t = 13 (август) + 30 (сентябрь) + 31 (октябрь) + 17 (ноябрь) - 1 = 90 дней.

     Отсюда, определяемая сумма:

     PV = FV • (1 - t / T • d) = 5'000 • (1 - 90 / 360 • 0,08) = 4'900 руб.

     Тогда дисконт составит:

     D = FV - PV = 5'000 - 4'900 = 100 руб.

     или

     D = FV • t / T • d = 5'000 • 90 / 360 • 0,08 = 100 руб.

     Следовательно, предъявитель векселя получит сумму 4'900 руб., а банк при наступлении  срока векселя реализует дисконт  в размере 100 руб. 

     

• по сложной  учетной ставке:

     PV = FV • (1 - d) ⁿ 

     При использовании сложной учетной  ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, т.к. учетная ставка каждый раз применяется к уменьшаемой на величину дисконта величине. 

     Пример. Определить величину суммы, выдаваемую заемщику, если он обязуется вернуть ее через два года в размере 55 тыс. руб. Банк определяет свой доход с использованием годовой учетной ставки 30%.

     Решение:

     Используя формулу дисконтирования по сложной  учетной ставке, определяем:

     PV = FV • (1 - d) ⁿ = 55'000 • (1 - 0,3)² = 26'950 руб.

     Заемщик может получить ссуду в размере 26'950 руб., а через два года вернет 55 тыс. руб. 

     Объединение платежей можно производить и  на основе учетной ставки, например, при консолидировании векселей. В  этом случае, сумма консолидированного платежа рассчитывается по следующей  формуле: 

     FV_oб = ΣFV_j • (1 - d • t_j) ^-1 , 

     где t_j – интервал времени между сроками векселей. 

     Пример. Вексель на сумму 10 тыс. руб. со сроком погашения 10.06, а также вексель на сумму 20 тыс. руб. со сроком погашения 01.08 заменяются одним с продлением срока до 01.10. При объединении векселей применяется учетная ставка 25%. Определить сумму консолидированного векселя.

     Решение:

     Для использования формулы консолидированного платежа необходимо определить срок пролонгации векселей:

     t₁ = 21 (июнь) + 31 (июль) + 31 (август) + 30 (сентябрь) + 1 (октябрь) - 1 = 113 дней,

     t₂ = 31 (август) + 30 (сентябрь) + 1(октябрь) - 1 = 61 день.

     Тогда, сумма консолидированного векселя:

     FV_o = ΣFV_j • (1 - d • t_j) ^-1 =

     = 10'000 • (1 - 113 / 360 • 0,25) ^-1 + 20'000 • (1 - 61 / 360 • 0,25) ^-1 =

     = 31'736 руб.

     Таким образом, сумма консолидированного векселя с датой погашения 01.10 составит 31'736 руб. 

     В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается  начисление процентов, происходит совмещение начисления процентов по процентной ставке и дисконтирования по учетной ставке: 

     PV₂ = PV₁ • (1 + n₁ • i ) • (1 - n₂ • d ), 

     где PV₁ – первоначальная сумма долга;

     PV₂ – сумма, получаемая при учете обязательства;

     n₁ – общий срок платежного обязательства;

     n₂ – срок от момента учета до погашения. 

     Пример. Обязательство уплатить через 100 дней сумму долга в размере 50 тыс. руб. с начисляемыми на нее точными процентами по ставке 40%, было учтено за 25 дней до срока погашения по учетной ставке 25%. Определить сумму, полученную при учете обязательства.

     Решение:

     Следует обратить внимание на различие временных  баз, используемых при наращении  и учете:

     PV₂ = PV₁ • (1 + n₁ • i ) • (1 - n₂ • d ) =

     = 50'000 • (1 + 100 / 365 • 0,4) • (1 - 25 / 360 • 0,25) = 54'516 руб.

     Следовательно, сумма, получаемая при учете данного обязательства, составит 54'516 руб. 

     Глава 4. Потоки платежей и  финансовые ренты

     4.1. Сущность потока  платежей и основные  категории

 

     До  сих пор мы рассматривали случаи финансовых операций, состоящих из отдельного разового платежа, например, получение и погашение долгосрочной ссуды. Вместе с тем, погашение такой ссуды возможно не только единовременным платежом, но множеством распределенных во времени выплат. В финансовой литературе ряд распределенных во времени выплат и поступлений называется потоком платежей.

