Эконометрика как наука: Содержание, цели, задачи, направления развития

   Конечно, вовсе не обязательно, чтобы в  процессе формирования значений всякого  временного ряда участвовали одновременно факторы всех четырех типов. Выводы о том, участвуют или нет факторы данного типа в формировании значений конкретного ряда, могут базироваться как на анализе содержательной сущности задачи, так и на специальном статистическом анализе исследуемого временного ряда. Однако во всех случаях предполагается непременное участие случайных факторов. Таким образом, в общем виде модель формирования данных (при аддитивной структурной схеме влияния факторов) выглядит как:

      x_t = c₁f(t) + c₂j(t) +c₃y(t) + e_t.  (1.1.1)                                       

где c_i = 1, если факторы i-го типа участвуют в формировании значений ряда и c_i = 0 – в противном случае.

Основные  задачи анализа временных  рядов. Базисная цель статистического анализа временного ряда заключается в том, чтобы по имеющейся траектории этого ряда:

1. определить, какие из неслучайных функций  присутствуют в разложении (1.1.1), т.е. определить значения индикаторов c_i;
2. построить «хорошие» оценки для тех неслучайных функций, которые присутствуют в разложении (1.1.1);
3. подобрать модель, адекватно описывающую поведение случайных остатков e_t, и статистически оценить параметры этой модели.

Успешное  решение перечисленных задач, обусловленных  базовой целью статистического анализа временного ряда, является основой для достижения конечных прикладных целей исследования и, в первую очередь, для решения задачи кратко- и среднесрочного прогноза значений временного ряда.

    Существенную  роль в решении задач выявления  и оценивания трендовой, сезонной и  циклической  составляющих в разложении (1.1.1) играет начальный этап анализа, на котором:

• выявляется сам факт наличия/отсутствия неслучайной (и зависящей от времени t) составляющей в разложении (1.1.1); по существу, речь идет о статистической проверке гипотезы

                                      H₀: Ex_t = m = const (П2.6)

    (включая  утверждение о взаимной статистической независимости членов исследуемого временного ряда) при различных вариантах конкретизации альтернативных гипотез типа

    H_А: Ex_t ¹ const;

• строится оценка (аппроксимация) для неизвестной интегральной неслучайной составляющей f(t) = c₁f_тр(t) + c₂j(t) +c₃y(t), т.е. решается задача сглаживания (элиминирования случайных остатков e_t) анализируемого временного ряда x_t.

    П2.2.1. Проверка гипотезы о  неизменности среднего значения временного ряда

    Критерий  серий, основанный на медиане. Расположим члены анализируемого временного ряда в порядке возрастания, т.е. образуем по наблюдениям вариационный ряд:

    x₍₁₎, x₍₂₎,…, x_(T).

    Определим выборочную медиану  по формуле

    После этого мы образуем «серии» из плюсов и минусов, на статистическом анализе которых основана процедура проверки гипотезы (П2.6). По исходному временному ряду, построим последовательность из плюсов и минусов следующим образом: вместо x_t ставится «+», если , и «-», если (члены временного ряда, равные , в полученной таким образом последовательности плюсов и минусов не учитываются).

    Образованная  последовательность плюсов и минусов  характеризуется общим числом серий n(Т) и протяженностью самой длинной серии t(Т). При этом под «серией» понимается последовательность подряд идущих плюсов и подряд идущих минусов. Если исследуемый ряд состоит из статистически независимых наблюдений, случайно варьирующих около некоторого постоянного уровня  (т.е. справедлива гипотеза (П2.6)), то чередование «+» и «-» в построенной последовательности должно быть случайным, т.е. эта последовательность не должна содержать слишком длинных серий подряд идущих «+» или «-», и, соответственно, общее число серий не должно быть слишком малым. Так что в данном критерии целесообразно рассматривать одновременно пару критических статистик (n(Т); t(Т)).

    Справедлив  следующий приближенный статистический критерия проверки гипотезы Н_0, выраженной соотношением (П2.6): если хотя бы одно из неравенств окажется нарушенным, то гипотеза (П2.6) отвергается с вероятностью ошибки a, такой, что 0,05 < a < 0,0975 и, тем самым, подтверждается наличие зависящей от времени неслучайной составляющей в разложении (1.1.1).

    Критерий  «восходящих» и «нисходящих» серий. Этот критерий «улавливает» постепенное смещение среднего значения в исследуемом распределении не только монотонного, но и более общего, например, периодического характера.

