/b;       U(r)_min при r = 2, a/b = r₀;

F = 0;          F(r)_max при r = r₁ = 3a/b; 
 

Задача 2. Три резистора сопротивлениями R₁, R₂, R₃ соединены параллельно. Сопротивление R₁ в 9 раз больше сопротивления R₂. Если все три резистора соединить последовательно, то сопротивление цепи равно R.

Определить сопротивления  резисторов при которых сопротивление  исходной цепи будет наибольшим. 

R₁ = 9 R₂      Решение:

          При параллельном соединении  резисторов эквивалентное 

R₁, R₂, R₃   сопротивление по формуле:

    1/R_экв = 1/R₁+1/R₂+1/R₃;

R_{экв max}— ?                    выражу R₃ через R₂:

     R₃ = R— R₁—R₂=R—10R₂;

    тогда 1/R_экв = (10R—91R₂)/(9R₂(R—10R₂));

Задача сведена  к определению наименьшего значения функции в интервале [0;R/10].

Возьмем производную  от f(1/R_экв) по R₂ и преобразуем ее:

(1/R_экв)’ = -910(R₂—R/7)(R₂—R/13)/(9R₂² (R-10R₂)²);

В интересующем нас интервале только одна точка R₂ = R/13 в которой эта производная меняет знак с “—” слева на ”+”справа. Поэтому в точке R₂ = R/13 достигается минимум функции 1/R_экв и максимум функции R_экв, при этом

R₁ = 9R/13; R₂ = 1R/13; R₃ = 3R/13;

R_{экв max} = 9R/169; 
 

Задача 4. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр d и сопротивление R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой H по закону B = B₀(1 + αH), где α = const (черт.).

Решение. Пусть  n – нормаль к плоскости кольца, тогда магнитный поток, созданный вертикальной составляющей магнитного поля.,

Ф = BS = B₀(1 + αH)S, где S = πd²/4 – площадь контура.

ЭДС индукции, возникающая  в кольце,

E = - Ф’(t) = - (B₀(1 + αH)S)’ = - B₀SαH’(t).

Производная H’(t) = ν_н – это проекция скорости кольца на ось H. Таким образом,

E_i = - B₀Sα( - ν_н).

Так как  скорость кольца направлена против оси  H, то ν_н = - ν, где ν – модуль скорости кольца и E_i = B₀Sαν.

   По кольцу протекает индукционный ток

J = E_i /R = B₀Sαν/R.

В результате в кольце за промежуток времени  Δt выделяется количество теплоты

Q = J²RΔt.

На высоте H₁ кольцо обладает механической энергией

W₁ = mgH₁ + mν²/2,

на высоте H₂

W₂ = mgH₂ = mgH₂ + mν²/2

(ν = const, т. е. скорость кольца не меняется). По закону сохранения энергии

W₁ = W₂ + Q  => mgH₁ = mgH₂ + J²RΔt => mg(H₁ - H₂) = (B₀Sαν/R)²RΔt =>

            mg(H₁ - H₂) = (B₀Sαν)²Δt/R                    (*)

Разность (H₁ - H₂) есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном движении, поэтому H₁ - H₂ = νΔt, и уравнение (*) примет вид:

mgνΔt = (B₀Sαν)²Δt/R => mg = (B₀Sα)²ν/R =>

ν = mgR/(B₀Sα)² = 16mgR/(B₀πd²α)².