Динамический синтез системы управления

, (2.38)

      ,      (2.39)

      .      (2.40) 
 

   Изобразим АЧХ, ЛАХ и ЛФХ замкнутой скорректированной  системы на рисунках 2.7 и 2.8 соответственно.  

   

   Рисунок 2.7 – АЧХ замкнутой скорректированной системы 

Рисунок 2.8 – ЛЧХ замкнутой скорректированной системы

     По  графикам ЛАХ и ЛФХ замкнутой системы определим:

   – частоту амплитудного резонанса:

    с^-1,       (2.41)

   – частоту среза замкнутой системы:

    с^-1,       (2.42)

   – полосу пропускания: с^-1,       (2.43) 

   – показатель колебательности:

    .     (2.44)

     Показатель  колебательности скорректированной  системы удовлетворяет требованиям  ТЗ

     Вещественная  частотная характеристика замкнутой  скорректированной системы («вход – выход ДОС»), определяется выражением:

    ,      (2.45)

и представлена на рисунке 2.9.

   

   Рисунок 2.9 – ВЧХ замкнутой скорректированной системы

   По  ВЧХ определяем следующие параметры:

   - максимальное  значение ВЧХ  ,

   - модуль  минимального значения ВЧХ  ,

   - диапазон положительности ВЧХ с^-1,

   - значение ВЧХ на нулевой частоте  .

   Сравним полученные прямые, частотные, корневые показатели качества переходного процесса скорректированной и нескорректированной САР. Все показатели качества сведены в таблицу 2.1.

   Скорректированная система имеет значительный запас  устойчивости. Заметим, что хорошо демпфированная система имеет запас устойчивости по амплитуде 6…20 дБ и запас устойчивости по фазе 30…60˚. Скорректированная система этим требованиям удовлетворяет. Следовательно, можно говорить о положительных результатах синтеза КУ для проектируемой САР. 
 
 
 

   Таблица 2.1 – Сравнение показателей качества САР

 

   Передаточная  функция по выходу усилителя имеет  вид:

                .   (2.46)

         Найдем начальное  значение переходной функции по выходу усилителя           мощности . Воспользуемся теоремой о предельных значениях:

                                  ,     (2.47)

                                  .     (2.48)

         С учетом того, что  переходная функция  — это реакция системы на единичную ступенчатую функцию и , то получим:

    .     (2.49)

         Тогда для переходной функции  формулы (2.47) и (2.48) примут вид:

                                  ,      (2.50)

                                  .      (2.51)

   Начальное значение переходной функции по выходу усилителя мощности :

    В.    (2.52)

   Начальное значение зависит от величины коэффициента усиления установленного ранее пропорционального регулятора, а также коэффициента усиления УМ , а также постоянных времени , , и .

   Переходная функция представлена на рисунке 2.10. 

   Рисунок 2.10 – График переходной функции

 
 

   По  графику  найдем начальное значение переходной функции:        В.     (2.52) 

   При сравнении полученного путем  моделирования начального значения переходной функции  с его расчетным значением делаем вывод, что эти значения совпадают.

   Определим максимальную величину входного ступенчатого сигнала, при котором система работает в зоне линейности усилителя мощности, по формуле: 

    В.     (2.53)  

   Определим границу диапазона частот , в котором УМ работает в зоне линейности при входном сигнале (в установившемся режиме).   АЧХ замкнутой системы по выходу усилителя мощности определяется по формуле:

    .      (2.54) 

   График АЧХ представлен на рисунке 2.11. 

   

   Рисунок 2.11 – АЧХ замкнутой системы по выходу УМ 
 
 

   Из  графика АЧХ получим:

    .      (2.55) 
 

   2.4 Коэффициенты ошибок  скорректированной  САР

   Передаточная функция замкнутой скорректированной системы «вход – выход ДОС»:

                .  (2.56)

   Передаточная  функция замкнутой скорректированной системы «вход–ошибка системы» определяется согласно выражению:

      ,      (2.57)

   Запишем передаточную функцию скорректированной  системы по ошибке:

    ,  (2.58)

   Точность  системы можно определить по коэффициентам ошибок (КО). Коэффициенты ошибок характеризуют влияние каждой производной входного сигнала на вынужденную составляющую ошибки системы.

   Вычислим  коэффициенты ошибок  по формуле:

    .      (2.59)

   Запишем  формулы для КО , и :

     ,                       (2.60)

    ,      (2.61)

    _.   (2.62)

   Равенство нулю первого коэффициента ошибок свидетельствует  о том, что исследуемая САР имеет первый порядок астатизма.

   Найденные значения коэффициентов ошибок зависят  от коэффициента усиления разомкнутой системы. Кроме того, коэффициенты ошибок более высокого  порядка также будут зависеть от коэффициента усиления разомкнутой системы. Следует заметить, что характер зависимости – обратный. Следовательно, эффективный способ повышения точности системы – увеличение коэффициента передачи разомкнутого контура. 

   2.5 Реакции САР по ошибке

   Рассмотрим  подачу линейного сигнала на вход САР.

   Входной сигнал с постоянной скоростью и  его изображение по Лапласу имеют  соответственно вид:

   х(t) = а×t,                (2.63)

         (2.64)

где а = 11 В/с – заданное в техническом задании значение скорости.

   Реакцию системы на сигнал с постоянной скоростью по выходу ошибки определим как оригинал от изображения Лапласа:

    .      (2.65)

   Вынужденную составляющую ошибки, определим по формуле:

       (2.66)               

где , ,  – коэффициенты ошибок, найденные выше.

   Таким образом, получим

     (2.67)

   График  реакции САР по ошибке e(t) на линейный входной сигнал и график вынужденной реакции приведены на рисунке 2.12.

   

   Рисунок 2.12 -  Графики

и при линейном входном сигнале

   При воздействии на систему линейного  сигнала, переходная составляющая          ошибки с течением времени затухает, следовательно, при . Ошибка устанавливается в постоянное значение.

   Рассмотрим  подачу квадратичного сигнала на вход САР.

   Входной сигнал с постоянным ускорением имеет  соответственно вид:

   х(t) = а×t+b∙t²,      (2.68)

где а = 11 В/с , b=30 B/c – заданное в техническом задании значение. 
 

   Вынужденную составляющую ошибки, определим по формуле:

       (2.69)               

где , ,  – коэффициенты ошибок, найденные выше.

   Таким образом, получим

 

    .      (2.70)                         

   График  реакции САР по ошибке e(t) на квадратичный входной сигнал и график вынужденной реакции приведены на рисунке 2.13.

   

   Рисунок 2.13 -  Реакция САР по ошибке e(t) на квадратичный    

   входной сигнал и график вынужденной реакции

   Из  рисунка 2.13 видно, что при квадратичном входном сигнале ошибка в системе в установившемся режиме постоянно возрастает, поэтому применение данной системы при квадратичном входном воздействии невозможно.