    Так же, как и в предыдущем критерии, исследуется последовательность знаков - плюсов и минусов, однако правило образования этой последовательности в данном критерии иное. Здесь на i-ом месте вспомогательной последовательности ставится «+», если x_i+1 - x_i > 0, и «-»с, если x_i+1 - x_i < 0 (если два или несколько следующих друг за другом наблюдений равны между собой, то принимается во внимание только одно из них). Последовательность подряд идущих «+» (восходящая серия) будет соответствовать возрастанию результатов наблюдения, а последовательность «-» (нисходящая серия) - их убыванию. Критерий основан на том же соображении, что и предыдущий: если выборка случайна, то в образованной последовательности знаков общее число серий не может быть слишком малым, а их протяженность - слишком большой.

    При уровне значимости 0,05 < a < 0,0975 критерий вид:

             (П2.7)

    где величина t₀(Т) определяется следующим образом:

    Если хотя бы одно из неравенств (П2.7) окажется нарушенным, то гипотезу (П2.6) следует отвергнуть.

    Критерий  квадратов последовательных разностей (критерий Аббе). Если есть основания полагать, что случайный разброс наблюдений x_(t) относительно своих средних значений подчиняется нормальному закону распределения вероятностей, то для выяснения вопроса о возможном систематическом смещении среднего в ходе выборочного обследования целесообразно воспользоваться критерием Аббе, являющимся в этом случае более мощным.

    Для проверки гипотезы (П2.6) с помощью данного критерия подсчитывают величину , где Если то гипотеза (П2.6) отвергается. При этом величина для T > 60 подсчитывается как где u_a - a-квантиль нормированного нормального распределения. Величины при T £ £ 60 для трех наиболее употребительных значений уровня значимости  приведены в табл. 4.9 книги [Большев, Смирнов (1965)].

    П2.2.2. Методы сглаживания  временного ряда (выделение  неслучайной составляющей)

    Методы  выделения неслучайной составляющей в траектории, отражающей поведение  временного ряда, подразделяются на два типа.

    Методы  первого типа (аналитические) основаны на допущении, что известен общий вид неслучайной составляющей в разложении (1.1.1)

    f(t) = c₁f_тр(t) + c₂j(t) +c₃y(t).     (П2.8)

    Например, если известно, что неслучайная составляющая временного ряда описывается линейной функцией времени f(t) = q₀ + q₁t, где q₀ и q₁ - некоторые неизвестные параметры модели, то задача ее выделения (задача элиминирования случайных остатков или задача сглаживания временного ряда) сводится к задаче построения хороших оценок и для параметров модели.

    Методы  второго типа (алгоритмические) не связаны ограничительным допущением о том, что общий аналитический вид искомой функции (П2.8) известен исследователю. В этом смысле они являются более гибкими, более привлекательными. Однако «на выходе» задачи они предлагают исследователю лишь алгоритм расчета оценки для искомой функции f(t) в любой наперед заданной точке t и не претендуют на аналитическое представление функции (П2.8).

    Аналитические методы выделения (оценки) неслучайной составляющей временного ряда. Эти методы реализуются в рамках моделей регрессии, в которых в роли зависимой переменной выступает переменная x_t, а в роли единственной объясняющей переменной - время t. Таким образом, рассматривается модель регрессии вида

    x_t = f(t, q) + e_t, t = 1,…, T,

    в которой общий вид функции  f(t, q) известен, но неизвестны значения параметров q = (q₀, q₁,…, q_m). Оценки  параметров строятся по наблюдениям . Выбор метода оценивания зависит от гипотетического вида функции f(t, q) и стохастической природы случайных регрессионных остатков e_t.

    Алгоритмические методы выделения  неслучайной составляющей временного ряда (методы скользящего среднего). В основе этих методов  элиминирования случайных флуктуаций в поведении анализируемого временного ряда лежит простая идея: если «индивидуальный» разброс значений члена временного ряда x_t около своего среднего (сглаженного) значения a характеризуется дисперсией s², то разброс среднего из N членов временного ряда (x₁ + x₂ +…+ x_T) / N около того же значения a будет характеризоваться гораздо меньшей величиной дисперсии, а именно дисперсией, равной s² / N. А уменьшение меры случайного разброса (дисперсии) и означает как раз сглаживание соответствующей траектории. Поэтому выбирают некоторую нечетную «длину усреднения» N = 2m + 1, измеренную в числе подряд идущих членов анализируемого временного ряда. А затем сглаженное значение   временного ряда x_t вычисляют по значениям x_t-m, x_t-m+1,…, x_t, x_t+1,…, x_t+m по формуле