Экономико-математическое моделирование в микроэкономике

Игра, в которой нужно вносить  взнос за право участия в ней, является игрой с ненулевой суммой.

5.вид функции выигрышей. По  этому критерию игры подразделяются  на матричные, непрерывные, выпуклые. Матричная игра – это конечная  игра двух игроков с нулевой  суммой. В общем случае ее платежная  матрица является прямоугольной.  Номер строки матрицы соответствует  номеру стратегии, применяемой  игроком один. Номер столбца соответствует номеру стратегии игрока два. Выигрыш игрока один является элементом матрицы. Выигрыш игрока два = проигрышу игрока один.

Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой  суммой. Выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей, в которой строка соответствует стратегии игрока один, а столбец стратегии игрока два. Элемент первой матрицы показывает выигрыш игрока один, а элемент  второй матрицы выигрыш игрока два.

Для нематричных игр, также как  и для матричных разработана  теория оптимального поведения игроков. Если функция выигрышей каждого  игрока в зависимости от стратегий  является непрерывной, то игра считается  непрерывной.

6.кол-во ходов. Игры можно  разделить на одношаговые и  многошаговые. Одношаговые игры  заканчиваются после одного хода  каждого игрока. Так в матричной  игре после одного хода каждого  из игроков происходит распределение  выигрышей. Многошаговые игры  бывают позиционными стахостическими,  дифференциальными и т.д.

7.информированность сторон. Различают  игры с полной и неполной  информацией. Если каждый игрок  на каждом ходу игры знает  все ранее примененные другими  игроками стратегии на предыдущих  ходах, такая игра определяется  как игра с полной информацией.  Если игроку не все стратегии  предыдущих ходов других игроков  известны, то игра классифицируется  как игра с неполной информацией.

8.степень неполноты информации. По этому критерию игры подразделяются  на статистические (в условиях  частичной неопределенности) и стратегические (в условиях полной неопределенности). Игры с природой часто относят  к статистическим играм. В статистической  игре имеется возможность получения  информации на основе статистического  эксперимента, при котором вычисляется  или оценивается распределение  вероятностей состояний ( стратегий)  природы. С теорией статистических  игр тесно связана теория принятия  экономических решений.

Принятие решений

Принятие решений может осуществляться при соблюдении 3 условий:

1.принятие решений в условиях  полной определенности (детерминированные  задачи). Например, задачи ЛП.

2.принятие решений в условиях  статистической неопределенности (в  условиях риска)

3.принятие решений в условиях  полной неопределенности (в условиях  неопределенности)

 

Принятие решения в условиях риска

Компания – небольшой производитель  различных продуктов из сыра на экспорт. Один из продуктов поставляется в  страны ближнего зарубежья. Директор должен решить сколько ящиков данного продукта следует производить в течении  месяца. Вероятности того, что спрос на данный продукт в течение месяца будет 6,7,8 или 9 ящиков равны соответственно 0,1; 0,3; 0,5; 0,1.

Затраты на производство 1 ящика = 45$. Компания продает каждый ящик по цене 95$. Если ящик с продуктом не продается в течение месяца, то он портится и компания не получает дохода. Сколько ящиков следует производить в течение месяца.

 

На основе этих данных строится матрица  игры. Стратегиями игрока 1 (компания) являются различные показатели числа  ящиков с продуктом, который ему  возможно следует производить. Состоянием природы выступают величины спроса на аналогичное число ящиков. 

 

 

 

 

Производство ящиков	Спрос на ящики				Средняя ожидаемая прибыль	δ
	6 (0,1)	7 (0,3)	8 (0,5)	9 (0,1)
6	300	300	300	300	300	0
7	255	350	350	350	340,5	28,5
8	210	305	400	400	352,5	63,73
9	165	260	355	450	317	76

 

Затраты =8*45=360

Прибыль= 7*95 – 360 = 305.

Мα = ∑αiPi = 165*0,1+260*0,3… = 16,5+78+177,5+45

НА практике часто в подобных случаях решения принимаются  исходя из критерия максимизации средней  ожидаемой прибыли или минимизации  ожидаемых издержек. Следуя такому подходу можно остановиться на рекомендации производить 8 ящиков и для большинства  ЛПР рекомендация может быть обоснованной. Но привлекая дополнительную информацию в форме расчета среднего квадратичного  отклонения как индекса риска, можно  уточнить принятое на основе максимума  прибыли или минимума издержек решения. Дополнительные рекомендации могут  оказаться неоднозначными, зависимыми от склонности к риску ЛПР.

 

Dα = М(

Δα=

300^2 *0,3 = 9000+27000-45000+9000 =

 

Из представленных результатов  расчетов с учетом полученных показателей  рисков средне квадратичных отклонений очевидно, что производить 9 ящиков при любых обстоятельствах нецелесообразно, т.к. средняя ожидаемая прибыль 317 – это меньше, чем для 8 ящиков (352,5), а среднее квадратичное отклонение 76 для 9 ящиков больше аналогичного показателя для 8 ящиков (63,73).

Целесообразно ли производство 8 ящиков по сравнению с 7 или 6 не очевидно, т.к. риск при производстве 8 ящиков 63,73 больше, чем при производстве 7 ящиков (28,5) и тем более 6 ящиков (0).

Решение должен принимать директор компании с учетом его опыта, склонности к риску и степени  достоверностей показателей вероятностей спроса (0,1; 0,3; 0,5; 0,1).

 

Особенности игр с природой. Критерии принятия (выбора) решения.

Во многих задачах, приводящих к  игровым ситуациям, неопределенность проявляется как результат действия тех или иных стихийных сил  непознанной природы. Такие игры называются играми с природой. При  этом термин природа может быть использован  как в традиционном смысле, означающем окружающую среду (погодные условия  в данном районе), так и условия  рынка, определяющие спрос на продукцию, объем перевозок, некоторое сочетание  производственных факторов и т.д.