     Потоки  платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финансовых операций: с  ценными бумагами, в управлении финансами  предприятий, при осуществлении  инвестиционных проектов, в кредитных  операциях, при оценке бизнеса, при оценке недвижимости, выборе альтернативных вариантов финансовых операций и т. п.

     Члены потока могут быть как положительными величинами (поступления), так и отрицательными величинами (выплатами), а временные  интервалы между членами такого потока могут быть равными и неравными.

     Поток платежей, все члены которого имеют  одинаковое направление (знак), а временные  интервалы между последовательными  платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом.

     При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории:

• член ренты (R) – величина каждого отдельного платежа;
• период ренты (t) – временной интервал между членами ренты;
• срок ренты (n) – время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода;
• процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента.

     Поскольку условия финансовых сделок весьма разнообразны, постольку разнообразны и виды потоков  платежей. В основе классификации финансовых рент положены различные качественные признаки:

• В зависимости от периода продолжительности ренты выделяют
• годовую ренту, которые представляют собой ежегодные платежи, т.е. период ренты равен 1 году;
• срочную ренту, при которой период ренты может быть как более, так и менее года.
• По числу начислений процентов различают
• ренты с начислением 1 раз в год;
• ренты с начислением m раз в год;
• непрерывное начисление.
• По величине членов ренты могут быть
• постоянные ренты, где величина каждого отдельного платежа постоянна, т.е. рента с равными членами;
• переменные ренты, где величина платежа варьирует, т.е. рента с неравными членами.
• По числу членов ренты они бывают
• с конечным числом членов (ограниченные ренты), когда число членов ренты конечно и заранее известно;
• с бесконечным числом (вечные ренты), когда число ее членов заранее не известно.
• По вероятности выплаты ренты делятся на
• верные ренты, которые подлежат безусловной выплате, т.е. не зависят не от каких условий, например, погашение кредита;
• условные ренты, которые зависят от наступления некоторого случайного события.
• По методу выплаты платежей выделяют
• обычные ренты, которые на практике встречаются чаще всего, – с выплатой платежа в конце периода ренты (постнумерандо);
• ренты, с выплатой в начале периода ренты (пренумерандо).

     4.2. Обобщающие характеристики финансовых потоков

 

     Обобщающими характеристиками финансовых потоков  являются:

• наращенная сумма;
• современная величина потока платежей.

     4.2.1. Наращенная величина  аннуитета

 

     Получатели  поступлений оценивают свой доход  суммарной величиной за полный срок действия платежа, разумеется, с учетом временной неравноценности денег.

     Наращенная сумма – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Это может быть обобщенная сумма задолженности, итоговый объем инвестиций и т.п.

     Наращенные  отдельные платежи представляют собой члены геометрической прогрессии с первым членом равным R и множителем равным (1 + i).

     Рассмотрим  определение наращенной суммы на примере наиболее простого случая, – годовой постоянной обычной  ренты:

     где FVA – наращенная сумма ренты;

     R – размер члена ренты, т.е. размер очередного платежа;

     i – годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты;

     n – срок ренты в годах,

     s _n;i – коэффициент наращения ренты. 

     Пример. На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.

     Решение:

     Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента; проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо, значит это обычная рента; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты; число членов ренты пять, т.е. конечно, следовательно, ограниченная рента; а выплаты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента.

     Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:

     Можно определить наращенную сумму постоянной ренты, воспользовавшись финансовыми таблицами (Приложение 4), содержащими коэффициенты наращения ренты:

     FVA = R • s_{5 ; 30} = 500 • 9,0431 = 4'521,55 руб.

     Сумма взносов в течение 5 лет составит:

     P = n • R = 5 • 500 = 2'500 руб.

     Следовательно, сумма начисленных процентов  будет равна:

     I = FVA - P = 4'521,55 - 2'500 = 2'021,55 руб.

     Таким образом, доход владельца счета  за 5 лет составит 2'021,55 руб. 

     Для овладения методами финансовой математики важно не столько запоминание формул, сколько общих принципов расчета.

     Для определения наращенной суммы на конец рассматриваемого периода  последовательно присоединяются промежуточные  результаты наращения к очередному платежу.

     Рассмотрим  поэтапное решение предыдущего  примера:

     Расчет  наращенной величины аннуитета