Экономико-математическое моделирование в микроэкономике

Модели теории случайных процессов  предназначены для изучения процессов, состояние которых в каждый момент времени является случайной величиной.

Модели теории массового обслуживания – изучают многоканальные системы, занятые обслуживанием требований.

К стохастическим моделям относят  также модели управления запасами, модели теории полезности, поиска и  принятия решений. Для моделирования  ситуаций, зависящих от факторов, для  которых не возможно собрать статистические данные и значения которых не определены, используются модели с элементами неопределенность. В моделях теории игр задача представляется в виде игры, в которой участвуют  несколько игроков, преследующих разные цели (организация предприятия в  условиях конкуренции).

В имитационных моделях реальный процесс  разворачивается в машинном времени  и прослеживаются результаты случайных  воздействий на него. Например, организация  производственного процесса.

 

Основные принципы и этапы экономико-математического  моделирования

1.Постановка экономической проблемы  и ее качественный анализ.

Главное четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения  и те вопросы, на которые требуется  получить ответы. Этот этап включает выделение  важнейших черт и свойств моделируемого  объекта, абстрагирования от второстепенных, изучение структуры объекта и  основных зависимостей, связывающих его элементы,  формулирование гипотез хотя бы предварительных, объясняющих поведение и развитие объекта.

2.Построение математической модели.

Это этап формализации экономической  модели, выражение ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений. Обычно сначала определяется основная конструкция (тип математической модели), а затем уточняются детали этой конструкции, т.е. конкретный перечень переменных и  параметров, форма связей. Таким  образом, построение модели подразделяется на несколько стадий. Неправильно  полагать, что чем больше факторов учитывает модель, тем она лучше  работает и дает лучшие результаты. Тоже можно сказать и о таких  характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейная, нелинейная), учет факторов случайностей и неопределенности и т.д. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования, поэтому необходимо сопоставлять затраты  на моделирование с получаемым эффектом, т.к. при возрастании сложности  модели прирост затрат может превысить прирост эффекта. Для новой экономической задачи в начале можно попытаться применить уже известные модели. В процессе построения модели осуществляется взаимосопоставление 2 систем научных знаний (математических и экономических). Необходимо стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта. Но возможна и ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной математической структуре. Так потребности экономической науки и практики способствовали развитию математического программирования теории игр, вычислительной математики и т.д. Развитие экономической науки становится важным стимулом для создания новых разделов математики.

3.математический анализ модели.

Цель – выяснение общих свойств  модели. Применяются математические приемы исследования. Наиболее важный момент – доказательство существование  решений сформулированной модели (теорема  существования). Если математическая задача не имеет решения, то следует скорректировать  либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как: единственно ил решение, какие элементы могут входить в решение, каковы соотношения между ними, в каких  пределах и в зависимости от каких  исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменений.

Аналитическое исследование модели по сравнению с эмпирическим имеет  то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных  конкретных значениях внешних и  внутренних параметров модели.

Если модели сложных экономических  объектов практически не поддаются  аналитическому исследованию, не удается  выяснить общих свойств модели, а  упрощения приводят к недопустимым результатам, то переходят к численным  методам исследования.

4.подготовка исходной информации.

Моделирование предъявляет жесткие  требования к системе информации. Реальные возможности получения  информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание принципиальная возможность подготовки информации и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации. В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

5.Численные решения

Включает разработку алгоритмов для  численного решения задачи, составления  программ и непосредственное проведение расчетов. Могут использоваться разработанные  программы, модули информационных систем. Трудности – это большая размерность  экономических задач, необходимость  обработки значительных массивов информации.

Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер, удается проводить многочисленные эксперименты, изучая поведение модели при различных изменениях некоторых  условий. Исследование проводимое численными методами может существенно дополнить  результаты аналитического исследования. Класс экономических задачЮ которые  можно решать численными методами значительно  шире, чем класс задач доступных  аналитическому исследованию.

6.анализ численных результатов  и их применение

На этом этапе встает вопрос о  правильности и полноте результатов  моделирования, о степени практической применимости результатов. Мат методы проверки могут выявлять некорректное построение модели, сужая класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных  результатов, получаемых с помощью  модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и факторами также позволяет  обнаруживать недостатки постановки экономической  задачи, сконструированной мат.модели, ее информационного и математического обеспечения. В случае положительного анализа результатов экономическая задача является решенной и ее результаты используются в практике управления, прогнозирования и т.п.

 

24.10.12

Типовые задачи линейного программирования в микро экономике

Задача планирования производства.

Для изготовления различных видов  изделий используются  разные ресурсы. Общие запасы каждого ресурса, кол-ва ресурса каждого типа, затраченного на изготовление одного изделия каждого  вид и прибыль, получаемая от реализации одного изделия каждого вида  заданы. Необходимо составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную суммарную прибыль  от реализации изделий.

Построение математической модели.

Математическая модель строится поэтапно:

1.цель – максимизация прибыли.  Задача решается в общем виде, поэтому для определения параметров  вводятся условные обозначения:

n - число различных типов изделий

m – ресурсов

bi – запас ресурса i типа (i=1…m)

аij – кол-во ресурсов i типа для изготовления одного изделия j вида  (i=1…m; j =1 ….n)

Pj – прибыль от реализации одного изделия

Хj – число изделий j вида

Ограничение задачи – это ограничения  по ресурсам и условия не отрицательности  управляемых переменных. Таким образом, можно построить математическую модель.

