Задача управления персоналом. Оптимизация затрат на содержание рабочей силы в условиях случайного характера загрузки, когда может наблюд

 
       

     Таблица 12.9

     Неделя  № 1, S = 11

 
         

 

     

     

     Рис. 12.2. Блок — схема моделирования (рассчитанного  на 700 дней). 

     С₁ – ежедневные затраты на одного постоянного гида. С₂ – ежедневные затраты на одного дополнительного гида. С₃ – убытки от необслуженных экскурсантов. S – число постоянных имеющихся гидов. d_j – спрос в день j. O_j – предложение в день j. Символ : означает «сравнить с», ® символизирует введение последовательностей случайных чисел.

     Таблицы 8 и 9 дают пример моделирования той же искусственной недели, что и на таблице 7, но при S = 9 и S=11.

     Рассматривая  каждый раз по 100 искусственных недель и вычисляя балансы для S = 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 и 15, мы найдем, что минимум  суммарных затрат достигается при³ S = 12; этому соответствует значение еженедельных затрат, равное 4860 песо.

     Полное  моделирование можно реализовать  с помощью электронной вычислительной машины за несколько минут, а с  помощью малой настольной машины — за один или два часа. В общем применение моделирования нужно резервировать для гораздо более сложных случаев, которые именно ввиду этой сложности бывает очень трудно и даже невозможно рассматривать аналитическими методами при современном состоянии науки. Применение моделирования для рассмотренной задачи было вызвано желанием дать представление о нем на простом примере.

     Теперь  было бы интересно посмотреть, как  решить эту задачу аналитическим  способом.

     Моделирование и аналитические  методы

 

     Обозначим через X случайную величину, представляющую собой ежедневный спрос, через p(х) — вероятность спроса х, которая задается с помощью таблицы 12.1 для х = 4, 5, 6, ... 16; для остальных значений х вероятность р(х) равна нулю. Через Y обозначим случайную величину, представляющую собой ежедневное предложение, через q₁ (у) — вероятность предложения у (в будний день), где у = 0, 1, 2, . . ., 7, q₂(y) — вероятность предложения у (в воскресные дни), где y = 0, 1, 2, ... 6. Распределения вероятностей q₁(y) и q₂(y) заданы соответственно таблицами 2 и 3; для остальных значений у вероятности равны нулю.

     Для конкретных значений х из X и у из Y издержки одного дня в предположении, что число постоянных гидов, находящихся в распоряжении ежедневно, равно S, устанавливаются следующим образом:

     Г(S) = C₁S,   если 0 ≤ x ≤ S (дополнительных гидов не нужно)

     Г(S) = C₁S + C₂(x - S), если 0 < x - S ≤ y (нужны дополнительные гиды, но нет необслуженных экскурсий)

     Г(S) = C₁S + C₂y + C₃(x – S – y), если y < x – S (нужны дополнительные гиды и имеются необслуженные экскурсии.)

     Таким образом, множество всех значений X и Y можно разбить на три области (рис. 12.3), где все возможные значения изображены точками. Чтобы получить среднее значение или математическое ожидание Г(S), которое мы обозначим через , нужно вычислить издержки для каждой из точек,

     умножить  эти издержки на соответствующую  вероятность 

     p(x) ∙ q₁(y) или p(х) ∙ q₂(y)

     (смотря  по тому, имеет ли место будний  или воскресный день), а затем  просуммировать эти произведения  по всем возможным точкам.

     Например, издержки, соответствующие точке  х = 12, y = 4, при S = 10 (см. рис. 12.3) равны

     

,

     где вероятность точки (х, у)

     р (12)∙ q₁(4) = 0,10 ∙ 0,22 = 0,022,

     а произведение равно

     0,022(10С₁ + 2С₂).

     Средние издержки получатся суммированием таких величин, вычисленных для каждой точки. Это суммирование можно представить в виде

     

     Рис. 12.3

     формулы, которая на первый взгляд может показаться сложной, но которая больше таковой  не покажется, если ее интерпретировать с помощью рисунка 12.3:

     

. (1)

     Это выражение имеет место для  буднего дня; для воскресений  мы получаем величину , заменяя в (1) q₁(y) на q₂(y).

