Динамический синтез системы управления

   Требования  по точности, представленные в техническом  задании:

    .

   F₁=0.15 Гц; F₂=0.5 Гц: F₃=1.6 Гц.

   Вычислим  координаты контрольных точек, определяющей границу запретной области по точности, в которую не должна заходить ЛАХ желаемой системы по формулам:

    .                                            (2.1)

    .                                               (2.2) 

   L₁=37.08 дБ.   

   L₂=26.38 дБ.

   L₃=11.06 дБ. 

   

   

     
 

   Полученная  запретная область  показана на рисунке 2.1.

   С целью упрощения процедуры динамического  синтеза асимптотическую желаемую ЛАХ выбираем симметричной с типовыми наклонами асимптот (-20-40-20-40-60…)

   Так как желаемая ЛАХ не должна заходить в запретную область, а при  частоте сопряжения w₁ реальная желаемая ЛАХ пройдет ниже точки сопряжения (на частоте w_a) на 3дБ, то желаемая ЛАХ должна быть поднята вверх на 3дБ, что соответствует увеличению коэффициента усиления разомкнутой системы в раз:

    ,    (2.3)

    дБ.    (2.4)

   Определим частоту сопряжения , для этого через третью контрольную точку проведем асимптоту с наклоном -40 дБ/дек. При пересечении этой асимптоты с асимптотой с наклоном -20 дБ/дек получим первую  частоту  сопряжения =3.63с^-1.

   Определим постоянную времени  , соответствующей частоте : 

    с,     (2.5)

   Определим базовую частоту  :          .     (2.6)

    .              (2.7) 

   Найдем  частоту среза  желаемой ЛАХ из формулы:

    ,   (2.8)

    .       (2.9) 

   Определим вторую постоянную времени и соответствующую  ей частоту:

    с,    (2.10)

    с^-1.     (2.11)

     .       (2.12)

   Начиная с частоты  желаемая ЛАХ имеет наклон -20 дБ/дек, характерный для среднечастотного участка «симметричной» типовой желаемой ЛАХ.

   При построении высокочастотного участка  желаемой ЛАХ по методике Бесекерского необходимо помимо требования близости желаемой и располагаемой ЛАХ, рассмотреть еще одно требование. Это требование позволяет обеспечить нужный запас по фазе в среднечастотном диапазоне:

                                  ,     (2.13)

   где М=1.37 , возьмем из ТЗ.

   Для упрощения передаточной функции КЗ выберем постоянные времени и следующим образом:

    с,      (2.14)

    с.      (2.15)

   Частоты сопряжения, найденные как обратные величины постоянных времени:

    с^-1,       (2.16)

    ,       (2.17)

    с^-1,      (2.18)

    .      (2.19)

   По  формуле (2.13) определим постоянную времени :

    c. (2.20)

   Значение  подбиралось так, чтобы M максимально приближалось к требованию по качеству переходного процесса, а также для улучшения помехоустойчивости на высокочастотном участке ЛАХ. В результате выбрано значение с.  

   Соответствующая частота сопряжения:

         с^-1,       (2.21)

     ,           (2.22)

   Последовательно уменьшая наклон на -20 дБ/дек при переходе через очередную частоту сопряжения, получим высокочастотный участок желаемой ЛАХ.

   Полученная  желаемая ЛАХ приведена на рисунке 2.1.

   Передаточная функция разомкнутой скорректированной системы, полученная по скорректированной желаемой ЛАХ имеет следующий вид:

    ,   (2.23)

    .   (2.24)

   Запретная область для ЛФХ строится по формулам:

    ,     (2.25)

    ,     (2.26)

    .                                  (2.27)

   Определим дополнительные величины для построения запретной области по ЛФХ:

    дБ,    (2.28)

    дБ.    (2.29)

   Значение  показателя колебательности скорректированной  системы оказалось меньше заданного: при заданном ограничении . График АЧХ замкнутой системы, по которому определялось значение М, приведен на      рисунке 2.2.

   ЛАХ и ЛФХ располагаемой и скорректированной  систем изображены на рисунке 2.1. Из рисунка  можно сделать следующий вывод: так как ЛФХ скорректированной системы не заходит в запретную зону, а ЛАХ лишь касается ее на частоте сопряжения с^-1, то требования по качеству удовлетворяются с минимальным запасом, что как раз удовлетворяет инженерным рекомендациям по построению оптимизированной системы. 
 

