Экономико-математическое моделирование в микроэкономике

Fi(xi) – максимальное значение прибыль фирмы в целом, получаемое при достижении состояния Хi на i этапе, рассчитываемое рекурсивно через такое же максимальное значение прибыли, соответствующее предыдущему этапу. Рекуррентное соотношение, связывающее введенные величины на соседних этапах, имеет вид.

Fi(xi) = max {Ri(Ki)+Fi-1(Xi-1}, F0(х0)=0     (1)

Данное соотношение является фактическим  принципом оптимальности для  рассматриваемой задачи. Ему можно  придать более строгую форму, выразив значение переменной состояния  на i-1 этапе через xi и управляющее значение как Кi. Учитывая смысл переменного состояния и стоимости проекта в результате получаем:

Fi(xi) = max {Ri(Ki)+Fi-1(xi  -Ci(ki))}, F0(х0)=0       (2)

I – меняется от 1 до 3

 

(2) – Это основное рекуррентное  соотношения динамического программирования. Экстремальное значение ЦФ = max f3(x3), где максимум берется по всем допустимым значениям х3.

Важным является вопрос о значениях  переменных состояния, т.к. мощность множества  значений переменных состояния –  это один из факторов, определяющих размерность задачи в целом. Для  рассматриваемой задачи он решается просто, учитывая целочисленность всех исходных данных и небольшую величину суммарных инвестиций ( 5 млн.дол.) в  качестве возможных значений любой  переменной состояния достаточно принять целочисленные значения в диапазоне до 5.

Т.е. на любом этапе суммарные  инвестиции с учетом предыдущих этапов не могут превышать 5 млн.дол. Причины, по которым на данном этапе необходимо перебирать все значения переменной состояния из диапазона 0-5 достаточно очевидны. Возможно, что для достижения максимальной прибыли по фирме в  целом лучше ограничить объем  инвестиций на некоторых этапах в  плоть до того, что проекты некоторых  предприятий вообще не инвестировать.

На последнем 3 этапе можно ограничиться только значением х3=5, т.к. х3 – это  максимальная допустимая сумма инвестиций на третьем этапе. Реальная же сумма  инвестиций может быть меньше 5. Следовательно  можно перебирать любые комбинации проекта, а не только те, которые  исчерпывают всю выделенную сумму. Следует отметить, что при определенных исходных данных в реальной практике максимальная прибыль может соответствовать такому набору проектов, когда выделенные инвестиции расходуются не полностью, т.е.е в общем случае все определяется характером переменных состояния и управляющих воздействий.  Другим важным фактором, определяющим размерность задачи является правило отбора допустимых значений управляющих воздействий, по которым осуществляется максимизация выражения правой части соотношения (2). Для данной задачи учитывая условие не отрицательности переменных состояния и их аргумента функции Fi-1(xi  -Ci(ki). При заданном значении переменная состояния xi, допустимы такие значения ki, при которых выполняется неравенство xi ≥ Ci(ki)

Fi(xi) = max {Ri(Ki)+Fi-1(xi  -Ci(ki))}, F0(х0)=0      

          {по Ki, при С(к)≤х}

 

F1(x1) = max {R1(K1)} F0(х0)=0      

          {по K1, при С1(к1)≤х1}

Х1	R1(K1)			Оптимал.решение
	k1=1	k1=2	K1=3	f1(x1)	k1*
0	0	-	-	0	1
1	0	5	-	5	2
2	0	5	6	6	3
3	0	5	6	6	3
4	0	5	6	6	3
5	0	5	6	6	3

 

F2(x2) = max {R2(K2)+F2-1(x2  -C2(k2))}, F0(х0)=0      

          {по K2, при С2(к2)≤х2}

 

Х2	R2(K2)+F2-1(x2  -C2(k2))				Оптим.решение
	k2=1	k2=2	K2=3	К2=4	f2(x2)	K2*
0	0+0=0	-	-	-	0	1
1	0+5=5	-	-	-	5	1
2	0+6=6	8+0=8	-	-	8	2
3	0+6=6	8+5=13	9+0=9	-	13	2
4	0+6=6	8+6=14	9+5=14	12+0=12	14	2 или 3
5	0+6=6	8+6=14	9+6=15	12+5=17	17	4

 

 

14.11.2012

Этап 3.

Х3	R3(K3)+f2(X3-C3(K3))				f3(x3)	K3*
	K3=1	K3=2	К3=3	К3=4
0	0+0=0	-			0	1
1	0+5=5	3+0=3			5	1
2	0+8=8	3+5=8			8	1 или2
3	0+13=13	3+8=11			13	1
4	0+14=14	3+13=16			16	2
5	0+17=17	3+14=17			17	1 или 2

 

Заключительным действием алгоритма  является восстановление по полученным данных оптимальных решений задачи, т.е. наборов оптимальных значений управляющих воздействий К1*, К2*, К3*. Восстановление оптимального набора осуществляется в направлении противоположном  последовательности первоначальных действий от третьего этапа к первому. Такой  порядок восстановления принят, т.к. именно третьему этапу соответствует  состояние системы с экстремальным значением полной целевой функции.

