Производная и её применение в алгебре, геометрии и физике

Скорость изменения скорости в момент времени t есть ускорение а,

a=(v)' = (ds/dt)' = (d²s/dt²).

Вторая  производная от пути по времени есть ускорение  прямолинейного движения в данный момент времени.

Пример. Прямолинейное  движение точки совершается по закону:

s = (t³ — 2) м.

Определить ускорение  в момент t = 10 сек.

Решение. Ускорение  а = d²s/dt².

Дифференцируя функцию s=t³ — 2, находим d²s/dt² =6t

Следовательно,

a = 6t = 6*10 = 60; a = 60 м\сек².

2°. Если движение неравномерное, то сила F, производящая его, непостоянна, каждому моменту времени t соответствует определенное значение действующей силы F, и сила, таким образом, есть функция времени t, F=f(t).

По закону Ньютона, в каждый момент времени действующая  сила F равна произведению массы т на ускорение а, т. е.

F=ma, или f(t) = ma.

При прямолинейном  движении a =d²s/dt², поэтому

f(t) = m*d²s/dt².

Зная уравнение  прямолинейного движения, можно дифференцированием найти значение действующей силы в каждый момент времени.

Пример. Определить силу, под действием которой материальная точка совершает прямолинейные колебания по закону

s = А*sin(ωt + ω₀).

Решение. f(f) = m*d²s/dt², поэтому находим  вторую производную функции:

s = А*sin(ωt + ω₀), ds/dt = А*cos(ωt+ω₀)* ω,

d²s/dt²=— А*sin (ωt + ω₀)* ω² = — s*ω² = — ω²s; f(t) = — mω²s,

т. е. рассматриваемые  колебания совершаются под действием  силы, пропорциональной перемещению  s и направленной в противоположную сторону. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

 
 

Сравнение бесконечно малых 

1°. Составим отношение бесконечно малых, приближающихся к нулю по различным законам, так что каждому рассматриваемому моменту приближения к нулю одной из бесконечно малых отвечает определенное значение каждой из рассматриваемых бесконечно малых. Например, пусть в те моменты приближения к нулю, когда значения α = 10;1; 0.1; 0,01 и т.д.;

значения β =1000; 1; 0,001; 0,000001 и т.д.

Отношение β/α =100; 1; 0, 01; 0, 0001 и т.д., т.е.

значение отношения  бесконечно малых не остается неизменным в процессе приближения их к нулю. Отношение бесконечно малых, таким  образом,—величина переменная, и у нее может существовать предел, конечный (равный нулю, как в примере, или отличный от нуля) или бесконечный, а может предела и не существовать.

2°. Определения:  1) β называется бесконечно малой высшего порядка малости, чем α, если предел отношения β/α равен нулю, т. е. если

limβ/α =0;

2) β называется бесконечно малой низшего порядка малости, чем α, если

limβ/α = ∞;

3) β и α называются бесконечно малыми одинакового порядка малости, если предел их отношения есть число k, отличное от нуля, т. е. если

limβ/α = k, где k ≠ 0 и k ≠ ∞

4) β и α называются несравнимыми бесконечно малыми, если предела их отношения не существует.

3°. Примеры. 1. В рассмотренном выше примере limβ/α = 0, β высшего порядка малости, чем α, a limα/β = ∞ и α низшего порядка, чем β.

2. α =1—х и β=1— x² —бесконечно малые, если х→1. Отношение β/α=(1- x²)/(1-x) = 1+x. 

Значит, 1—х и 1—x² —бесконечно малые одинакового порядка малости при х→1.

3. Сравним 1 —cosx  с х при x→ 0.

 
 
 

т. е. 1—cos x при х → 0 есть бесконечно малая высшего порядка малости, чем х. 

Дифференциал  функции 

1°. Определение. Дифференциалом (dy) функции y=f(x) называется произведение значения производной f '(х) на произвольное приращение ∆x аргумента х, т. е.

  (I) 

2°. Для получения значения дифференциала функции необходимо знать два числа: начальное значение аргумента, х, и его приращение, ∆x.

Пример. Вычислить дифференциал функции  у = x² при изменении значения аргумента х от 3 до 3,1.

Решение. dy=f '(х)* ∆х. Найдем dy сначала для произвольных значений х и ∆x.

f '(x) = (x²)' =2x.

Поэтому

dy=2x*∆x.

Начальное значение аргумента х=3, приращение его ∆x = 3,1 — 3 = 0,1. Подставляя эти значения в выражение dy находим:

dy =2*3*0,1=0,6.

Для данного значения независимого переменного  х дифференциал функции  f(x) есть линейная функция приращения независимого переменного ∆х.