   

Рисунок 2.2 – АЧХ замкнутой скорректированной системы 

   2.2 Определение корректирующего устройства

   Асимптотическая ЛАХ и ЛФХ корректирующего устройства для желаемой системы приведены на рисунке 2.1. Асимптотическая ЛАХ КЗ может быть построена графически вычитанием ЛАХ располагаемой нескорректированной системы из ЛАХ желаемой скорректированной системы. Аналогичным образом строится ЛФХ КЗ.

   Перейдем  теперь к определению передаточной функции КЗ. Искомая передаточная функция последовательного КЗ будет равна отношению передаточных функций разомкнутой скорректированной  (2.23) и разомкнутой исходной (1.12) систем:

                      ,    (2.30)

или для ЛАХ:          (2.31)

   _{2.3 Определение показателей качества ПП скорректированной САР}

   Передаточная функция замкнутой скорректированной системы «вход – выход ДОС»:

                ;  (2.32)

   Передаточная  функция замкнутой скорректированной  системы «вход–ошибка системы» определяется согласно выражению:

   

   Передаточная  функция замкнутой скорректированной  системы «вход – выход усилителя мощности» имеет вид:

   График  переходной функция h(t) (по выходу ДОС) для замкнутой скорректированной системы, полученный методом компьютерного моделирования в среде Vissim приведен на рисунке 2.3. 

   

 

   Рисунок 2.3 - Переходная функция h(t) для замкнутой скорректированной САР

   Как видно из графика переходной функции  h(t), , следовательно, система устойчива. 
 

   Определим прямые показатели качества переходного процесса:

   а) перерегулирование определяется согласно формуле:

     .   (2.33)

   б) время регулирования  — время, за которое переходная функция укладывается в 5% «коридор» от установившегося значения                              

   По  графику найдем  с.

   Очевидно, что прямые показатели качества переходного процесса скорректированной САР превосходят прямые показатели качества нескорректированной системы.

   Определим корневые показатели качества.

   Решим характеристическое уравнение для  скорректированной САР. Для этого  запишем характеристический полином  А(р) замкнутой системы.

   

,

                 (2.34)

   В числовом виде:

                     (2.35)

   Полюсами  системы являются корни характеристического  уравнения  . Для решения этого уравнения воспользуемся программой Mathcad. Получили следующие результаты:

      ,

      ,

      ,

      . 

   Изображенные  на комплексной плоскости полюса замкнутой системы приведены на рисунке 2.4. 

     

 

     Рисунок 2.4 – Расположение корней на комплексной плоскости

   Вычислим  корневые показатели качества:

1. степень устойчивости :

                                        .

2. коэффициент колебательности :

   

.

   Определим частотные показатели качества.

   Построим  ЛАХ и ЛФХ разомкнутой скорректированной  системы. ЛАХ и ЛФХ разомкнутой  скорректированной системы строятся согласно следующим формулам:

    ,   (2.36)

    .    (2.37)

   ЛЧХ разомкнутой  скорректированной системы изображены на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5 – ЛЧХ разомкнутой  скорректированной системы

   По  рисунку 2.5 определены значения частоты среза, запасов устойчивости по амплитуде и фазе разомкнутой скорректированной системы:

      с^-1, дБ,

      .

   Запасы  устойчивости скорректированной системы  значительно выше запасов устойчивости системы с пропорциональным регулятором. Кроме того, запасы устойчивости скорректированной  системы находятся в диапазоне типовых значений ( дБ, .

   По  найденному значению запаса устойчивости по амплитуде оценим величину критического коэффициента усиления и коэффициента усиления регулятора:

    ,  (2.36)

      .    (2.37)

   График  представлен на рисунке 2.6

     

     
 
 
 
 
 
 

   Рисунок 2.6 АЧХ замкнутой скорректированной  системы по ошибке.

   По  графику  определим амплитуду относительной ошибки на частотах заданных в ТЗ

   F₁=0.15 Гц=0.94 рад/с  

   F₂=0.5 Гц=3.14 рад/с   

   F₃=1.3 Гц=10.05 рад/с 

   Требования  ТЗ по точности выполняются.

   Построим  ЛЧХ замкнутой скорректированной системы («вход – выход ДОС»). Передаточная функция замкнутой скорректированной системы имеет вид (2.32). ЛАХ и ЛФХ, АЧХ замкнутой скорректированной системы строятся согласно следующим формулам: