Динамический синтез системы управления

   Как уже было отмечено выше, при ступенчатых  входных воздействиях величиной, большей, чем А^*, начинают сказываться нелинейные свойства системы, что приводит к ухудшению быстродействия системы. 
 
 
 
 
 

   3.2 Исследование возможных автоколебаний в автономной САР 

   Для исследования возможных автоколебаний  применятся частотный метод определения  автоколебаний Л.С.Гольдфарба. Однако следует отметить, что он применяется  для линеаризованной системы. Следовательно, перед его использованием нам надо воспользоваться одним из методов линеаризации системы. Наиболее удобным математическим аппаратом является метод гармонической линеаризации нелинейностей.

   Суть  метода гармонической линеаризации состоит в замене нелинейного  элемента эквивалентным линейным. Условиями эквивалентности служат совпадения выходных колебаний линейного звена с первой гармоникой выходных колебаний нелинейного звена, когда на их вход подается гармонический сигнал вида x = Asin(wt).

   Если  характеристика нелинейного элемента однозначная и симметричная относительно начала координат, то эквивалентный линейный элемент может описываться уравнением.

                                                             

                                                     (3.1)

где x - входная координата; у - выходная координата; - коэффициент гармонической линеаризации.       

   В случае неоднозначных (петлевых) нелинейностей  первая гармоника входного сигнала сдвинута по фазе относительно входного сигнала; этой же способностью должен обладать эквивалентный линейный элемент, поэтому при линеаризации используется элемент, свойства которого определяются уравнением

                                                                              (3.2)

где, q(a) и q’(a) - коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые только для данной нелинейности, которые должны обеспечить равенство между выходными колебаниями эквивалентного линейного и первой гармоникой нелинейного элемента.

   Передаточная  функция в данном случае выражается

                                                                                          (3.3)

   Частотная характеристика:

                                                                                            (3.4)

   Коэффициенты гармонической линеаризации могут зависеть и от частоты, тогда частотная характеристика нелинейного элемента примет вид

                                                                                    (3.5)

   Опишем суть частотного метода  Гольдфарба. Признак нахождения системы на границе устойчивости записывается как

                                                                                                (3.6)

   Для применения метода логарифмических  характеристик выражение (3.6) логарифмируется, и исходные уравнения записываются в виде

                                                   (3.7)

                                                     (3.8)

   Решение определяется графически, т.е. надо найти  такие значения и , при которых одновременны имеют место сразу оба равенства. Для этой цели строится ФГУ по следующему правилу. Точки пересечения амплитудной характеристики линейной части с амплитудными характеристиками нелинейной части сносятся на вертикали, на соответствующие фазовые характеристики нелинейной части; через полученные таким образом точки проводиться ФГУ. Таким же образом строится АГУ. Для практического определения устойчивости автоколебаний на ФГУ и АГУ следует нанести штриховку с одной стороны по одному из следующих правил:

   а) если при увеличении амплитуды  амплитудные характеристики нелинейной части перемещаются вниз, то ФГУ штрихуется снизу и наоборот;

   б) если перемещается вдоль ФГУ в  сторону увеличения амплитуды  , то штриховка должна быть справа.

   в)  в окрестности точки пересечения  уточнить направление возрастания амплитуды А, при возрастании амплитуды АГУ штрихуется слева.

   После нанесения штриховки используется следующий признак: автоколебания  устойчивы, если фазовая характеристика линейной части  при перемещении по ней в сторону увеличения частоты пересекает ФГУ, переходя с заштрихованной стороны на незаштрихованную. Такое же правило справедливо и для АГУ.

   Определение возможности возникновения автоколебаний  в системе с учетом насыщения  в усилителе мощности.

   Для нелинейного звена с однозначной характеристикой:

                                          (3.9)

   Следовательно,

        (3.10)

Логарифмические характеристики имеют следующий вид:

                                 _,      (3.11)

                                  _.                                        (3.12)

   Во  всех случаях, когда возможно определение  свойств нелинейного звена в  функции приведённой амплитуды  , где параметр нелинейности, в приведённых выше выражениях заменяется на . Видно, что характеристики нелинейного звена не зависят от и представляют собой семейства горизонтальных линий. Коэффициент гармонической линеаризации для нелинейности типа «ограничение» определяется следующим образом

                     _(3.13)

   ФГУ для  данного типа нелинейности представляет собой отрезок линий -180 , ограниченный справа частой среза . АГУ (амплитудная граница устойчивости) есть вертикальная линия на частоте .

