Эконометрика как наука: Содержание, цели, задачи, направления развития

    De_t = ,  (П2.18)

    cov(e_t, e_t±k) = a^kDe_t. (П2.19)

    Одно  важное следствие (П2.19) состоит в том, что если величина |a| близка к единице, то дисперсия e_t будет намного больше дисперсии d. А это значит, что если соседние значения ряда e_t сильно коррелированы, то ряд довольно слабых возмущений d_t будет порождать размашистые колебания остатков e_t.

    Основные  характеристики процесса авторегрессии 1-го порядка следующие.

    Условие стационарности ряда (П2.15) определяется требованием к коэффициенту a: |a| < 1,

    или, что то же, корень z₀ уравнения 1 - az = 0 должен быть по абсолютной величине больше единицы.

    Автокорреляционная  функция марковского  процесса определяется соотношением (П2.17):

    r(t) = r(e_t, e_t±t) = a^t. (П2.20)

    Отсюда  же, в частности, следует простая  вероятностная интерпретация параметра a: a = r(e_t, e_t±1),

    т.е. значение a определяет величину корреляции между двумя соседними членами ряда e_t.

    Из (П2.20) видно, что степень тесноты  корреляционной связи между членами последовательности (П2.15) экспоненциально убывает по мере их взаимного удаления друг от друга во времени.

    Частная автокорреляционная функция r_част(t) = r(e_t, e_t+t | e_t+1 = e_t+2 =…= e_t+t-1 = 0) может быть подсчитана с помощью формул (П2.4)–(П2.5). Непосредственное вычисление по этим формулам дает следующий простой результат: значения частной корреляционной функции r_част(t) равны нулю для всех t = 2, 3,…. Это свойство может быть использовано при подборе модели: если вычисленные выборочные частные корреляции статистически незначимо отличаются от нуля при t = 2, 3,…, то использование модели авторегрессии 1-го порядка для описания поведения случайных остатков временного ряда не противоречит исходным статистическим данным.

    Спектральная  плотность   марковского процесса (П2.15) может быть подсчитана с учетом известного вида автокорреляционной функции (П2.20):

             .

    В случае значения параметра a близкого к 1, соседние значения ряда e_t близки друг к другу по величине, автокорреляционная функция экспоненциально убывает оставаясь положительной, а в спектре преобладают низкие частоты, что означает достаточно большое среднее расстояние между пиками ряда e_t. При значении параметра a близком к –1, ряд быстро осциллирует (в спектре преобладают высокие частоты), а график автокорреляционной функции экспоненциально спадает до нуля с попеременным изменением знака.

    Идентификация модели, т.е. статистическое оценивание ее параметров a и по имеющейся реализации временного ряда x_t (а не его остатков, которые являются ненаблюдаемыми), основана на соотношениях (П2.16)-(П2.19) и может быть осуществлена с помощью метода моментов. Для этого следует предварительно решить задачу выделения неслучайной составляющей , что позволит оперировать в дальнейшем остатками

           (П2.21)

    Затем подсчитывается выборочная дисперсия  остатков по формуле

    где , а «невязки» (остатки)  вычислены по формуле (П2.21).

    Оценку  параметра a получаем с помощью формулы (П2.18), подставляя в нее вместо коэффициента корреляции его выборочное значение, т.е. .

    Наконец, оценка параметра основана на соотношении (П2.19), в котором величины De_t и a заменяются оценками, соответственно, и :

    Модели  авторегрессии 2-го порядка  – AR(2) (процессы Юла). Эта модель, как и AR(1), представляет собой частный случай авторегрессионного процесса, когда все коэффициенты p_j в правой части (П2.14) кроме первых двух, равны нулю. Соответственно, она может быть определена выражением

    e_t = a₁e_t-1 + a₂e_t-2 + d_t,    (П2.22)

    где последовательность d₁, d₂,… образует белый шум.

    Условия стационарности ряда (П2.22) (необходимые и достаточные) определяются как:

    В рамках общей теории моделей те же самые условия стационарности получаются из требования, чтобы все корни соответствующего характеристического уравнения лежали бы вне единичного круга. Характеристическое уравнение для модели авторегрессии 2-го порядка имеет вид:

    Автокорреляционная  функция процесса Юла подсчитывается следующим образом. Два первых значения r(1) и r(2) определены соотношениями

    а значения  для r(t), t = 3, 4,… вычисляются с помощью рекуррентного соотношения r(t) = a₁r(t - 1) + a₂r(t - 2).

    Частная автокорреляционная функция временного ряда, сгенерированного моделью авторегрессии 2-го порядка, обладает следующим отличительным свойством: r_част(t) = 0 при всех t = 3, 4,…

    Спектральная  плотность  процесса Юла может быть вычислена с помощью формулы:

    Идентификация модели авторегрессии 2-го порядка основана на соотношениях, связывающих между собой неизвестные параметры модели a₁, a₂ и со значениями различных моментов «наблюдаемого» временного ряда e_t.

    По  значениям  вычисляются оценки и , соответственно, дисперсии De_t и автокорреляций r(1) и r(2). Это делается с помощью соотношений (П2.2) и (П2.3):

    После этого можно получить оценки и из соотношений

    Наконец, оценку параметра  получаем с помощью

    Модели  авторегрессии p-го порядка – AR(p) (p ³ 3). Эти модели, образуя подмножество в классе общих линейных моделей, сами составляют достаточно широкий класс моделей. Если в общей линейной модели (П2.14) полагать все параметры p_j, кроме первых p коэффициентов, равными нулю, то мы приходим к определению AR(p)-модели:

                                        (П2.23)

    где последовательность случайных величин d₁, d₂,… образует белый шум.

    Условия стационарности процесса, генерируемого моделью (П2.23), также формулируются в терминах корней его характеристического уравнения

    1 - a₁z - a₂z² -…- a_pz^p = 0.

    Для стационарности процесса необходимо и  достаточно, чтобы все корни характеристического  уравнения лежали бы вне единичного круга, т.е. превосходили бы по модулю единицу.

    Автокорреляционная  функция процесса (П2.23) может быть вычислена с помощью рекуррентного соотношения по первым p ее значениям r(1),…, r(p). Это соотношение имеет вид:

         r (t) = a₁r(t - 1) + a₂r(t - 2) +…+ a_pr(t - p), t = p + 1, p + 2,... (П2.24)

    Частная автокорреляционная функция процесса (П2.23) будет иметь ненулевые значения лишь при t £ p; все значения r_част(p) при t > p будут нулевыми. Это свойство частной автокорреляционной функции AR(p)-процесса используется, в частности, при подборе порядка  в модели авторегрессии для конкретных анализируемых временных рядов. Если, например, все частные коэффициенты автокорреляции, начиная с порядка k, статистически незначимо отличаются от нуля, то порядок модели авторегрессии естественно определить равным p = k - 1.