Динамический синтез системы управления

   2.6 Область устойчивости

   При расчете и проектировании САУ  необходимо исследовать влияние  её различных параметров на устойчивость. Для решения этой задачи служит построение областей устойчивости, то есть определение таких областей значений параметров, при которых система оказывается устойчивой.

   Рассмотрим  постановку задачи построения области  устойчивости.

   Для проектируемой САР необходимо в  плоскости параметров системы  построить область устойчивости. Граница этой области соответствует нахождению системы на границе устойчивости. Точки, находящиеся внутри области, соответствуют устойчивости рассматриваемой САР.

   Построение  областей устойчивости возможно с помощью  любого из критериев устойчивости. Для построения области устойчивости воспользуемся методом D-разбиения.

   Метод D-разбиения заключается в разделении n-мерного пространства параметров на области, каждой из которых соответствует определенное число правых корней характеристического уравнения. Область, которой соответствует ноль правых корней, является областью устойчивости.

   Построим  область устойчивости в плоскости  и .

   Характеристический  полином системы имеет вид:

    ,                    (2.71)

где .

   

     

   (2.72)

   Определим основные формулы для построения границ области устойчивости.

   Подставим в выражение (2.72) :

     Уравнение (2.72) будет выполнено, при условии, что действительная и мнимая части равны нулю, то есть данное уравнение можно записать через систему уравнений:

      (2.73)

где

   

    ,

    ,

    ,

    ,

    .

   Решим полученную систему уравнений методом  Крамера:

         (2.74)

       (2.75)

         (2.76)

    ,       (2.77)

    .     (2.78) 

   В итоге мы получили параметрическое  уравнение (параметр – ω) для основной границы D-разбиения.

   Построим  зависимости (2.77) и (2.78). Из рисунка 2.14 видно, что при возрастании частоты асимптотически стремиться к нулю, а – к бесконечности.

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 2.14 – График зависимости

и  

   Основная граница области D-разбиения отмечается 2-х кратной штриховкой. При движении по кривой D-разбиения в сторону возрастания штриховку наносят слева, если определитель положителен, и справа, если отрицателен. Зависимость представлена на рисунке 2.15.

   

   Рисунок 2.15 – Зависимость

 

   Нанесем штриховку согласно правилу: при  перемещении по кривой в направлении  возрастания частоты кривая штрихуется слева, если определитель положителен, или справа, если определитель отрицателен. 

   Из  рисунка 2.15 видно, что якобиан положителен (имеет знак «+») при положительных значениях частоты. Следовательно, на плоскости параметров     - штриховку основной границы D-разбиения нанесем слева по возрастанию частоты .

   Определим особые границы области D-разбиения.

   Для построения особой границы необходимо в характеристическом уравнении замкнутой системы (2.72) приравнять к нулю старший и младший коэффициенты, при этом получим:

          = 0,  при

          = 0, при _. 

   Или

                     (2.79) 

   Отметим в плоскости параметров - особые границы (2.79). Штриховка особой границы наносится со стороны асимптотического сближения основной и особой границы, то есть в данном случае сверху оси параметра и правее оси параметра .

   Построим  в плоскости параметров и К основную границу D-разбиения. При построении достаточно рассмотреть изменения частоты от нуля до плюс бесконечности постольку, поскольку и – четные функции.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

   Основная  граница D-разбиения

   Особые  границы Т₅ , К

   + – номинальная точка

   Рисунок 2.16 – Область устойчивости САР 

   Область, для которой все штриховки  направлены внутрь, называется претендентом. И, так как в этой области находится номинальная точка           (0.0049; 94.92), в которой система является устойчивой, эта область является областью устойчивости системы.

   Также по рисунку 2.16 определим критический коэффициент усиления системы при заданном Т₅:  

   Если  сравнить полученное значение граничного коэффициента усиления с найденным  в пункте 2.3 ( ), то можно говорить, что они практически совпадают. 
 
 
 

   3 Анализ САР с учетом нелинейностей

   В рассматриваемой системе присутствуют нелинейности, которые не учитывались на первых этапах исследования системы (производилась так называемая линеаризация на физическом уровне). В действительности же, УМ  имеет ограниченную зону линейности   ( ), а между ОУ и ДОС присутствует люфт (зазор) величиной 2Δ. Исследование отработки ступенчатых сигналов проводим с учетом насыщения УМ, но без учета люфта. На рисунке 3.1,б приведена характеристика нелинейного элемента (НЭ) типа «насыщение». 

   

   Рисунок 3.1 – Характеристика нелинейностей: а) люфт; б) ограничение 
 
 

   3.1 Исследование системы  при подаче ступенчатого  сигнала 

   Проанализируем  влияние типовой нелинейности “насыщение” в УМ на переходные процессы в системе при подаче на вход ступенчатого сигнала величины , , и 1 В. Нелинейность “люфт” при этом не учитывается.

