Экономико-математическое моделирование в микроэкономике

2.фиктивной

Событие – это момент времени, когда  завершаются одни работы и начинаются другие. Начало и оканчание любой  работы описываются двумя событиями, которые называются начальным и  конечным событиями. Для идентификации  конкретной работы используется код (i,j) iàj или 2à6

На этапе структурного планирования взаимосвязь работ и событий  изображается с помощью сетевого графика, где работы представляются стрелками (дугами), которые соединяют  вершины, изображающие события. Работы, выходящие из некоторого события  не могут начаться, пока не будут  завершены все операции, входящие в это событие. Событие, не имеющие  предшествующих им события, называют исодным  событием. Событие, которое не имеет  последующих событий и отражает конечную цель проекта, называется завершающим.

При построении сетевого графа следует  правило : длина дуги не зависит от времени выполнения работы. Для действительных работ используются сплошные, а для  фиктивных пунктирные стрелки. Каждая операция должна быть представлена только одной дугой. Не должно быть параллельных работ между одними и теми же событиями, т.е. кратные дуги запрещены. Для  избежания такой ситуации используют фиктивные работы.

Не должно быть дуг, направленных с  права на лево.

Номер начального события должен быть меньше конечного события.

Не должно быть висячих событий, кроме исходного.

Т.к. работы, входящие в проект, могут  быть логически связаны другс  другом, то перед построением сетевой  модели необходимо дать ответы на следующие  вопросы: какие работы необходимо завершить  непосредственно перед началом  рассматриваемой работы ? Какие работы должны непосредственно следовать  после завершения данной работы? Какие  операции могут выполняться однавременно с рассматриваемой работой?

 

Пример построения сетевой модели. (В ТЕТЕРАДКЕ)

 

Построение критического пути.

Применение метода СПУ должно обеспечить получение метода календарного плана, определяющего допустимые сроки  начала и окончания каждой операции.

Для любой j-той вершины, кроме начальной определяют ранний срок начала всех выходящих из нее операций, как наиболее поздний срок завершения всех операций, входящих в j-тую вершину, рассчитанный при условии,что всех предшествующие операции начинались в свои ранние сроки. (Esj).

Для начальной вершины полагают ES0 = 0   (1)

Для любой iвершины, кроме конечной, определяют поздний срок всех входящих в нее операций, как наиболее поздний срок звершения всех операций, входящих в i вершину, при непревышении которого не происходит увеличения срока завершенияпроекта в целом. (Lci)

LCk=Esk   (2)

При принятых определениях справедливы  принудительно заданные граничные  условия 1 и 2 и соотношения 

Длительность операции – Dij

LC0- ES0=0 (3)

Рекуррентное соотношение для  определения ранних сроков начала операций, выходящих из j вершины, при условии, что j≥1    j=max (Esj+Dij)   (4) 
где при фиксированной j индекс i прибегает все допустимые построенной сетевой модели значения, а начальное условие имеет вид формулы (1).

Рекурентное соотношение для определения  поздних сроков окончания операций, входящих в i вершину, где k – конечная вершина.

Lci = min (Lci – Dij) (5)

Где индекс i пробегает все допустимые значения, а начльное условие имеет вид (2)

 

Последовательное применение формулы (4) для определения ранних сроков начала операций называется прямым проходом сети. Последовательное применения (5) для определения конечного срока  операции…….

 

 

 

 

НЕТ ОДНОЙ ЛЕКЦИИ

 

Лекция 25.03.2013

 

Оптимизация сетевых моделей по критерию «время-исполнители»

Организация, выполняющая проект имеет  в распоряжении n=15 исполнителей, но в соответствии с графиком загрузки в течение интервала времени с 3 по 11 день для выполнения проекта требуется работа одновременно 19, 17, 18 исполнителей. Таким образом, возникает необходимость снижения максимального кол-ва одновременно занятых исполнителей до 15 человек.

Проанализируем возможность уменьшения загрузки 19 человек в течение 4 дня, используя свободный резерв работы  FF(3,6)=6, можно сдвинуть ее на 1 день, что снизит загрузку  четвертого дня до 11 человек. Но при этом в 12 день появится пик, станет 21 исполнитель. Для его устранения достаточно сдвинуть работу (5,8) на один день, используя свободный резерв FF(5,8)=8. Далее необходимо проанализировать возможность уменьшения загрузки с 6 по 11 день, где задействованы 18 человек, т.к. работа (2,5) является единственной, которую можно сдвинуть таким образом, чтобы она не выполнялась в указанные дни (с 6 по 11), используя полный резерв TF(2,5)=8. Необходимо сдвинуть работу (2,5) на 8 дней, после чего она будет начинаться не в 4, а в 12 день, но т.к. FF(2,5)=0 и для сдвига работы (2,5) был использован полный резерв, то это влечет за собой обязательный сдвиг работы 5,8, следующей за работой (2,5), на 7 дней

 

В результате произведенных сдвигов  максимальная загрузка сетевой модели уменьшилась с 19 до 15 человек, что  и являлось целью проводимой оптимизации. Приведенная оптимизация продемонстрировала следующие различия использования  свободных и полных резервов работ. Сдвиг работы на время в пределах ее свободного резерва не меняет моменты  начала последующих за ней работ. В тоже время сдвиг работы на время, которое находится в пределах ее полного резерва, но превышает  ее свободный резерв, влечет сдвиг  последующих за ней работ.

