i = (1 + j / m)^m - 1 = (1 + 0,1 / 12)¹² - 1 = 0,1047.

     Таким образом, годовая ставка, эквивалентная  номинальной ставке процентов в размере 10% годовых при ежемесячном начислении процентов, составит 10,47% против 10,38% с ежеквартальным начислением процентов. Чем больше периодов начисления, тем быстрее идет процесс наращения. 

     Для облегчения расчетов можно пользоваться таблицами коэффициентов наращения сложных процентов, но внимательно следить за соответствием длины периода начисления и процентной ставки за этот же период. Например, если периодом начисления является квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка.

     2.2.3. Переменная ставка  процентов

 

     Необходимо  отметить, что основная формула сложных  процентов предполагает постоянную процентную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Однако, предоставляя долгосрочную ссуду, часто используют изменяющиеся во времени, но заранее зафиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В случае использования переменных процентных ставок, формула наращения имеет следующий вид:

     где i_k – последовательные во времени значения процентных ставок;

     n_k – длительность периодов, в течение которых используются соответствующие ставки. 

     Пример. Фирма получила кредит в банке на сумму 100'000 долларов сроком на 5 лет. Процентная ставка по кредиту определена в 10% для 1-го года, для 2-го года предусмотрена надбавка к процентной ставке в размере 1,5%, для последующих лет 1%. Определить сумму долга, подлежащую погашению в конце срока займа.

     Решение:

     Используем  формулу переменных процентных ставок:

     FV = PV • (1 + i₁)ⁿ₁ • (1 + i₂)ⁿ₂ • … • (1 + i_k)ⁿ_k =

     = 100'000 • (1 + 0,1) • (1 + 0,115) • (1 + 0,125)³ =

     = 174'632,51 долларов

     Таким образом, сумма, подлежащая погашению  в конце срока займа, составит 174'632,51 доллара, из которых 100'000 долларов являются непосредственно суммой долга, а 74'632,51 доллара – проценты по долгу.

     2.2.4. Непрерывное начисление  процентов

 

     Все ситуации, которые мы до сих пор  рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно, за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так: 

     k_н = (1 + j / m)^m = (1 + j / 365)³⁶⁵ 

     Но  поскольку проценты начисляются  непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e ^j: 

     где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

     Отсюда  можно записать формулу наращенной суммы для n лет: 

     FV = PV • e ^{j • n} = P • e ^{δ • n} 

     Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ, в отличие от ставки дискретных процентов ( j ). 

     Пример. Кредит в размере на 100 тыс. долларов получен сроком на 3 года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться:

     а) один раз в год;

     б) ежедневно;

     в) непрерывно.

     Решение:

     Используем  формулы дискретных и непрерывных  процентов:

     начисление  один раз в год

     FV = 100'000 • (1 + 0,08)³ = 125'971,2 долларов;

     ежедневное начисление процентов

     FV = 100'000 • (1 + 0,08 / 365)^{365 • 3} = 127'121,6 долларов

     непрерывное начисление процентов

     FV = 100'000 • e^{0,08 • 3} = 127'124,9 долларов.

     Графически  изменение наращенной суммы в  зависимости от частоты начисления имеет следующий вид:

     При дискретном начислении каждая "ступенька" характеризует прирост основной суммы долга в результате очередного начисления процентов. Обратите внимание, что высота "ступенек" все время возрастает.

     В рамках одного года одной "ступеньке" на левом графике соответствует  две "ступеньки" на среднем графике  меньшего размера, но в сумме они  превышают высоту "ступеньки" однократного начисления. Еще более быстрыми темпами идет наращение при непрерывном начислении процентов, что и показывает график справа.

     Таким образом, в зависимости от частоты  начисления процентов наращение  первоначальной суммы осуществляется с различными темпами, причем максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.

     Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор  инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов

     2.2.5. Определение срока ссуды и величины процентной ставки

 

     Так же как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции:

• срок ссуды:

     n = [log (FV / PV)] / [log (1 + i)] = [log (FV / PV) ] / [log(1 + j / m)^m]; 

     

• ставка сложных процентов:

     Пример. Что выгоднее: увеличение вклада в три раза за три года или 46% годовых?

     Решение:

     Такого  рода задачи приходится решать не только лицам, занимающимся финансовой работой, но и населению, когда решается вопрос о том, куда выгоднее вложить деньги. В таких случаях решение сводится к определению процентной ставки:

     Таким образом, увеличение вклада за три года в три раза эквивалентно годовой  процентной ставке в 44,3%, поэтому размещение денег под 46% годовых будет более  выгодно.

     2.3. Эквивалентность  ставок и замена  платежей

     2.3.1. Эквивалентность  процентных ставок

 

     Достаточно  часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между  собой сравнение по выгодности условий  различных финансовых операций и  коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю.

     Различные финансовые схемы можно считать  эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату.

     Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.

     Классическим  примером эквивалентности являются номинальная и эффективная ставка процентов: 

     i = (1 + j / m)^m - 1. 

     j = m[(1 + i)^{1 / m} - 1]. 

     Эффективная ставка измеряет тот относительный  доход, который может быть получен  в целом за год, т.е. совершенно безразлично  – применять ли ставку j при начислении процентов m раз в год или годовую ставку i, – и та, и другая ставки эквивалентны в финансовом отношении.

     Поэтому совершенно не имеет значения, какую  из приведенных ставок указывать  в финансовых условиях, поскольку  использование их дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, а в европейских странах предпочитают эффективную ставку процентов.

     Если  две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными. 

     Пример. Каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым начислением процентов и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25%?

     Решение:

     Находим номинальную ставку для полугодового начисления процентов:

     j = m[(1 + i)^{1 / m} - 1] = 2[(1 + 0,25)^1/2 - 1] = 0,23607.

     Находим номинальную ставку для ежемесячного начисления процентов:

     j = m[(1 + i)^{1 / m} - 1] = 4[(1 + 0,25)^1/12 - 1] = 0,22523.

     Таким образом, номинальные ставки 23,61% с полугодовым начислением процентов и 22,52% с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными. 

     При выводе равенств, связывающих эквивалентные  ставки, приравниваются друг к другу  множители наращения, что дает возможность  использовать формулы эквивалентности простых и сложных ставок:

     простая процентная ставка: 

     i = [(1 + j / m)^{m • n} - 1] / n; 

     сложная процентная ставка:

 

     Пример. Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20% годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26% годовых. Найти оптимальный вариант.

     Решение:

     Находим для сложной процентной ставки эквивалентную  простую ставку:

     i = [(1 + j / m)^{m • n} - 1] / n = [(1 + 0,2 / 2)^{2 • 4} - 1] / 4 = 0,2859.

     Таким образом, эквивалентная сложной  ставке по первому варианту простая  процентная ставка составляет 28,59% годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 26% годовых по второму варианту, следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 20% годовых с полугодовым начислением процентов.

     Находим эквивалентную сложную ставку процентов  для простой ставки:

     Таким образом, процентная ставка 18,64% годовых  с полугодовым начислением процентов  ниже 20% годовых с полугодовым  начислением процентов, то первый вариант  выгоднее.

     2.3.2. Изменение финансовых  условий