Производная и её применение в алгебре, геометрии и физике

Гимназия  №1 города Полярные Зори

Алгебра, геометрия, физика. 
 
 

Научная работа

 
 
 

ТЕМА "ПРОИЗВОДНАЯ И  ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В АЛГЕБРЕ, ГЕОМЕТРИИ, ФИЗИКЕ”. 
 
 
 
 

Руководители:

Полуэктова  Наталья Павловна,

преподаватель алгебры, геометрии

Конкин  Александр Николаевич,

преподаватель физики, астрономии

Автор:

Бирюков Павел Вячеславович. 
 

Полярные  Зори

Январь-май 2001 г. 
 
 
 
 

СОДЕРЖАНИЕ

Производная функция: ……………………………………………………………….3

1. Производная функция …………………………………………………………...3
2. Касательная к кривой ……………………………………………………………5
3. Геометрический смысл производной …………………………………………..6
4. Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции …..7

Производные от элементарных функций: …………………………………………8

1. Производная постоянной ………………………………………………………...8
2. Таблица элементарных производных …………………………………………...8
3. Правила дифференцирования …………………………………………………...8

Изучение функций  с помощью производной: …………………………………….9

1. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций ……………………9
2. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин ……….11
3. Максимум и минимум функции ……………………………………………….12
4. Признаки существования экстремума …………………………………………12
5. Правило нахождения экстремума ……………………………………………...14
6. Нахождение экстремума при помощи второй производной …………………14
7. Направление вогнутости кривой ………………………………………………16
8. Точки перегиба ………………………………………………………………….17
9. Механическое значение второй производной ………………………………...18

Дифференциал: ………………………………………………………………………19

1. Сравнение бесконечно малых ………………………………………………….19
2. Дифференциал функции ………………………………………………………..19
3. Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов ...21
4. Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям …….22

Примеры применения производной  в алгебре, геометрии и физике ……….23

Список литературы …………………………………………………………………..34

Рецензия на работу ………………………………………………………………….35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Производная функция

 
 

Поставим своей  задачей определить скорость, с которой изменяется величина у в зависимости от изменения величины х. Так как нас интересуют всевозможные случаи, то мы не будем придавать определенного физического смысла зависимости y=f(x), т.е. будем рассматривать величины х и у как математические.

Рассмотрим функцию  y=f(x), непрерывную на отрезке [а, b]. Возьмем два числа на этом отрезке: х и х+∆x; первое, х, в ходе всего рассуждения считаем неизменным, ∆x — его приращением. Приращение ∆x; аргумента обусловливает приращение ∆у функции, причем:

        ∆y=f(x+∆x)-f(x).           (I)

Найдем отношение  приращения  ∆у   функции к приращению ∆x аргумента:

                                          ∆у/∆x=(f(x+∆x)-f(x))/ ∆x.      (II)

По предыдущему, это отношение представляет собой  среднюю скорость изменения у относительно х на отрезке

[x, x+∆x].

Будем теперь  неограниченно  приближать   ∆x к нулю.

Для непрерывной  функции f(x) стремление ∆x к нулю вызывает стремление к нулю ∆у, отношение (II) становится при этом отношением бесконечно малых, вообще величиной переменной. Пусть это переменное отношение (II) имеет вполне определенный предел(утверждать, что определенный предел отношения ∆x/∆у всегда существует нельзя), обозначим его символом f '(х).

                                                      

                     (III) 

С физической точки  зрения этот предел есть значение скорости изменения функции f(x) относительно ее аргумента при данном значении х этого аргумента. В анализе этот предел называют производной данной функции в точке х.

Определение. Производной данной функции в точки х называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента в точке х, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2°. Пусть каждому значению аргумента х соответствует определенное значение скорости изменения функции f(x). Тогда скорость f '(х) есть новая функция аргумента х, она называется производной функцией от данной функции f(x).

Например, производная  функция от квадратной функции  Q=bt+at² есть линейная функция Q' = b + 2at.

3°. Производная функция обозначается так: 1) у данной функции ставится штрих на том месте, где обычно помещается показатель степени, или 2) перед обозначением

данной функции  ставится символ d/dx. 

Если данная функция обозначена буквой у, то ее производная может быть обозначена:

1) у', читать: «производная  функции у»,

 или

2) dy/dx, читать: «дэ игрек по дэ икс». 

Если данная функция обозначена символом f(x), то ее производная может быть обозначена:

1) f '(х), читать: «производная функции f(x)»,

 или же

2) df(x)/dx, читать: «дэ эф от икс по дэ икс».

4°. Нахождение производной от данной функции называется дифференцированием данной функции.