 

 

Оптимизация сетевых моделей по критерию «время – затраты»

Целью оптимизации по критерию «время-затраты» является сокращение времени выполнения проекта в целом. Эта оптимизация  имеет смысл только в том случае, когда время выполнения работ  может быть уменьшено за счет дополнительных ресурсов, что приводит к повышению  затрат на выполнение работ.

Рис в тетрадке (рис 1) «Зависимость прямых затрат на работу от времени  ее выполнения»

Для оценки величины дополнительных затрат, связанных с ускорением выполнения той или иной работы используются либо нормативы, либо данные о выполнении аналогичных работ в прошлом.

Под параметрами работ Cn (I,j), Сн( I,j)  понимаются прямые затраты, связанные с выполнением конкретной работы. Таким образом, косвенные затраты типа административно-управленческих в процессе сокращения длительности проекта во внимание не принимаются. Но их влияние учитывается при выборе окончательного календарного плана проекта.

Важными параметрами работы i,j при проведении данного вида оптимизации является коэффициент нарастания затрат.

К(i,j) =

Этот коэффициент показывает затраты  денежных средств, необходимых для  сокращения длительности работы (i.j) на один день.

Запас времени для сокращения длительности работы в текущий момент времени:

Zт(i,j) = tт (I,j) – Ty(i,j)

 

Tт – длительность работы I,j на текущий момент времени. А максимально возможное значение запаса времени = Zmax (i,j) = Тн(I,j) – Ty(i,j)

 

В данном случае длительность работы еще ни разу не сокращалась.

  tт(i,j)=Tн (i,j)

 

Общая схема проведения оптимизации  «время-затраты»

 

1.Исходя из нормальных длительностей работ (Тн (i,j)) определяются критические (Lкр) и подкритические модели (Lн) и критические Tkp и Tп

 

2.Определяется сумма прямых  затрат на выполнение всего  проекта Cпр.  При нормальной продолжит.работ.

3.рассматривается возможность  сокращения продолжительности проекта  для чего анализируются параметры  критических работ проекта

  Для сокращения выбирается  критическая работа с мин.коэффициентом  K(i,j) имеющая не нулевой запас сокращения Zт(i,j)

  Δt(i,j) – время на котрое необходимо сжать длительность работы. = min(Zт(i,j), ΔT)

ΔT=Ткр - Тп

 

Необходимость учета параметра  ΔT вызвано нецелесообразностью сокращения критического пути более, чем на ΔT единиц времени. В этом случае критический путь перестанет быть таковым, а подкритический путь станет критическим. Т.е. длительность проекта в целом принципиально не может быть сокращена больше, чем на ΔT.

4.в результате сжатия критической  работы, временные параметры в  сетевой модели изменяются, что  может привести к появлению  других критических и подкритических  путей. В следствие удорожания  ускоренной работы, общая стоимость  проекта увеличивается на величину

ΔС пр = K(i,j)* Δt(i,j)

5. Для удлиненной сетевой модели  определяются новые критические  и подкритические пути и их  длительности, после чего необходимо  продолжить оптимизацию с пункта 3. При наличии ограничения в  денежных ресурсах, их исчерпание  является причиной окончания  оптимизации. Если не учитывать подобное ограничение, то оптимизацию можно продолжать до тех пор, пока у работ, которые могли бы быть выбраны для сокращения, не будет исчерпан запас времени сокращения.

 

Примечания.

Рассмотренная общая схема оптимизации  предполагает наличие одного критического пути в сетевой модели. В случае существования нескольких критических  путей необходимо либо сокращать  общую для них всех работу, либо одновременно сокращать несколько  различных работ принадлежащих  различным критическим путям. Возможна комбинация этих двух вариантов.

В каждом случае критерием выбора работы или работ для сокращения должен служить минимум затрат на их общее сокращение.

 

Пример приведения оптимизации  сетевой модели по критерию «время-затраты»

Пример в тетрадке.

 

Первый шаг.

 

 

Введение в теорию игр и принятия решений

Особое место среди явлений  или ситуаций, в которых возникает  необходимость принятия обоснованных рациональных решений занимают явления  или ситуации, которые характеризуются  наличием у участников такой ситуации несовпадающих интересов и различных  путей достижения своих целей. Такие  явления (ситуации) называются конфликтными (от лат. столкновение). При этом в  качестве конфликта можно рассматривать  любое разногласие, любое несовпадение целей и интересов сторон. Такие  конфликтные ситуации методы обоснования  принимаемых сторонами в этих ситуация оптимальных или близких  к ним решений являются предметом  теории игр.

