Лекции по "Метрологии"

Лекция

 

Обнаружение и исключение ошибок. Обработка результатов однократных измерений

 

Обнаружение и исключение ошибок

Ошибки при измерениях могут возникать в результате отвлечения внимания оператора, скачка напряжения в сети, сбоя аппаратуры, описок и т. д.

При однократном измерении ошибки можно обнаружить путем логического мышления. После их обнаружения измерения повторяют.

При многократных измерениях ошибки проявляются в том, что результат отдельного измерения заметно отличается от всех остальных. Если отличие результата от дельного измерения настолько большое, что очевидна ошибка, тогда этот результат выбрасывают как заведомо неверный.

После того как все влияющие факторы учтены и все поправки внесены в результата измерения, рассеяние результата измерения одной и той же величины постоянного размера является следствием множества причин, вклад каждого из которых незначителен по сравнению с суммарным действием всех остальных.

Центральная предельная терема в теории вероятности утверждает, что в этом случае результат измерения подчиняется нормальному закону распределения.

Центральная предельная теорема утверждает, что распределение суммы очень широкого класса независимых случайных величин ассимптотически стремится к нормальному.

Плотность распределения вероятности нормального закона распределения равна:

.      

Интегральная функция нормального закона распределения:

.   

Центральная предельная теорема утверждает, что массив экспериментальных данных, полученных при измерениях одной и той же величины постоянного значения, должен группироваться вокруг среднего значения.

Выпадение отдельного результата из этого массива позволяет предположить, что он ошибочный.

Вероятность того, что любое значение результата измерения, подчиняющегося нормальному закону распределения вероятности (ЗРВ), должно находиться в пределах от до :

,     

где - функция Лапласа.

Параметр t играет в метрологии важную роль. Он показывает, насколько с заданной вероятностью могут отличаться отдельные результаты измерения от своего среднего значения.

Интервал ;  называется доверительным интервалом, а вероятность Р, с которой принимается решение – доверительной вероятностью.

При Р=0,997 все значения результата многократного измерения, подчиняющегося нормальному закону распределения, группируются в пределах доверительного интервала .

Поэтому обнаружение и исключение ошибок при многократных измерениях проводят по правилу трех сигм.

Правило трех сигм. Если при многократном измерений одной и той же величины постоянного размера сомнительные значения результата измерения больше чем на 3 , то с вероятностью 0,997 оно является ошибочным и его следует отбросить.

Можно принимать решение и с меньшей вероятностью:

– с Р=0,5, тогда доверительный интервал равен ;

– с Р=0,68, тогда доверительный интервал равен ;

– с Р=0,95, тогда доверительный интервал равен ;

– с Р=0,99, тогда доверительный интервал равен ;

– с Р=0,997, тогда доверительный интервал равен .

Правило трех сигм применяется в том случае, если есть уверенность в том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения.

Обработка результатов однократных измерений

Однократным называется измерение проводимое один или более раз (не более 10). Подавляющее большинство измерений однократно. Простота, высокая производительность, низкая стоимость ставят однократное измерение вне конкуренции.

Результат однократного измерения описывается  уравнением:

,                                        

где – отсчет;

 – поправка.

Необходимым условием проведения однократного измерения является наличие априорной информации.

К априорной относятся:

1. информация о виде закона распределения вероятности показания и мере его рассеяния, которая извлекается из опыта предшествующих измерений;
2. информация о том, насколько значение измеряемой величины может отличаться от результата однократного измерения, которая может быть представлена классом точности прибора;
3. информация о значении аддитивной и мультипликативной поправки . Если значение поправки не известно, то оно учитывается ситуационной моделью, согласно которой значение поправки может быть любым с одинаковой вероятностью в пределах от   до .

Порядок действий при однократном измерений состоит из следующих этапов:

1. Анализ априорной информации, определение поправки .
2. Получение единственного значения отсчета по формуле уравнения измерений по шкале отношений:

,                          

где   – масса тары;

– слагаемое, учитывающее влияние множества случайных и неслучайных, аддитивных и мультипликативных факторов.

3. Перевод отсчета в единственное значение показания:

.                                  

4. Определение максимально возможного отклонения  результата однократного измерения от значения измеряемой величины ( » классу точности СИ).

5. Определение пределов, в которых находится значение измеряемой величины:

.                 

В ходе анализа априорной информации всесторонне исследуется объект измерения, уточняется модель объекта измерения, определяются влияющие факторы и меры, направленные на уменьшение их влияния, значения поправки. На этом этапе также осуществляется выбор методов измерения, выбор средств измерений на основе изучения его метрологических характеристик. Важным итогом этой предварительной  работы должна стать уверенность в том, что точность однократного измерения достаточна для решения поставленной задачи.

