Стратегия социально-экономического развития Омской области

Итак, согласно гипотезе линейности имеем

х_ij = а_ijх_i (i, j = 1, …, n). (1.2)

Коэффициенты а_ij называют коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоемкости).

Подставляя соотношения (1.2) в уравнение баланса (1.1), получаем систему n линейных уравнений относительно переменных х₁, х₂,…, х_n:

х₁ = а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ + … а_1n х_n + у₁,

х₂ = а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ + … а_2n х_n + у₂,

…………………………………..

х_n = а_n1 х₁ + а_n2 х₂ + … а_nn х_n + у_n,

или, в матричной записи,

х = Ах + у, (1.3)

где а₁₁ а₁₂ … а_1n х ₁ у₁

А = а₂₁ а₂₂ … а_2n , х = х ₂ , у = у₂ .

……………. … …

а_n1 а_n2 … а_nn х_n у_n

Вектор х называется вектором валового выпуска, вектор у – вектором конечного потребления, а матрица  А – матрицей прямых затрат. Соотношение (1.3) называется уравнением линейного  межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов х и у это соотношение называют также моделью Леонтьева.

 

Продуктивные  модели Леонтьева

Определение. Матрица А  ≥ 0 называется продуктивной, если для  любого вектора у ≥ 0 существует решение х ≥ 0 уравнения

х = Ах + у (2.4)

В этом случае модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной. Другими словами, модель продуктивна, если любое конечное потребление  у можно обеспечить при подходящем валовом выпуске х.

Уравнение Леонтьева (2.4) можно  записать следующим образом:

(Е – А)х = у, (2.5)

где Е – единичная матрица. Возникает, естественно, вопрос об обращении  матрицы Е – А. Понятно, что  если обратная матрица (Е – А)^-1 существует, то из (2.5) вытекает

х = (Е – А)^-1 у. (2.6)

Теорема 1 (первый критерий продуктивности).

Матрица А ≥ 0 продуктивна  только тогда, когда матрица (Е –  А)^-1 существует и неотрицательна.

Доказательство.

Если матрица (Е – А)^-1 существует и неотрицательна, то из (2.6) сразу же следует продуктивность матрицы А.

Обратно, пусть матрица  А продуктивна. Рассмотрим следующие  системы уравнений:

(Е – А)х = е₁, (Е – А)х = е₂, …, (Е – А)х = е_n ,

Где е₁, е₂, …, е_n – столбцы единичной матрицы. Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А имеет неотрицательное решение, т.е. существуют такие векторы (столбцы) с₁ ≥ 0, с₂ ≥ 0, …, с_n ≥ 0, что

(Е – А)с₁ = е₁, (Е – А)с₂ = е₂, …, (Е – А)с_n = е_n (2.7)

Обозначим через С матрицу, составленную из столбцов с₁ с ₂, …, с _n. Тогда вместо n равенств (2.7) можно написать одно:

(Е – А)С = Е.

Следовательно, матрица Е-А  имеет обратную С, причем С ≥ 0.

Теорема доказана.

Теорема 2 (второй критерий продуктивности).

Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда  и только тогда, когда её число  Фробениуса меньше единицы.

Доказательство.

Пусть неотрицательная матрица  А продуктивна. Тогда для любого неотрицательного вектора у существует решение х ≥ 0 уравнения (2.4) Пусть  у > 0, тогда, очевидно, х > 0. Умножив  равенство (2.4) слева на левый вектор Фробениуса р^Т_А и учитывая, что

р^Т_АА = λ_Ар^Т_А, (2.8)

получим

λ _А (р^Т_А х) + р^Т_А у = р^Т_А х,

или

(1 – λ_А)(р^Т_А х) = р^Т_А у.

Так как р^Т_А ≥ 0 и у ≥ 0, х ≥ 0, то р^Т_Ау > 0, р^Т_Ах > 0. Поэтому из последнего равенства вытекает, что λ_А < 1.