Общее правило  дифференцирования (нахождения производной) следующее:

1) найти приращение  ∆y функции, т. е. разность значений функции при значениях аргумента x + ∆x и x;

2) найти отношение  ∆y/∆x, для этого полученное выше равенство разделить на ∆x;

3) найти предел  отношения ∆y/∆x при ∆x →0.

Пример. Найти  производную функции у = х³ + 1 в любой точке x.

Решение. 1) ∆y = (x + ∆x)³ + 1 — (х³ + 1).

По выполнении действий: 

∆y = Зx²*∆x+Зx*∆x ²+∆x ³; 

2) ∆y/∆x=3x² + Зx*∆x+∆x ²;

3) dy/dx = lim(3x²+3x*∆x+∆x ² = 3x²+3x*0+0 = 3x².

                  ∆x→0

5°. Заметим, что производная линейной функции у= =kx+b есть величина постоянная, равная k.

Действительно, для линейной функции y = kx+b

∆у = k*∆x;

  ∆y/∆x=k;

 

6°. Производные  часто встречаются в технике  и естествознании. Примеры производных: 1) при движении тела пройденный путь s есть функция от времени t скорость движения в данный момент времени t есть производная от пути s по времени t, т. е.

                     υ=ds/dt;

2) при вращательном  движении твердого тела (например, маховика) (черт) вoкруг оси Ох, угол поворота его φ есть функция времени t:

φ=f(t);

угловая скорость (омега) в данный момент времени  t есть производная от угла поворота по времени, т. е.

ω=dφ/dt;

3) при охлаждении  тела температура Т тела есть функция времени t,

T=f(t);

скорость охлаждения в момент  времени t есть   производная от температуры Т по времени с, т. е. dT/dt;

4) теплоемкость  С для данной температуры t есть производная от количества теплоты Q по температуре t,

C=dQ/dt;

5) при нагревании  стержня его удлинение ∆l, как показывают тщательные опыты, лишь приближенно можно считать пропорциональным изменению температуры Дt. Поэтому функция l=f(t) является не линейной, а отношение ∆l/∆t лишь средним коэффициентом линейного расширения на отрезке [t, t+Дt]. Коэффициент линейного расширения а при данном значении температуры t есть производная от длины l по температуре t,

α=dl/dt 
 
 

Касательная к кривой 

1°. Возьмем на прямой АВ (черт) точку С и проведем через нее прямую СМ, не совпадающую с АВ. Вообразим, что прямая СМ вращается вокруг точки С так, что угол γ между прямыми стремится к нулю. Неподвижная прямая АВ называется в этом случае предельным положением подвижной прямой СМ.

2°, Вообразим, что на кривой АВ (черт. 93) точка М неограниченно приближается к неподвижной точке С, секущая СМ при этом вращается вокруг точки С. Может случиться, что, независимо от того, будет ли точка М приближаться к С в направлении от A к С или от В к С (на черт точка M'), существует одна и та же прямая СТ — предельное положение секущей СМ.

Определение. Прямая СТ, предельное положение секущей СМ, называется касательной к кривой в точке С.

Точка С называется точкой прикосновения или касания.

3°. Следствие. Угол φ (черт.), образуемым касательной СТ с осью Ох, есть предел угла α, образуемого с осью Ох секущей СМ, для которой данная касательная служит предельным положением.

Действительно, угол γ между касательной СТ и секущей СМ равен разности α — φ:

α — φ = γ.

По определению  касательной, угол γ — бесконечно малая величина, а поэтому

        φ — limα.          (I)

4°. Теорема. Если к линии y=f(x) в точке х имеется касательная, непараллельная Оу, то угловой коэффициент касательной равен значению производной f '(х), в точке х.

Доказательство. Угловой коэффициент касательной:

tgφ  = tg(limα),

так   как, по   предыдущему, φ = limα. 

Исключая случай φ = π/2,

в силу непрерывности  тангенса имеем: tg(limα) = lim tgα.

Поэтому tgφ = lim tgα.

По формуле (VI) для СМ (черт.) имеем:

tgα=(f(x+Δx) -f (x))/Δx

Переходя к  пределу при Δx→0 (точка М при Δx→ 0 неограниченно приближается  к С, а угол  α→φ), имеем:

        

Следовательно,         (IV) 

Геометрический  смысл производной 

1°. Справедлива обратная теорема, выражающая геометрический смысл производной: если функция y=f(x) имеет определенную производную в точке х, то:

1) в этой точке  имеется касательная  к графику функции,

2) угловой коэффициент  ее равен значению  производной f '(x) в точке х.