 

Нет одной лекции.

 

 

 

 

 

Задача о загрузке.

Решать будем обратной прогонкой.

Самолет загружается предметами N различных типов. Каждый предмет i типа имеет вес Wi и стоимость Vi. Максимальная грузоподъемность = W. Требуется загрузить самолет так,…..

 

N=3

W=5

Тип предмета	Wi	Vi	Кi max
1	2	65	5/2 = 2 (выделяем целое число
2	3	80	5/3=1
3	1	30	5/1=5

 

Решение. (обратная прогонка)

1.Каждый очередной этап ставится  в соответствии i типу предмета. Таким образом, всего 3 этапа.

2.состояние системы на i этапе (совокупности предметов, загружаемых на данном и последующих этапах) будем характеризовать соответствующим допустимым суммарным весом предмета yi и дополнительно введем состояние (N+1) состояние yn+1/ .

Yi принадлежит  

3.в качестве управляющего воздействия примем кол-во предметов i типа загружаемых в самолет.

 

 

 

Обозначим максимальную суммарную  стоимость предметов, которые загружаются  в самолет на этапах I

 

 

 

Табличная реализация алгоритма.

Этап 3.

F3(y3)=max{V3*K3}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

04.03.2012

Сетевое планировнаие  и управление

Основные понятия.

 Метод сетевого планирования  и управления является методом  решения задач исследования операций, в которых необходимо оптимально  распределить сложные комплексы  работ. Например, строительство большого  объекта, подготовка к производству  продукции, развертывание системы  мероприятий. Метод был создан  в 1958 году в США и практически  параллельно подобный метод был  создан в Англии. Характерной  особенностью таких проектов  является то, что они состоят  из ряда отдельных элементарных  работ. Они обуславливают друг  друга так, что выполнение некоторых  работ не может быть начато  раньше, чем завершены некоторые  другие.

СПУ состоит из 3  основных этапов:

1.структурное планирование –  назыется с разбиения проекта  на четко определенные операции, для которых определяется продолжительность.  Затем строится сетевовой график. Это позволяет детально анализировать  все работы и носить улучшения  в структуру прокта еще до  начала ее реализации.

2.календарное планирование –  предусматривает построение календарного  графика, определяеющего моменты  начала и окончания каждой  работы и другие временные  характеристики сетевого графика.  Это позволяет в частности  выявлять кретические операции, которым необходимо уделять особое  внимание, чтобы закончить проект в установленный срок. Во время календарного планирования определяются временные характеристики всех работ с целью проведения оптимизации сетевой модели, которая улучшает эффективность использования какого-либо ресурса.

3.оперативное управление – используются  сетевой и календарный графики  для составления периодических  отчетов о ходе выполнения  проекта. При этом сетевая модель  может подвергаться оперативной  корректировке, в следствии чего  разрабатывается новый календарный  план. При этом действует, например, следующим образом:

-следует обновить сеть, приписав  к уже выполненным операциям  нулевые длительности, а частично  выполненным длительности, соответствующие  незавершенному объему работ.  При необходимости в сеть вносятся  и структурные изменения, исключая  работы, которые по определенным  причинам стали излишними и  добавляют ранее не предусмотренные  операции.

-далее проводится новый расчет  в сетевой модели. Новая информация  ……пока не появится необходимость  в новой корректировке.

 

 Структурое планирование

Сущность метода заключается в  особом моделировании исследуемого процесса, создается информационно  динамическая модель задачи. В качетве  такой модели в СПУ используется графическая модель в виде сетевого графика. Сетевой график (модель) изображается в виде ориентированного графа (множество  вершин соединяется направленными  дугами.

Основные понятия сетевой модели: понятие «событие» и «работы», либо операции.

Работа – это некоторый процесс, приводящий к достижению определенного  результата и требующий затрат каких-либо ресурсов, имеет протяженность во времени. Понятие «работа» может  иметь следующие значения:

-действительная работа – требует  затрат времени и ресурсов  на определенную операцию

-ожидание – процесс, не требующий  затрат труда, но занимающий  время. Например, высыхание краски  и т.д.

-фиктивная работы – указывает  на логическую связь между  двумя или несколькими операциями, не требующая ни затрат времени,  ни ресурсов. Она изображается  пунктирной линией и указывает  на то, что начало последующей  операции зависит от результатов  предыдущей.

По своей физической природе  работы можно рассматривать:

1.действие – например, составление  заявки на материалы, изучение  конъюнктуры рынка

2.процесс – например, технологический  процесс

3.ожидание – например, ожидание  поставки комплектующих и т.д.

По кол-ву затрачиваемого времени  работа может быть:

1.действительной – требующая  затрат времени