Лекции по "Метрологии"

Лекция ____

 

Обработка результатов нескольких серии измерений

 

Если многократные измерения одной и той же величины производится в несколько этапов, разными людьми, в разное время, в различных условия, то получаем несколько серии измерений.

Серии называются однородными, если подчиняются одному и тому же закону распределения вероятности. В противном случае серии называются неоднородными.

При совместной обработке нескольких серии измерений проверка однородности является обязательной. При проверке однородности нескольких серии измерений сравниваются между собой средние арифметические и оценки дисперсии в каждой серии.

Если различие между средними арифметическими незначимо и различие между оценками дисперсии также незначимо, то такие серии обрабатываются вместе.

При проверке однородности двух серии измерений выполняются следующие операции:

1. определяется  среднее арифметическое в каждой  серии           и      ;

2. определяются  среднее квадратическое отклонение  каждой серии

и ;

3. проводится проверка нормальности  результата измерения в каждой  серии;

4. если обе серии подчиняются  нормальному закону распределения  вероятности, то определяется среднее  квадратическое отклонение обеих серии:

 

5. определяется различие средних  арифметических двух серии измерений:

;

6. выбирается доверительная вероятность  Р, с которой принимается решение;

7. определение  параметра t по таблицам функции Лапласа;

8. определение  ширины доверительного интервала: ;

9. если  , то различие между средними арифметическими считается незначимым, если же > , то различие между средними арифметическими считается значимым.

При небольшом числе измерений в каждой серии (n < 40…50), если их средние арифметические подчиняются ЗРВ Стьюдента, то их разность можно считать, что уже подчиняется нормальному ЗРВ.

После проверки значимости различия между средними арифметическими проверяется различие между оценками дисперсии.

При проверке значимости различия между оценками дисперсии выполняются следующие операции:

1. определение среднего арифметического в каждой серии;
2. определение среднего квадратического отклонения каждой серии;
3. проверка нормальности ЗРВ результата измерения каждой серии;
4. определение величины , равной отношению средних квадратических отклонений:

;

5. если < 1, то берут в качестве  выражение: 

При > 1, если это число случайное, то оно подчиняется закону распределения вероятности Р.А.Фишера. Поэтому выбрав значение интегральной функции распределения Фишера, равным вероятности Р, с которым принимается решение, можно проверить больше или меньше ее аргумента 0  вычисленное значение . Если < 0  ,  то различие оценок дисперсии в сериях можно считать незначимым.

Серии с незначимым различием оценок дисперсии называются равнорассеянными.

Если > 0  , то гипотеза о равнорассеянности серии отвергается.

Равнорассеянные серии с незначимым различием между средними арифметическими называются однородными.

Если в равнорассеянные серии входят экспериментальные данные, полученные в одних и тех же условиях, это говорит о сходимости серии измерений. Т.е. под сходимостью понимается качество измерений, отражающее близость друг к другу результатов измерений, полученных в одинаковых условиях. 

Если в равнорассеянные серии входят экспериментальные данные, полученные в разных условиях, это говорит о воспроизводимости серии измерений.

Значит, под воспроизводимостью понимается качество результатов измерений, характеризующее близость друг к другу результатов измерений, полученных в разных условиях, в разное время, разными людьми и средствами.

Экспериментальные данные, входящие в однородные серии рассматривают как единый массив.

При совместной обработке однородных серии среднее арифметическое можно  вычислять по следующей формуле:

,

где  N = n1 + n2  .

А среднее квадратическое отклонение

.

Обработка неравнорассеянных серии измерений

При обработке неравнорассеянных серии измерений с незначимым различием между средними арифметическими учитывается ценность информации, выполненных с особой точностью.

Более точными являются серии с малой  дисперсией.

Для учета важности серий измерений, выполненных с большой точностью, при определении средних арифметических двух серии измерений включают средние каждой серии с «весами». 

Вес каждой серии измерений определяется как величина обратно пропорциональная дисперсии.

;    ; ….

Следовательно, среднее арифметическое неравнорассеянных серии измерений определяется как:

.

Т.е. при обработке неравнорассеянных серии измерений определяется среднее арифметической взвешенное.

Стандартное отклонение неравнорассеянных серии равно:

,

где l – количество серии;  - среднее квадратическое отклонение j-той серии.

Порядок обработки экспериментальных данных, входящих в неравнорассеянные серии с незначимым различием средних арифметических состоит из следующих этапов:

1. получение l серии измерений;
2. определение среднего арифметического каждой серии измерений:

,

где - среднее арифметическое j-ой серии измерений;

        - число измерений в j-ой серии измерений;

         - i-ый результата в j-ой серии измерений.

3. Определение среднего квадратического отклонения каждой серии измерений:

                        ;

4. Определение стандартного отклонения:

                                 ;

5. определение среднего арифметического взвешенного серии измерений:

                              ;

6. если число измерений во всех сериях меньше 50, то параметр t после выбора доверительной вероятности определяют по таблицам неравенства Чебышева.  Если же

 

                

 

 то параметр t определяется по таблицам функции Лапласа.

7. определение доверительного интервала:

8. определение значения измеряемой величины:

  .

Обеспечение требуемой точности измерений

Многократное измерение одной и той же величины постоянного размера позволяет обеспечить требуемую точность. Поскольку ширина доверительного интервала зависит от количества экспериментальных данных, то есть

,

где , то, увеличивая массив экспериментальных данных, можно добиться наперед заданного значения:

.

Алгоритм обработки экспериментальных данных при обеспечении единства измерений представлен на рис. 1.

 

 

 

   Исключение ошибок       Увеличивается массив   

 

 

                Да                                                     Нет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1 – Обеспечение требуемой точности измерений