Игровые методы и модели в экономике  связаны с применением математического  аппарата теории игр и прилегающих  разделов математики.

Теория игр входит в комплекс дисциплин называемых исследованием  операций.

Теория игр впервые была систематически изложена в 1944 году, хотя отдельные  результаты были известны в 1920 годы (фон  Нейман, моргенштерн). Во время 2 мировой  войны и после нее теорией  игр серьезно интересовались военные, которые увидели в ней математический аппарат для исследования стратегических решений. Затем главное внимание стало уделяться экономическим  проблемам. Конфликт следует представлять как ситуацию, в которой участвуют  различные стороны. Их называют игроки или лица, или участники. В качестве типичного примера конфликтной ситуации, в которой сталкиваются противоречивые, неоттогонистические интересы сторон, можно привести задачу управления запасами предприятия, где в качестве сторон конфликта игроков выступают различные подразделения предприятия. Производственный отдел заинтересован в возможно более длительном и непрерывном выпуске, в возможно больших партия изделий одного наименования, т.е. в узкой номенклатуре выпускаемых изделий. Такое производство снижает затраты на переналадку оборудования, на переобучение работников при переходе на выпуск нового изделия. А следовательно снижает и общепроизводственные затраты. Отдел сбыта заинтересован в больших запасах готовой продукции, чтобы удовлетворить запросы потребителя в любой момент времени. Отдел сбыта, стремясь продать как можно больше продукции, заинтересован в максимально широкой номенклатуре изделий. В следствии этого между производственным отделом и отделом сбыта часто возникает конфликт по поводу номенклатуры выпускаемой продукции. Финансовый отдел, стремясь минимизировать объем капитала, необходимого для функционирования предприятия, пытается уменьшить кол-во связанных оборотных средств. Поэтому он заинтересован в уменьшении запасов продукции до минимума. Таким образом, требования к размерам запасов, к номенклатуре выпускаемой продукции у разных подразделений предприятия оказываются различными, что создает типичную конфликтную ситуацию. Задача состоит в выработки рациональной стратегии и принятии оптимального решения, чтобы наилучшим образом удовлетворить требования сторон, участвующих в конфликте. Конфликт может возникнуть также из различия целей, которые отражают не только не совпадающие интересы различных сторон, но и многосторонние интересы одного и того же лица. Например, конструктор обычно преследует многосторонние интересы, согласуя противоречивые технико-экономические требования, предъявляемые к конструкторскому изделию. Например, минимизация габаритов и стоимости, максимизация надежности.

Математическая модель конфликтной  ситуации называется игрой,

исход конфликта выигрышем или  платежом,

 стороны участвующие в конфликте  – игроки

выигрыш или проигрыш сторон оценивается  численно

 

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Стратегия  игрока  - некоторый план или совокупность правил, по которым он совершает  выбор решения каждой из возможных  ситуаций игры.

Платежная матрица также называется матрицей эффективности, матрицей игры и включает все значения выигрышей  в конечной игре.

В целом теорию игр можно рассматривать  как раздел оптимизационного подхода, позволяющего решать новые задачи при  принятии решений.

 В теории игр не существует  установившейся классификации видов  игр. Но по определенным критериям  выделяют некоторые виды:

1.кол-во игроков. Если в игре  участвует две стороны, то ее  называют игрой двух лиц. Если  число сторон больше 2 – ее  относят к игре n-игроков.

Наибольший интерес вызывают игры двух лиц. Они математически более  глубоко проработаны  и в практических приложениях имеют наибольшее распространение.

2.кол-во стратегий игры –  игры делятся на конечные и  бесконечные. В конечной игре  каждый из игроков имеет конечное  число возможных стратегий. Если  хотя бы один из игроков  имеет бесконечное число возможных  стратегий – игра является  бесконечной.

3.взаимоотношение сторон – по  данному критерию игры делятся  на кооперативные, коалиционные  и без коалиционные. Если игроки  не имеют права вступать в  соглашения, т.е. образовывать коалиции, то такая игра относится к  без коалиционным. Если игроки  могут вступать в соглашения, т.е. создавать коалиции, то игра  называется коалиционной. Кооперативная  игра – игра, в которой заранее  определены коалиции.

4.характер выигрышей –позволяет  классифицировать игры с нулевой  и не нулевой суммой. Игра с  нулевой суммой предусматривает  условие : сумма выигрышей всех  игроков каждой партии = 0. Игры  двух игроков с нулевой суммой  относят к классу онтогонистических  .

Примерами игр служат многие экономические  задачи. В них общий капитал  всех игроков перераспределяется между  игроками, но не меняется. К играм  с ненулевой суммой также можно  отнести большое кол-во экономических  задач. Например, в результате торговых взаимоотношений стран, участвующих  в игре, все участники могу оказаться  в выигрыше.