Динамический синтез системы управления

         

      

   Характеристический  полином замкнутой системы А(р) будет иметь вид:

      (1.14)    

   Характеристическое  уравнение рассматриваемой замкнутой  системы, согласно формуле (1.14), будет иметь следующий вид

        (1.15)

   Сравнивая формулу (1.14) с общим видом характеристического               уравнения (1.15), можем из соответствия найти значения коэффициентов характеристического уравнения.

   Таблица 1.4- Коэффициенты характеристического уравнения

 

   Из  табл. 1.4 видно, что все коэффициенты характеристического уравнения (1.14) положительны, что является необходимым условием устойчивости системы.

   Согласно  алгебраическому критерию Льенара-Шипара для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при положительных коэффициентах характеристического уравнения при четном n, все определители Гурвица нечетных порядков были больше нуля.

   В нашем случае n=4. Вычислим определители матрицы Гурвица третьего и первого порядков:

    ,                                  (1.16)

    .     (1.17)

   Определители  матриц Гурвица первого и третьего порядков больше нуля, следовательно, нескорректированная замкнутая САР является устойчивой.

   Проверим  устойчивость системы по логарифмическим амплитудной и фазовой характеристикам (ЛАХ и ЛФХ) разомкнутого контура САР с применением частотного критерия устойчивости Найквиста.

   ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы  строятся согласно следующим формулам:

    ,   (1.18)

    .  (1.19)

   Для построения располагаемой асимптотической  логарифмической амплитудной характеристики  найдём вспомогательные данные - частоты сопряжения и значение 20lgK:

    , 

    , 

    , 

   

   Зная  ЛАХ для каждого типового звена, являющегося сомножителем передаточной функции (1.12), можно найти асимптотическую ЛАХ системы, как сумму ЛАХ типовых звеньев.

   ЛАХ и ЛФХ для разомкнутой нескорректированной САР с пропорциональным регулятором с передаточной функцией (1.12) изображены на рисунке 1.3. 

     
 

     

   Рисунок 1.3 - ЛАХ и ЛФХ для разомкнутой  нескорректированной          САР с пропорциональным регулятором

   По  ЛЧХ разомкнутой системы можно  оценить устойчивость замкнутой  системы по критерию Найквиста. Устойчивая в разомкнутом состоянии система будет устойчива в замкнутом состоянии, если выполняется равенство: , где  - число положительных переходов ФЧХ через один из критических уровней в диапазоне положительности ЛАХ; - число отрицательных переходов; - число правых полюсов.

   Согласно (1.12) разомкнутая система не имеет правых корней. Из рисунка 1.3 видно, что количество отрицательных переходов , количество положительных переходов . Так как , то . Следовательно, замкнутая система устойчива.

   По  графикам ЛАХ и ЛФХ (рисунок 1.3) определим  частоту среза и критическую частоту.

   Частота среза разомкнутой системы, найденная по графику ЛАХ (пересечение ЛАХ уровня 0дБ), равна:

    

   Критическая частота находится по графику ЛФХ (пересечение ЛФХ        уровня -180 ):

   

   По  графикам ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы также можно определить запасы устойчивости системы по модулю и по фазе. На рисунке 1.3 отмечены запасы устойчивости по амплитуде и фазе:

     

 дБ;      (1.20)

                          .       (1.21) 

   1.4 Исследование замкнутой САР

   График  переходной функция h(t) (по выходу ДОС) для замкнутой системы, полученный методом компьютерного моделирования в среде Vissim приведен на рисунке 1.4.

   

   Рисунок 1.4 - Переходная функция h(t) для замкнутой САР

   Как видно из графика переходной функции h(t), , следовательно, система устойчива.

   Определим прямые показатели качества переходного процесса.

   а) Перерегулирование  определяется согласно формуле:

     .          (1.22)

   б) Время регулирования  — время, за которое график переходного процесса укладывается в 5% «коридор» от установившегося значения.                              