Обратно, пусть неотрицательная  матрица А имеет число Фробениуса λ_А 1. Покажем, что она продуктивна. Возьмем неотрицательный вектор у и покажем, что у системы (2.4) существует решение х ≥ 0.

Рассмотрим следующую  неотрицательную матрицу размера (n + 1)(n+ 1):     а₁₁ а₁₂ … а_1n у₁

а₂₁ а₂₂ … а_2n у₂

А = …………….

а_n1 а_n2 … а_nn у_n

0 0 … 0 1

Где а_ij – элементы матрицы А и у₁, …, у_n – координаты вектора у. В более компактной форме матрицу можно записать так:

А = А у

0 1

Умножая эту матрицу слева  на вектор р^Т = (0, …, 0,1), легко убедиться,

Следовательно, одним из собственных значений матрицы А  является вектор λ = 1.

Пусть вектор Х = (х₁ , …, х_n , х_n+1 ) = (х , х_n+1) является собственным вектором матрицы А, т.е. АХ = λХ. В силу определения матрицы А эторавносильно тому, что

А у х = λ х

0 1 х_n+1 х_n+1

или

Ах + у х_n+1 = λх,

х_n+1 = λ х_n+1. (2.9)

Если λ ≠ 1, то из второго соотношения системы (2.9) следует, что х_n+1 = 0, в силу чего первое уравнение имеет вид Ах = λх. Следовательно, λ – собственное значение матрицы А и, по нашему предположению ‌‌‌|λ| < 1. Таким образом, λ_А = 1 является положительным и максимальным по модулю собственным значением, следовательно является числом Фробениуса. По теореме Фробениуса-Перрона у матрицы А существует неотрицательный собственный вектор х_А = ( х_А , х_n+1), соответствующий λ_А =1. Очевидно, что х_n+1 ≠ 0, так как в противном случае из (2.9) следовало бы, что Ах = х. А это противоречит тому, что число Фробениуса λ_А < 1. Поэтому мы можем считать, что х_n+1 = 1. В силу того, что х_n+1 = 1, равенство (2.9) принимает вид

Ах_А + у = х_А.

Поскольку х_А = (х_А, х_n+1) ≥ 0, то х_А ≥ 0.

Следовательно, матрица А  продуктивна.

Следствие.

Если для неотрицательной  матрицы А и некоторыого положительного вектора у уравнение (2.4) имеет  неотрицательное решение х, то матрица  А продуктивна.

Доказательство.

Как было уже показано, из существования положительного решения  у уравнения (2.4) следует, что λ_А < 1. На основании теоремы Фробениуса матрица А продуктивна.

Теорема 3 (третий критерий продуктивности).

Неотрицательная матрица  А продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный  ряд

Е + А + А² + … (2.10)

Доказательство.

Пусть сходится ряд (2.10). Согласно лемме его сема равна (Е – А)^-1. При этом сумма указанного ряда будет неотрицательна, поскольку все слагаемые ряда неотрицательны. Итак, матрица (Е – А)^-1 существует и неотрицательна. Отсюда по теореме 1.3 следует продуктивность А.

Обратное утверждение (если А продуктивна, то ряд (2.10) сходится) доказывать не будем.

         Модель равновесных цен

Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева  – так называемую модель равновесных  цен. Пусть, как и прежде, А –  матрица прямых затрат, х = (х₁ , х₂, …, х_n)^Т – вектор валового выпуска. Обозначим через р = (р₁ , р₂ , …, р_n)^Т вектор цен, i координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный р₁ х₁. Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции, ей необходима продукция первой отрасли в объеме а₁₁, второй отрасли в объеме а₂₁, и т.д., n-й отрасли в объеме а_n1. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная а₁₁ р₁ + а₂₁ р₂ + … + а_n1 р_n. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х₁ первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную х₁(а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+ а_n1р_n). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V₁ (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).