Р=∑РjXjà max      (*)

А11Х1+а12Х2+…+а1nХn ≤ b1      (**)

А21Х1+а22Х2+…+а2nХn≤b2

Аm1Х1+аm2X2+…+a2nXn≤bm

Xj≥0, j=1….n

 

 

В зависимости от * или ** - это математическая модель поставленной задачи. В результате ее расчетов определяют оптимальный  план производства, т.е. кол-во изделий  каждого вида, которые надо изготовить так, чтобы при этом была максимальная прибыль (*) и не был превышен запас  ресурсов (**)

 

 

Задача 2.

Формирование минимальной потребительской  продовольственной корзины.

Задан ассортимент продуктов, имеющихся  в продаже. Каждый продукт содержит определенное кол-во разных питательных  веществ каждого вида. Необходимо определить требуемую потребительскую  продовольственную корзину, имеющую  минимальную стоимость.

Цель – минимизация стоимости потребительской корзины.

Параметры задачи:

n – число различных продуктов, имеющихся в продаже

m- число различных питательных веществ необход.человеку

aij –содержание i питательного вещества и j продукте.

bi –кол-во i питательного вещества, необходимого человеку

Сj – стоимость j продукта

Управляемая переменная Хj – это кол-во j продукта, входящего в потребительскую корзину J=1…n

Критерий оптимальности :

С=∑СjXjàmin (*)

 

Область допустимых решений определяется системой неравенств, содержащей условия  по необходимому уровню потребления  каждого питательного вещества во всех продуктах и условия не отрицательности  управляемых переменных.

 

А11Х1+а12Х2+…+а1nХn ≥ b1      (**)

А21Х1+а22Х2+…+а2nХn≥b2

Аm1Х1+аm2X2+…+a2nXn≥bm

Xj≥0, j=1….n

 

(*) и (**) – это линейная математическая  модель. После ее расчета определяется  состав минимальной по стоимости  продовольственной корзины.

 В группу аналогичных задач  попадают задачи о смесях при  минимизации стоимости единицы  веса., задачи о минимизации рациона  кормовых смесей. В задачах данного типа возможно включение дополнительного ограничения по сумме компонентов в единице выпускаемой продукции.

 

Задача 3.

Составление плана реализации товара.

Фирма реализует различные товары, используя при этом определенный набор средств: технических, людских, денежных. Общий запас средств, число  средств каждого вида, используемых при реализации единицы любого товара и прибыль от его продажи заданы. Надо сформировать план реализации товаров, приносящий фирме максимальную прибыль.

Цель – максимизация прибыль

Параметры:

N –число различных видов реализуемых товаров

m-число разных видов средств

bi-запас средств i вида

aij-число средств i вида, используемых для реализации единицы товара j вида

Рj – прибыль от реализации единицы товара j вида

Управляемая переменная Хj – кол-во реализуемого товара j вида

Критерий оптимальности (ЦФ) определяется :

 

 

 

Р=∑РjXjà max  (*)    (суммарная прибыль от реализации товара)

А11Х1+а12Х2+…+а1nХn ≤ b1      (**)

А21Х1+а22Х2+…+а2nХn≤b2

Аm1Х1+аm2X2+…+a2nXn≤bm

Xj≥0, j=1….n

 

В результате расчета математической модели (*) и (**) определяется кол-во реализуемых  товаров каждого вида, обеспечивающий фирме максимальную прибыль.

 

Задача 4.

Оптимальное распределение оборудования

Оборудование m различных видов нужно распределить между n рабочими участками. Производительность одной единицы оборудования i вида на j рабочем участке = Pij/ Потребность j участка в оборудовании составляет bj. Запас оборудования i вида = ai.

Найти распределение оборудования на рабочем участке, при которой  суммарная производительность является максимальной.

 

Данная задача относится к классу транспортных задач, при условии, что производительность линейно зависит от кол-ва используемого оборудования. Поставщиками в задаче являются различные виды оборудования, потребителями – рабочие участки. Предложение определяется запасом оборудовнаия каждого вида, Спрос – потребностью в нем на рабочем участке.

Через Хij обозначает число единиц оборудования i вида, выделенное на j рабочий участок.

 

Р=∑∑РijXijà max      (*)

 

∑Хij=ai , i=1…m

∑Хij=bj , j=1…n

∑ai=∑bj

Хij≥0

 

Построенная модель является сбалансированной, если потребность запаса оборудования в ней не равны , то осуществляется переход к сбалансированной модели с помощью преобразований.

 

 

В данной задаче могут быть дополнительные ограничения. Например, о невозможности  установки оборудования определенного  вида на том или ином рабочем участке. В этом случае соответствующие значения Хij должны быть добавлены в систему ограничений и быть = 0. Могут быть также ограничения по указанию конкретного кол-ва единиц оборудования на том или ином рабочем участке со знаками =,≥, ≤, значнеи которых указываются в исходных данных. В этом случает такие ограничения также добавляются в систему ограничений.