   По  графику найдем .

   Определим корневые показатели качества.

   Решим характеристическое уравнение (1.15):

        (1.23)

   Решая уравнение (1.22) в среде MathCAD, получим  следующие корни:

           (1.24) 

           (1.25) 

          (1.26) 

          (1.27) 

   Расположение  характеристических корней на комплексной плоскости изображено на рисунке 1.5. 
 
 
 
 
 
 

     
 
 
 

     Рисунок 1.5 - Расположение характеристических                                                    корней

на комплексной плоскости 

   Определим корневые показатели качества:

   а) степень устойчивости h определим по формуле:

   η=min|Re p_k|=0.149135     (1.28)

   б) коэффициент колебательности m определим по формуле:

   μ=max(Im p_k /Re p_k)=145.54   (1.29)

   Определим частотные показатели качества.

   АЧХ и ВЧХ замкнутой системы приведены  на рисунках 1.6 и 1.7.

   

   Рисунок 1.6 – АЧХ замкнутой системы

   

   Рисунок 1.7 – ВЧХ замкнутой системы 
 

   Показатель  колебательности М:

           (1.30)

   Частота амплитудного резонанса: .     (1.31)

   Граница полосы пропускания:  .     (1.32)

   Максимальное  и минимальное значение ВЧХ:

    ,  ,    .    

   Полученные  в результате исследования частотные  показатели качества сведены в таблицу 1.5. 

   Таблица 1.5 – Частотные показатели качества

 

   Для данной исследуемой системы с  пропорциональным регулятором были получены дБ и . Эти значения запасов устойчивости меньше типовых значений дБ, .  

   Выводы 

   В данном разделе была исследована  система с пропорциональным законом регулирования. Система получилась устойчивой при заданных требованиях по точности, но данная система не обеспечивает требований по качеству ПП, заданному в техническом задании. Целесообразно ввести в систему специализированное корректирующее звено, которое позволит обеспечить выполнение необходимых требований к качеству переходного процесса. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   2 Динамический синтез и исследование скорректированной САР

   2.1 Построение желаемой ЛАХ

   Система с пропорциональным регулятором  не может обеспечить заданного качества управления. Улучшить свойства системы можно с помощью введения в нее корректирующего устройства КУ включаемого последовательно в разомкнутую цепь системы  и обеспечивающего выполнение следующих условий:

   1) все требования по качеству  САР, указанные в техническом  задании,

   2) минимизация частоты среза замкнутой  системы,

   3) простота структуры синтезируемого  КУ.

   Синтез  систем автоматического регулирования  методом логарифмических амплитудных характеристик является в настоящее время одним из самых удобных и наглядных, данная методика синтеза основывается на использовании частотных критериев качества. Синтез проводится следующим образом. Строится желаемая ЛАХ, исходя из требований ТЗ.

     Эта желаемая характеристика  сравнивается с той, которую  данная система имеет без коррекции.  Определяется передаточная функция  корректирующего устройства так чтобы, при его включении в систему, в последней получалась желаемая форма ЛАХ. Затем оценивается получающаяся при этом величина запаса устойчивости системы и другие качественные показатели.

   Основные  этапы метода желаемой ЛАХ:

1. Построение располагаемой ЛАХ разомкнутой системы .
2. Построение желаемой ЛАХ разомкнутой системы на основе требований, предъявляемым к проектируемой системе.
3. Определение передаточной функции КЗ и соответствующих и .

   Построение  желаемой ЛАХ ведется отдельно для  каждого участка ЛАХ: для низких, средних и высоких частот. Низкочастотный диапазон определяет точность работы системы в установившемся режиме, среднечастотный диапазон определяет качество переходных процессов, высокочастотный диапазон влияет на помехоустойчивость системы.

   Построим  низкочастотную часть желаемой ЛАХ. Для обеспечения заданных требований по точности в установившемся режиме низкочастотный участок ЛАХ должен проходить выше так называемой запретной области.