3°. Рассмотрим геометрический смысл дифференциала функции. На черт. в точке х проведена касательная к графику функции y=f(x). Из ∆MPT следует, что

PT = MP*tgφ  = ∆x*f '(x).

Но по определению f '(х) *∆x = dy, поэтому PT = dy.

Дифференциал  функции f(x) при данном значении х геометрически выражается приращением ординаты касательной к графику функции y=f(x) в точке х.

4°. Дифференциал dy и приращение ∆у вообще не равны между собой. На черт. dy = PT менее ∆y=PQ.

Очевидно, dy может быть и более ∆y. Это будет, например, если поднимающаяся кривая MN будет вогнута вниз.

5°. Пример. Для функции у=x² при изменении х от 3 до 3,1 приращение ∆y = 2x*∆x + + ∆x² = 2*3*0,1 + 0, 1² = 0, 61 Дифференциал dy = 2х *∆x = 2*3 * 0, 1 = 0,6. Принимая dy за приближенное значение ∆у, имеем: абсолютная погрешность приближения равна разности ∆у—dy=0,01, а относительная погрешность приближения есть отношение:

(∆y—dy)/dy=00,1/0,60=1,7%

6°. Разность между приращением и дифференциалом функции, ∆у—dy, высшего порядка малости, чем приращение аргумента, ∆x.

Действительно, отношение ∆y/∆x отличается от своего предела f '(x) на бесконечно малую α, причем α → 0 при стремлении ∆x к нулю,

∆y/∆x — f '(x)= α.

Производя вычитание в левой части равенства, получаем:

(∆y-f '(x)*∆x)/∆x = α, или (∆у - dy) ∆x= α,

 

7°. Из сказанного следует: дифференциал функции есть приближенное значение ее приращения с относительной погрешностью, стремящейся к нулю вместе с приращением аргумента.

8°. Из изложенного следует, что дифференциал dy функции y=f(x) обладает двумя свойствами:

1) dy пропорционален ∆x (dy = k∆x, где k=y');

2) отношение (∆y—dy)/∆x стремится к нулю при стремлении ∆x к нулю.

Обратно. Если величина z обладает двумя свойствами:

1) z=k∆x и 2) то z есть дифференциал функции у. 

Доказательство. Внося из (1) значение z во (2), имеем:

т. е.            k = y',

а следовательно,

z = k∆x = y’∆x,

т. е. z есть дифференциал функции у.

Таким образом, эти два  условия полностью  определяют дифференциал. 
 

Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов 

1°. Определение. Дифференциалом (dx) аргумента х называется, его приращение, ∆x:

                                                                    dx = ∆х                                                     (II)

Может быть, некоторым основанием к этому  служит то, что дифференциал функции  у=х и приращение ее аргумента  совпадают. Действительно,

dy = (x)' ∆x, или dy = ∆x.

Но так как

dy = dx, то dx = ∆x,

т.е. дифференциал функции у =х и приращение ее аргумента совпадают.

      2°. Внеся в формулу (I) значение ∆x=dx, получаем:

                                                                                  (III)

т. е. дифференциал функции есть произведение ее производной на дифференциал аргумента.

3°. Формула (III) обладает замечательным свойством, именно: формула dy = f '(x)dx справедлива и в том случае, если x не является независимой переменной величиной, а является функцией другого аргумента, например и.

Действительно, если х есть функция от и, то f(x) есть сложная функция от u приращение dx обусловлено приращением ∆u, и dy надо вычислять по формуле;

dy = f '_u (x)* ∆u.

Но

f '_u (x)= f’_x (x)* x’_u

Значит,

dy = f’(x)—x'_u * ∆u.

Но так как, по определению,

x'_u ∆u = dx,

то, следовательно,

dy = f '(x)dx.

4°. Пример. Найти дифференциал функции:

                               _____________________

у = √ (e^2x—1).

Решение. По формуле (III)

dy = у'*dx.

Находим у':                                                           ________            ________

y’  = e^2x*2/( 2√ (e^2x—1)) = e^2x/ √ (e^2x—1).

Значит                                                                                  _______

dy = e^2x*dx/ √ (e^2x—1)

5°. Из формулы (III) следует;

f’(x)=dy/dx,

т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента. Это иллюстрирует черт., где

dy/dx = PT/MP = tgφ=f '(x)

для произвольного  значения dx = MP. 
 

Приложения  понятия дифференциала  к приближенным вычислениям 

1°. Разность ∆y—dy—бесконечно малая высшего порядка малости, чем ∆x, поэтому при достаточно малом ∆x

(IV)

Это означает, что при малых изменениях аргумента (от начального значения х) величину изменения функции y=f(x) можно приближенно считать пропорциональной величине изменения аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным значению производной f '(x); кривую y=f (x) при этом можно приближенно заменить касательной к ней в точке х.