   Построим  реакции нелинейной системы по выходу УМ и выходу ДОС на ступенчатый входной сигнал величины , , и на единичный с помощью моделирования соответствующей нелинейной системы в среде ППП VisSim. Здесь В — наибольшая величина ступенчатого входа при которой УМ работает в зоне линейности (рассчитана в разделе 2.4). Графики переходных функций по выходу ДОС в нормированном виде изображены на рисунке 3.2. 
 

   

   _{1 – А^*, 2 – 3А^*, 3 – 5 А^*, 4 – единичный сигнал}

   Рисунок 3.2 – Реакция системы по выходу ДОС на ступенчатые сигналы 

    В нашем случае влияние нелинейности слабо прослеживается при воздействии входных сигналов равных , , . Для исследования построим дополнительные графики при входных сигналах равных 100 , 200 , 1000 . Их графики приведены на рисунке 3.3.

       

       1 -

, 2 - , 3 - , 4 -  

   Рисунок 3.3 – Реакция системы по выходу ДОС на ступенчатые сигналы

     (дополнительные построения)

    

 

   _{1 – А^*, 2 – 3 А^*, 3 – 5 А^*, 4 – единичный сигнал}

         Рисунок 3.4 – Реакция  системы на ступенчатые сигналы  по выходу УМ 
 

    При росте амплитуды входного сигнала увеличивается время регулирования. Это отличает нелинейную систему от линейной. В линейной системе амплитуда входного сигнала  не влияет на скорость протекания переходных процессов.  

   По  полученным переходным функциям по выходу ДОС определим прямые показатели качества перерегулирование и время переходного процесса :

          _. 

   Значения  прямых показателей качества при  воздействии на нелинейную систему рассматриваемых входных сигналов, а также прямых показателей качества соответствующих линейной системе, найденных в разделе 2.3, приведены в таблице 3.1. 
 
 
 

    Таблица 3.1 – Сравнение прямых показателей  качества

 

    Проанализируем  полученные данные.

    При входном воздействии  прямые показатели качества нелинейной системы с учетом насыщения УМ совпадают с прямыми показателями качества линейной системы. Это связано с тем, что нелинейная система при  величинах входного сигнала меньших или равных работает в зоне линейности УМ, т.е. ведет себя как линейная.

     

   Рисунок 3.5 – Линеаризация нелинейности типа «ограничение» методом секущих 

    Опираясь  на метод линеаризации по секущей  и то, что коэффициент передачи системы определяет собой наклон линейной характеристики звена, можно попытаться выявить влияние величины входного сигнала на величины прямых показателей качества.

    С ростом величины входного сигнала уменьшается  угол наклона линейной характеристики системы, а, следовательно, уменьшается коэффициент передачи системы. Уменьшение коэффициента передачи системы приведет к тому, что ЛАХ системы (см. рисунок  2.1) опустится вниз. Это приведет к уменьшению частоты среза, а, следовательно, к увеличению времени протекания переходного процесса. В то же время, запасы устойчивости системы увеличатся, так как ЛФХ при уменьшении коэффициента регулирования не меняет своего положения. Но, в то же время, ЛАХ попадает в запрещенную область, а это свидетельствует о невыполнении требовании ТЗ.

   Если  коэффициент передачи усилителя  мощности снизился, то общий коэффициент передачи разомкнутого контура также снизился, а значит ЛАХ разомкнутого контура сдвинулась вниз. Это влечет за собой уменьшение частоты среза, причем она также уменьшается тем сильнее, чем больше поданное на вход системы значение ступенчатого сигнала. Так как изменяется частота среза, то изменяется и запас устойчивости по фазе, который, как известно, рассчитывается именно на частоте среза. Судя по рисунку 2.1, при уменьшении частоты среза сначала запас устойчивости по фазе растет, затем есть небольшой отрезок ЛФХ, при котором запас устойчивости уменьшается, а затем он снова растет. Это отражается на колебательности системы, а так же на  перерегулировании: сначала перерегулирование, соответственно, уменьшается, затем – увеличивается, а затем снова уменьшается (это хорошо видно на рисунках 3.2 и 3.4). Время регулирования увеличивается по мере роста амплитуды входного сигнала и, соответственно, уменьшения коэффициента усиления УМ.

   Рассмотрим  теперь реакцию системы по выходу УМ. На рисунке 3.4 изображены графики переходных функций по выходу УМ при различных ступенчатых воздействиях, полученные в ППП VisSim. Как видно из рисунка, величина выходного сигнала УМ не может превысить значения 110 В.