Стратегия социально-экономического развития Омской области

Направленный  перебор.

Начнем с точки, удовлетворяющей  ограничениям (ее можно найти простым  перебором). Будем последовательно (или случайно – с помощью т.н. метода случайного поиска) менять ее координаты на определенную величину ∆, каждый раз  в точку с более высоким  значением целевой функции. Если выйдем на плоскость ограничения, будем  двигаться по ней (находя одну из координат  по уравнению ограничения). Затем  движение по ребру (когда два ограничения-неравенства  переходят в равенства)… Остановка - в вершине линейного многогранника. Решение найдено! (Более строго выражаясь, найдено с точностью до ∆. Если необходимо, в окрестности найденного решения проводим направленный перебор  с шагом ∆/2 , ∆/4 и т.д.) 

Симплекс-метод.

Этот один из первых специализированных методов оптимизации, нацеленный на решение задач линейного программирования, в то время как методы простого и направленного перебора могут  быть применены для решения практически  любой задачи оптимизации. Симплекс-метод  был предложен американцем Г. Данцигом в 1951 г. Основная его идея состоит  в продвижении по выпуклому многограннику  ограничений от вершины к вершине, при котором на каждом шаге значение целевой функции улучшается до тех  пор, пока не будет достигнут оптимум. Разберем пример на основе данных табл.2.  

Рассмотрим задачу линейного  программирования, сформулированную выше при рассмотрении оптимизации номенклатуры и объемов выпуска:

F = 15 Х₁ + 12 Х₂  + 14 Х₃ → max .

Х₁  / 200 + Х₂ / 300 + Х₃   / 120 ≤ 100 ,

Х₁  / 300 + Х₂ / 100 + Х₃   / 100 ≤ 100 ,

Х₃ / 80 ≤ 100 .

Неотрицательность переменных не будем специально указывать, поскольку  в задачах линейного программирования это предположение всегда принимается.  

В соответствии с симплекс-методом  введем т.н. "свободные переменные" Х₄, Х₅, Х₆, соответствующие недоиспользованным мощностям, т.е. от системы неравенств перейдем к системе уравнений:

Х₁  / 200 + Х₂ / 300 + Х₃   / 120 + Х₄  = 100 ,

Х₁  / 300 + Х₂ / 100 + Х₃   / 100 + Х₅ = 100 ,

Х₃ / 80 + Х₆  = 100 ,

15 Х₁ + 12 Х₂  + 14 Х₃   = F .

У этой системы имеется  очевидное решение, соответствующее  одной из вершин многогранника допустимых значений переменных:

Х₁  = Х₂  = Х₃  = 0, Х₄  = Х₅ = Х₆  = 100,  F = 0.

В терминах исходной задачи это означает, что ничего не надо выпускать. Такое решение приемлемо  только на период летних отпусков. 

В соответствии с симплекс-методом  выбираем переменную, которая входит в целевую функцию F с самым большим положительным коэффициентом. Это Х₁. 

Сравниваем частные от деления свободных членов в первых трех уравнениях на коэффициенты при  только что выбранной переменной Х₁:

100 / (1/200) = 20000, 100 / (1/300) =30000, 100/0 = + ∞ .

Выбираем строку из системы  уравнений, которой соответствует  минимальное из всех положительных  отношений. В рассматриваемом примере - это первая строка, которой соответствует  отношение 20000.

Умножим первую строку на 200, чтобы получить Х₁  с единичным коэффициентом:

Х₁  + 2/3 Х₂  + 2/1,2 Х₃   + 200 Х₄  = 20000 .

Затем умножим вновь полученную строку на (-1/300) и сложим со второй строкой, чтобы исключить член с Х₁, получим 

7/900 Х₂  + 4/900 Х₃  - 2/3 Х₄ + Х₅ = 100/3.

Ту же преобразованную  первую строку умножим на (-15) и сложим со строкой, в правой части которой  стоит F, получим:

2 Х₂  - 11 Х₃  - 3000 Х₄  =   F - 300000.

В результате система уравнений  преобразуется к виду, в котором  переменная Х₁  входит только в первое уравнение:

Х₁  + 2/3 Х₂  + 2/1,2 Х₃   + 200 Х₄  = 20000 ,

7/900 Х₂  + 4/900 Х₃  - 2/3 Х₄ + Х₅ = 100/3,

Х₃ / 80 + Х₆  = 100 ,

2 Х₂  - 11 Х₃  - 3000 Х₄  = F - 300000.

Очевидно, у новой системы  имеется улучшенное по сравнению  с исходным решение, соответствующее  другой вершине выпуклого многогранника  в шестимерном пространстве:

Х₁  = 20000, Х₂  = Х₃   = Х₄  = 0, Х₅ = 100/3, Х₆   = 100, F = 300000.

В терминах исходной задачи это решение означает, что надо выпускать только кухни. Такое решение  приемлемо, если допустимо выпускать  только один вид продукции. 

Повторим описанную выше операцию. В строке с F имеется еще один положительный коэффициент - при Х₂ (если бы положительных коэффициентов было несколько - мы взяли бы максимальный из них). На основе коэффициентов при Х₂ (а не при Х₁, как в первый раз) образуем частные от деления соответствующих свободных членов на эти коэффициенты:

20000 / (2/3) = 30000, (100/3) / (7/900) = 30000/7, 100/0 = + ∞.

Таким образом, нужно выбрать  вторую строку, для которой имеем  наименьшее положительное отношение 30000/7. Вторую строку умножим на 900/7 (чтобы  коэффициент при Х₂  равнялся 1). Затем добавим обновленную строку ко всем строкам, содержащим Х₂, предварительно умножив их на подходящие числа, т.е. такие, чтобы все коэффициенты при Х₂ стали бы после сложения равны 0, за исключением коэффициента второй строки, который уже стал равняться 1. Получим систему уравнений:

Х₁  + 9/7 Х₃  + 1800/7 Х₄   - 600/7 Х₅  = 120000/7 ,

Х₂  + 4/7 Х₃  - 600/7 Х₄ + 900/7 Х₅ = 30000/7,

Х₃ / 80 + Х₆ = 100 ,