На основе анализа априорной информации осуществляется подготовка к выполнению измерения: установка и подготовка средств измерений к выполнению измерения, компенсация влияющих факторов, после чего выполняется основная измерительная процедура – получение одного значения отсчета.

Единственное значение отсчета дает единственное значение показания средства измерения, которое имеет ту же размерность, что и измеряемая величина. В это значение показания вносится поправка . Если значение поправки точно известно, то результат измерения будет представлен единственным значением:

.

Если значение поправки не известно, то при выбранной ситуационной модели, что он может быть любым в пределах  от   до , результат однократного измерения с одинаковой вероятностью может быть любым в пределах от до .

Проанализируем, как используется априорная информация.

Случай 1. Априорная информация состоит в том, что отсчет, следовательно, и показание подчиняются нормальному закону распределения вероятности со средним арифметическим отклонением  и что значение аддитивной поправки равно .

В этом случае результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением , но смещенному по отношению к закону распределения вероятности показания на значения поправки . Задавшись доверительной вероятностью Р, можно определить значение функции Лапласа:

,

где t является аргументом функции Лапласа.

По табличным значениям функции Лапласа можно определить ее аргумент t. Значит, задавшись доверительной вероятностью Р по табличным значениям функции Лапласа, можно определить, насколько результат однократного измерения может отличаться от среднего значения результата измерения , равного значению измеряемой величины .

Обозначив половину доверительного интервала через , найдем с заданной вероятностью, что результат измерения лежит в пределах от до , т. е.

.

Случай 2. На основании априорной информации известно, что отсчет, а следовательно, показание подчиняются равномерному закону распределения вероятности (рис. 1) с размахом , а также известно точное значение аддитивной поправки .

В этом случае результат измерения подчиняется тому же закону распределения вероятности, т.е. равномерному с тем же размахом, но смещенному по отношению к закону распределения вероятности показания на значение поправки . Значение измеряемой величины , равное среднему значению результата измерения , находится в пределах:

.

 

Рисунок 1

 

Случай 3. Неизвестно какому закону распределения подчиняется отсчет, следовательно, и  показание. Допустим, что среднее квадратическое отклонение равно . Известно точное значение аддитивной поправки .

В данном случае неизвестен закон распределения вероятности результата измерения, а известно лишь его среднее квадратическое отклонение .

Вероятность того, что при любом законе распределения вероятности результат однократного измерения окажется за пределами доверительного интервала равна:

.  (1)

Введем в рассмотрение функцию, представленную на рис.2:

                          (2)

 

Рисунок 2

 

Формулу (2) можно записать следующим образом:

                              (3)

Результат интегрирования не уменьшится, если функцию заменить квадратичной функцией:

, которая во всех  не меньше .

Тогда вероятность того, что окажется за пределами равна:

          (4)

Следовательно, вероятность того, что результат однократного измерения не отличается от среднего значения при любом законе распределения не больше, чем на половину доверительного интервала равна:

                                     (5)

Эта формула носит название неравенства П.Л.Чебышева. Она устанавливает нижнюю границу того, что ни при  каком законе распределения вероятности случайное значение результата измерения не окажется за пределами доверительного интервала. Задавшись доверительной вероятностью Р по табличным значениям неравенства Чебышева можно определить значение параметра t и определить  на сколько результат однократного измерения может отличаться от среднего значения измеряемой величины, равного значению измеряемой величины при любом законе распределения вероятности.

Значение параметра t можно определить решив неравенство (5) задавшись доверительной вероятностью Р и приравняв обе части.

Обозначив, как и ранее половину доверительного интервала через , можно записать:

.

Случай 4. Априорная информация: класс точности СИ таков, что значение измеряемой величины не может отличаться от результата многократного измерения больше чем ; точное значение аддитивной поправки равно .

В этом случае значение измеряемой величины будет равно:

.

Случай 5. Априорная информация: отсчет, а следовательно, показание подчиняются нормальному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением ; значение аддитивной поправки находится в пределах от до .

Здесь мы имеем случай, когда значение поправки неизвестно. Ситуационной моделью, учитывающей неопределенность значения поправки, является равномерный закон распределения вероятности поправки на интервале от  до . Следовательно, можно говорить о том, что показание подчиняется нормальному закону распределения вероятности, а поправка - равно-мерному закону распределения вероятности. Значит, закон распределения результата измерения представляет собой композицию законов распределения показания и поправки.

В этом случае в соответствии с первой рекомен-дацией INS-1 «Выражение неопределенности результата измерений» МКМВ рекомендовано считать, что среднее значение композиции, в которую входит ситуационная модель, не подчиняющаяся вероятно-статистическим закономерностям, равное значению измеряемой величины, не отличается от результата многократного измерения больше чем на , где , а коэффициент к, аналогичный коэффициенту t, устанавливается по согласованию: к=2…3.