К теории игр неопределенная для  ЛПР ситуация, его игре с природой не является выраженной конфликтной  ситуацией, т.е. неизвестное условие, обстоятельство внешней среды, зависит  не от сознательного и активного  противодействия противника, а от объективной действительности. В  игре с природой ЛПР никто активное не мешает, но ему труднее обосновать свой выбор, чем в онтогонистической  игре, где противник также придерживается определенных правил выбора оптимального поведения и его действия каким-то образом могут быть предсказаны или спрогнозированы. Игрок в играх с природой старается действовать осмотрительно, используя некоторую оптимальную стратегию, позволяющую получить наибольший выигрыш или наименьший проигрыш. Игрок-природа действует совершенно случайно, возможной стратегией определяется как ее состояние.

Критерии принятия решений:

1.Если неопределенность реализации, состояний природы носит стахостический  характер, но для каждого j состояния природы не указана вероятность его реализации, тогда для ЛПР оказывается целесообразным принять вероятности равными для всех состояний природы и выбрать ту стратегию, которая дает максимальный выигрыш по строке матрицы. В данном случае используется принцип недостаточно основания ЛАПЛАСА. Если неопределенность реализации состояния природы носит стахостический характер и для каждого состояния природы можно указать вероятность его реализации, тогда для ЛПР оказывается целесообразным выбирать ту стратегию, которая дает максимальный, взвешенный вероятностями выигрыш по строке матрицы (Байес).

Матрица решений дополняется еще  одним столбцом, содержащим математическое ожидание каждой из строк. Если это  матрица выигрышей, то выбираются те варианты, где стоит наибольшее значение этого столбца. Если это матрица  потерь, то выбираются те варианты, которые  соответствуют наименьшему значению этого столбца. При этом предполагается, что ситуация, в которой принимается  решение характеризуется след.обстоятельствами:

  -решения реализуются теоретически  бесконечно много раз

  -для малого числа реализации  решения допускается некоторый  риск 

  -вероятности появления состояния  известны и не зависят от  времени.

При достаточно большом кол-ве реализации среднее значение постепенно стабилизируется, поэтому при полной (бесконечной) реализации, какой-либо риск практически  исключен. Таким образом, критерий Байеса-Лапласа  предполагает достаточную информированность  и достаточно длительную реализацию.

    (0,2  0,4  0,4)

      20  30  15

А= 75  20  35 – матрица выигрышей

      25  80  25

      85  5   45

 

Н = max∑

1≤i≤m ; 1≤j<n

А – матрица потерь

= min∑

          i    j

        21,6    

А=   43,3

        43,3  матрица  выигрышей

        45,0

 

Матрица проигрышей 21,6

 

Байеса.

= max∑

          i    j

 

22,0 – если проигрыш

37,0

47,0 – если выигрыш

37,0

2.Критерий Вальда – максимильный (минимаксный). Правило выбора решения   в соответствии с этим критерием  можно интерпретировать следующим  образом. Матрица выигрышей дополняется  еще одним столбцом из наименьших  результатов  каждой строки. Необходимо выбрать те варианты, в строках которых стоят наибольшие значения этого столбца. Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что ЛПР не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Часто этот критерий называют критерием гарантированных оценок. Если рассматривается матрица потерь, то в каждой строке выбирается максимальное значение и в качестве оптимальных стратегий выбираются минимальные варианты, соответствующие значениям в столбце. Применение этого критерия бывает оправдано, если  ситуация, в которой принимается решения, следующая:

  -о возможности появления  внешних состояния ничего не  известно

  -приходится считаться с  появлением различных внешних  состояний

  -решение реализуется только  один раз

  -необходимо исключить какой-либо  риск

 

Н вальда = max min

                   I      j

Н вальда = min max

                   I      j

Матрица выигрышей      матрица  проигрышей

15 30

20 75

25 80

5 85

 

 

Лекция 15.04.2013

Данный критерий (критерий Сэвиджа) использует матрицу рисков и является критерием выбора минимаксной стратегии. В качестве оптимальной принимается  стратегия, которая в наихудших  условиях минимизирует максимальный риск.

 

Max - , А – матрица выигрышей

 

- min , А – матрица потерь

=

 

Нs= min max , 1≤j≤n

 

      20  30  15

А= 75  20  35

      25  80  25

      85  5   45

 

      85   80   45    max

     

  65  50  30                65

  10  60   10               60 

  60  0     20               60

  0    75   0                 75

 

Оптимальными являются 2 и 3 стратегии.

 

=     65  50  30                65 0    25   0

           10  60   10               60         =   55   15   20

            60  0     20               60 5     75    

           0    75   0              75                 65   0

 

Оптимальной является первая стратегия.

 

Критерий Вальда и Севиджа ориентируют  экономиста на самые неблагоприятные  условия природы и выражают пессимистическую оценку ситуации. В отличие от этих критериев критерий Гурвица. Данный критерий использует также матрицу  игры и является критерием выбора взвешенной стратегии. Критерием Гурвица  задается определенное значение, характеризующее  степень оптимизма – пессимизма .

 

Нg = max  *max + (1- ) min     А – матрица выигрышей

1≤j≤n                    1≤ j≤m

 

 

Нg = min  *min + (1- ) max     А – матрица потерь

1≤j≤n                    1≤ j≤m

 

30  15

75  20

80  25

85  5

0,4*30+0,6*15 = 21 0,4*15+ 0,6* 30 = 24

42 53

                             47                                                                  58

                             37                                                                  53

 

Если матрица А –выигрышей , то оптимальным является 3 стратегия, если потерь – то первая.