   Так как ЛФХ линейной системы и  ФГУ не пересекаются, то автоколебания  при данном  типе нелинейности в проектируемой системе отсутствуют.

   Для возникновения автоколебаний нужно  поднять ЛАХ скорректированной  разомкнутой системы на расстояние = 13 дБ, а для этого необходимо увеличить коэффициент усиления разомкнутой системы К в раз до критического значения . В этом случае линейная система будет на границе устойчивости, а ЛАХ будет пересекать АГУ из заштрихованной области в незаштрихованную в одной точке, следовательно будут возникать устойчивые автоколебания.

   Определим возможность возникновения автоколебаний  в системе с учетом люфта в  кинематической передаче.

   Нелинейное  звено типа люфт является нелинейностью гистерезисного типа и имеет зону нечувствительности. Так как , коэффициенты данной нелинейности при  определяются выражениями:

    , при  ,         (3.14)

                          

, при _,                                                   (3.15)

                           _,                                                      (3.16)

                                .                                                       (3.17)

   Данные  для построения ФГУ при данной нелинейности возьмём из приложения В. На рисунке 3.4 показаны ЛАХ и ЛФХ линейной части системы и ФГУ и АГУ. Видно, что имеется пересечение ФГУ с фазовой характеристикой системы и АГУ с ЛАХ системы, следовательно, делаем вывод, что при наличии люфта автоколебания существуют. Причем устойчивыми они будут лишь в том случае, когда фазовая характеристика линейной части, при перемещении по ней в сторону увеличения , будет пересекать фазовую границу устойчивости, переходя из заштрихованной части в незаштрихованную.

   Имеется 2 точки пересечения ЛФХ линейной части системы с ФГУ и ЛАХ  с АГУ. Они изображены на рисунке 3.4. Амплитуда колебаний в данном случае с частотой рад/с.

   Условием  возникновения автоколебаний является пересечение АГУ с ЛАХ линейной системы. Изменяя коэффициент усиления разомкнутой системы можно сдвигать ЛАХ линейной системы вертикально, и найти такой коэффициент усиления разомкнутой системы, при котором ее ЛАХ будет касаться АГУ (граница существования автоколебаний). Таким образом, можно подобрать такое значение , при котором в системе не будет наблюдаться автоколебаний.

   Расстояние  , на которое нужно сместить ЛАХ, чтобы она не пересекала АГУ. По рисунку приближенно определим значение :

   

 дБ.

   Используя полученное значение, можно приближенно  определить значение коэффициента усиления, при котором автоколебания исчезают:

   

   При низких частотах АГУ пересечет ЛАХ (и ЛФХ пересечет ФГУ) линейной части еще в одной точке, однако автоколебания на данной частоте  не возникнут, так как в этом случае ЛФХ линейной системы при увеличении частоты переходит с незаштрихованной стороны ФГУ в заштрихованную. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение

   В ходе работы было синтезировано автоматическое управляющее устройство (регулятор), которое позволяет системе достичь  требуемого в ТЗ качества.

   После этого скорректированная САР  исследовалась на качество. Были рассмотрены частотные, корневые, прямые показатели качества. По всем показателям качества скорректированная система имеет приемлемые значения.

В пункте 2 были построены области устойчивости и заданного качества для проектируемой САР. 

   В 3 пункте рассматривалась отработка нелинейной системой ступенчатого сигнала, начального рассогласования и гармонического сигнала. Проанализировано влияние нелинейностей «насыщение» и «люфт» на протекание процессов в системе. При наличии нелинейностей были исследованы возможные режимы автоколебаний. В полученной САР автоколебания вызываются только нелинейностью типа «люфт». Была исследована возможность появления устойчивых автоколебаний в данной системе. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Библиографический список 

   1. Зырянов,  Г.В. Динамический синтез САУ: Учебное пособие по выполнению курсовой работы / Г.В.Зырянов, А.А Кощеев.  – Челябинск: ЮУрГУ, 2001.

   2. Бесекерский, В.А. Теория автоматического управления / В.А. Бесекерский,  Е.П. Попов. – Спб.: Профессия, 2003.

   3. Теория автоматического управления / Под ред. В.Б. Яковлева.–   М.: ВШ, 2005.

   4. Зырянов, Г.В. Линейные дискретные  системы управления. – Челябинск, ЮУрГУ, 2005. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложения

Приложение  А

   Анализ  линейной САР с пропорциональным законом регулирования

Рисунок А.1 – Схема моделирования  в ППП VisSim

 

Рисунок А.2 – Нахождение корней A(p) в программе MathCad

   

   

   

Рисунок А.3 – Построение ВЧХ в программе  MathCad