     Поясним эту формулу для читателя, недостаточно искушенного в математике. С₁S — это затраты, соответствующие S постоянным гидам, производящиеся с вероятностью 1. Выражение

     

     представляет  собой сумму затрат, соответствующих  каждой точке области II, умноженных на соответствующие им вероятности; это есть затраты на дополнительных гидов. Выражение

     

     представляет  собой сумму, соответствующую области III; это затраты на дополнительных гидов вместе с убытками от несостоявшихся экскурсий.

     Средние еженедельные затраты равны окончательно

     

.

     Для некоторых читателей вычисление по формуле типа (1) заслуживает отдельного показа; предположим, что

     S = 12, С₁ = 52, С₂ = 70, С₃ = 400

     и, кроме того, 1 ≤ y ≤ 7, x ≤ 16. Мы имеем

     

     Вычислим

     

     учитывая, что p(х) для х > 16 равно нулю.

     Мы  имеем:

     1 ∙ p(13) ∙ q₁(1) + [1 ∙ p(13) + 2 ∙ p(14)] + q₁(2) +

     + [1 ∙ p(13) + 2 ∙ p(14) + 3p(15)] ∙ q₁(3) +

     + [1 ∙ p(13) + 2 ∙ p(14) + 3p(15) + 4 ∙ p(16)] ´

     ´ [q₁(4) + q₁(5) + q₁(6) + q₁(7)] =

     = 1 ∙ 0,10 ∙ 0,09 +

     + [1 ∙ 0,10 + 2 ∙ 0,08] ∙ 0,15 +

     + [1 ∙ 0,10 + 2 ∙ 0,08 + 3 ∙ 0,06] ∙ 0,20 +

     + [1 ∙ 0,10 + 2 ∙ 0,08 + 3 ∙ 0,06 + 4 ∙ 0,02] ´

     ´[0,22 + 0,14 + 0,10 + 0,07] = 0,4116. 

     Переходим к вычислению суммы:

     

= 1 ∙ q₁(1) ∙ p(14)+

     + [1 ∙ q₁(1) + 2 ∙ q₁(2)] ∙ p(15) +

     + [1 ∙ q₁(1) + 2 ∙ q₁(2) + 3 ∙ q₁(3)] ∙ p(16) =

     = 1 ∙ 0,0 9 ∙ 0,08 + [1 ∙ 0,09 + 2 ∙ 0,15] ∙ 0,06 +

     + [1 ∙ 0,09 + 2 ∙ 0,15 + 3 ∙ 0,20] ∙ 0,02 = 0,0504.

     Наконец

     

= 1 ∙ p(13)q₁(0) + 2 ∙ p(14) ∙ [q₁(0) + q₁(1)] +

     + 3 ∙ p(15) ∙ [q₁(0) + q₁(1) + q₁(2)] +

     + 4 ∙ p(16) ∙ [q₁(0) + q₁(1) + q₁(2) + q₁(3)] =

     = 1 ∙ 0,10 ∙ 0,03 + 2 ∙ 0,08 ∙ 0,12 + 3 ∙ 0,06 ∙ 0,27 +

     + 4 ∙ 0,02 ∙ 0,47 = 0,1084.

     Таким образом,

     

= 624 + 70 ·0,4116 — 330 · 0,0504 + 400 ·0,1084 = 679,540.

     Такое же вычисление, проведенное при замене q₁(y) на q₂(y), дает

     

= 784,512 песо,

     и, следовательно.

     

=4861,752 песо.

     Чтобы найти оптимальное значение , вычислим эту величину для

     S = 8, 9, 10, ..., 14, 15;

     окажется, что минимум достигается при  S=12. Однако, как мы видим, вычисления, к которым приводит аналитический метод, довольно значительны.

     Возможно найти этот оптимум другим, менее утомительным, но зато более тонким способом: посредством маргинального анализа, который мы уже применили в задаче о продавце газет.

     Предположим, что общество имеет каждый день в  своем распоряжении S постоянных гидов. Ежедневно оно может оказаться перед лицом одной из трех следующих ситуаций:

     а) постоянных гидов достаточно для  удовлетворения спроса; вероятность  этого равна 1 — P(S+1),где

     P(S+1) = ;

     6) постоянных гидов не хватает,  но имеется достаточное число  предложений дополнительных гидов:

     вероятность =

     где

     

     (u — число требующихся дополнительных гидов);

     в) постоянных гидов не хватает и  число имеющихся в распоряжении дополнительных гидов недостаточно, откуда имеем убыток от нехватки по крайней мере одного гида-переводчика: