Производная и её применение в алгебре, геометрии и физике

Д о к а  з а т е л ь с т в  о. По  условию, существует   предел   отношения Δy/Δx. Но отношение Δу/Δx есть тангенс угла секущей СМ (черт.).

         Δy/Δx=tgx      (1)

Значит, согласно условию, существует

                                                           

Из равенства (1) следует:

α=arctg(Δy/Δx).

Вследствие непрерывности  арктангенса, имеем:

 

Но, по условию,                    существует и равен числу f '(х). Поэтому

 
 

Полагая arctg f '(x)=φ, получаем:

 
 

Следовательно, существует предел α. Значит, существует прямая, проходящая через точку С, угол которой с Ох равен                   Такая прямая  есть  касательная  в  данной  точке  С[х, f(x)] и  ее угловой  

коэффициент tgφ = f '(x).

2°. Замечания. 1. Угловой коэффициент k прямой y=kx+b называется наклоном прямой к оси Ох. Наклоном кривой y=f(x) в точке (х₁, у₁) называется угловой коэффициент касательной к кривой, он равен значению производной в этой точке, т. е. tgφ = f '(х₁).

2. Если касательная  в точке (х₁, y₁) кривой y=f(x) образует с Ох: а) острый угол φ, то производная f '(x)>0, так как tgφ >0 (черт.); б) тупой угол φ, то производная f '(х₁)<0, так как tgφ<0 (черт.). Если касательная параллельна оси Оx (черт.), то угол φ=0, tgφ=0 и f '(х₁) = 0.

Когда касательная  перпендикулярна оси Ох, то стремление α к π/2 может дать один и тот же бесконечный предел как «справа», так и «слева»: tgφ= + ∞ (черт.) пли tgφ=- ∞(черт.), или давать «слева» и «справа» бесконечные пределы разного знака (на черт. в точке С «слева» tgφ = +∞, а «справа» tgφ= - ∞). В первом случае, в точках А и В, функция f(x), говорят, имеет бесконечную производную; во втором случае, в точке С, не существует ни конечной, ни бесконечной производной.

Заметим, что  бесконечные производные рассматриваются  лишь в точках непрерывности функции  f(x).

3. Функция называется  дифференцируемой в точке х, если ее производная в этой точке конечна. Функция f(x) дифференцируема в промежутке а<х<b, если ее производная f '(х) конечна в каждой точке промежутка. 

4. Кривая, имеющая  касательную, иногда расположена  по обе стороны касательной  (черт.). В этом случае говорят,  что касательная пересекает кривую.

4°. Прямая, проходящая  через точку касания перпендикулярно к касательной, называется  нормалью  к   кривой. Согласно  условию взаимной перпендикулярности прямых, угловой коэффициент нормали есть -1/f '(x₁). 
 
 
 
 
 
 
 

Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции 

1°. Теорема. Если функция y=f(x) имеет в точке х определенную производную, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Напишем тождество:

Δy=(Δy/Δx)*Δx

так как всегда считаем Δx ≠ 0. При стремлении Δx  к нулю отношение Δy/Δx имеет определенный предел (по условию) и, следовательно, есть величина ограниченная, Δx; есть бесконечно малая. Поэтому произведение (Δy/Δx)*Δx есть бесконечно малая величина, предел ее равен нулю, т. е.

 
 

Следовательно, данная функция y=f(x) непрерывна.

2°, Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Например, функция:

y = |х|

(черт.) в точке  x = 0 непрерывна. В то же время в точке х = 0 определенной касательной не существует, функция не дифференцируема.

3°. Следствие. В точке разрыва функция не имеет производной.

Впервые отчетливое различие между понятием непрерывности и дифференцируемости было дано гениальным русским ученым Н. И. Лобачевским.

ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

 
 

Производная постоянной 

Теорема Постоянная функция имеет в любой точке x производную, равную нулю.

Дано: y=c (черт.).

Требуется доказать: с’=0.

Доказательство: Для любого значения x и для всякого приращения Δx приращение функции Δy равно нулю, также равно нулю и отношение Δx/Δy.

Отсюда

 
 
 

Таблица элементарных производных  

 

Правила дифференцирования 

Пусть c – постоянная, f(x) и g(x) – дифференцируемые функции, тогда

c = 0;

(c * f(x))’  = c * (f(x))’;

(f(x) ⁺ g(x))’ = f ‘(x) ⁺ g ‘(x);

(f(x) * g(x))’  = f ‘(x) * g(x) + f(x) * g ‘(x);

(f(x)/g(x))’  = (f ‘(x) * g(x) – f(x) * g ‘(x))/g²(x);

ИЗУЧЕНИЕ  ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ  ПРОИЗВОДНОЙ

 
 

Признаки  постоянства, возрастания  и убывания функций 

Будем считать, что рассматриваемая функция  y=f(x) определена и дифференцируема в каждой точке отрезка a ≤ x ≤ b.

1°. Известно, что постоянная функция имеет в каждой точке отрезка производную, равную нулю. В полных курсах анализа доказывается обратное, что функция f(x) постоянна на отрезке [а, b], если в каждой точке отрезка ее производная f '(х) равна нулю.

Иллюстрируем  это геометрически. Если f ' (x) = 0 в каждой из точек отрезка [а, b], то касательная к графику функции y=f(x) в каждой из точек х (а ≤ х ≤ b) параллельна оси Ох. При переходе х от одного значения к его последующим значениям точка М. графика функции, являющаяся точкой прикосновения касательной, сдвигается вправо, но остается на направлении касательной, проведенной вточке М, так как касательная при этом переходе не меняет своего направления. Вследствие этого на отрезке [а, b]

график функции  y=f(x) обращается в прямую MN, параллельную оси Ох, а значение функции, равное f(а), остается неизменным (черт.).

2°. Если в промежутке a<x<b функция y=f(x) возрастающая (черт.), то при увеличении х каждое последующее ее значение более предыдущего и потому для каждого данного значения х приращения Δx и Δу положительны, отношение Δy/Δx положительно и при стремлении Δx к нулю принимает только

положительные значения. Вследствие этого его предел — производная f '(х) — положительна или равна нулю

f '(x) ≥ 0

Если в промежутке а<х<b функция y=f(x) убывающая (черт.), то при увеличении х каждое последующее значение функции менее предыдущего. Поэтому для каждого данного значения x в то время, когда приращение Δx положительно, приращение Δy отрицательно, отношение Δy/Δx принимает только отрицательные  значения и при стремлении Δx к нулю имеет своим пределом отрицательное число или нуль, т. е.

f '(x) ≤ 0.

Так как значение производной f '(х) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x):

f '(x) = tgφ,

и у  возрастающей функции f '(x) = tgφ ≥ 0, то касательная к графику возрастающей функции образует с осью Ох острый угол или параллельна оси Ох (черт. 106). У убывающей функции f '(х) = tgφ ≤ 0, касательная к графику образует с осью Ох тупой угол или параллельна оси Ох (черт.).

В промежутке a<x<b возрастания (или убывания) функции не существует никакого отрезка а ≤ х ≤ b₁ (a<a₁<b₁<b), во всех точках которого производная равна нулю, так как если бы f '(x) = 0 на отрезке a₁ ≤ х ≤ b₁ то функция f(x) имела бы одно и то же значение во всех точках этого отрезка, т. е. не была бы возрастающей (или убывающей).

Точки графика  возрастающей (или убывающей) функции, в которых касательная параллельна  оси Ox, являются отдельными точками в том смысле, что абсциссы их не составляют отрезка. На черт. и черт. такими точками являются Р и Р₁.

3°. В полных курсах анализа доказываются следующие достаточные признаки возрастания и убывания функции:

функция f(x) возрастает (или убывает) в промежутке a<x<b, если:

1) производная f '(х) не отрицательна (или не положительна) в промежутке а<х<b,

f '(x) ≥ 0  (или f '(x) ≤ 0)

и

2) в этом промежутке  не существует  отрезка a₁ ≤ x ≤ b₁ (а<а₁<b₁<b), во всех точках которого производная f '(х) = 0.

4°. Пример. Определить промежутки возрастания и убывания функции: у = х³ — х² — 8х + 2.

Решение. Чтобы применить признаки возрастания и убывания функции, найдем производную данной функции и определим значения х, при которых она положительна или отрицательна:

у' = Зх² — 2х — 8.

Разложим трехчлен второй степени на множители, так  как гораздо легче судить о  знаке произведения по знакам множителей, чем о знаке суммы по знакам слагаемых.