Сборник задач по расчету погрешностей электрических измерений

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ

___________________________ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

___________________________ 

МОСКОВСКИЙ  ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ)

 _______________________________________________________________________ 
 

В.А. Новиков,  В.Ю.Кончаловский  
 
 
 
 
 
 

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО РАСЧЕТУ

ПОГРЕШНОСТЕЙ  ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ 
 
 
 
 

Учебное пособие 

по курсу

«Информационно-измерительная  техника и электроника»

для студентов, обучающихся по направлению «Электроэнергетика» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва                      Издательство МЭИ                          2006 
 
 

УДК

621.317

Н731 
 

Утверждено  учебным управлением  МЭИ в качестве учебного пособия  для студентов 

Подготовлено  на кафедре информационно-измерительной техники МЭИ(ТУ) 

Рецензенты:  профессор каф.ММ МЭИ(ТУ) А.Б. Фролов,

     профессор каф.ВМСС МЭИ(ТУ) И.И. Ладыгин,

                       доцент РГСУ Л.Л. Коленский  . 

Новиков В.А

Н731  Сборник задач по расчету погрешностей электрических измерений: учеб. пособие / В.А. Новиков, В.Ю. Кончаловский — М. : Издательство МЭИ, 2006. —  36 с. 

       ISBN 5-7046-1328-4 

     Рассматриваются задачи по расчету характеристик  погрешностей прямых и косвенных  измерений с однократными наблюдениями. Сборник включает четыре раздела  и предполагает двухступенчатую подготовку обучаемого. На первой ступени рекомендуются задачи первого и второго разделов, на второй — третьего и четвертого. Первый и второй разделы содержат сравнительно простые задачи, каждая из которых связана с решением той или иной части общей задачи по оцениванию погрешностей измерений. Последующие два раздела состоят из более сложных задач, приближенных к практике электрических измерений.  

     Каждый  раздел содержит примеры задач с  решениями  и задачи с ответами для самопроверки.

     Для студентов, изучающих методику метрологических  расчетов  в рамках общего курса  «Информационно-измерительная техника и электроника». 
 
 
 
 
 
 
 
 

ISBN 5-7046-1328-4                               ©   Московский энергетический институт (ТУ), 2006

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

      Результат измерения электрической (как и  любой физической) величины должен содержать информацию о точности полученного значения. Для этого используются те или иные характеристики погрешности измерения.

      Расчет  характеристик погрешности измерения, иначе называемый оцениванием погрешности, выполняется на основе имеющихся сведений об объекте измерения и используемых средствах измерений.

      В зависимости от характера проявления преобладающих составляющих погрешности  измерения, систематического или случайного, используют измерения соответственно с однократными или многократными наблюдениями. Выбранная методика измерений определяет и способ оценивания погрешностей.

      В данном сборнике рассматриваются задачи по расчету характеристик погрешностей измерений с однократными наблюдениями. В качестве таких характеристик, чаще всего, используются симметричные доверительные интервалы для заданных значений доверительной вероятности. 

      Предлагаемое  учебное пособие предназначено  для студентов, изучающих методику метрологических расчетов  в рамках общего курса «Информационно-измерительная техника и электроника». Поэтому, в силу ограниченности учебного времени, в методике расчетов допущены некоторые упрощения. При определении границ доверительных интервалов погрешностей для доверительных вероятностей 0,9, 0,95 и 0,99 используются усредненные значения коэффициента K_P, не зависящие от составляющих погрешности измерения [1]. Кроме того, упрощено правило округления вычисленной характеристики погрешности: независимо от найденного числового значения оно округляется до двух значащих цифр. 

 

1. ОСНОВЫ   МЕТРОЛОГИЧЕСКИХ    РАСЧЕТОВ

Примеры

 

      1.1. Имеется резистор  сопротивлением 5,1 МОм, через который протекает ток, равный 200 мкА. Максимальное значение мощности рассеяния P для резистора P_max = 250 мВт. Рассчитать значение P для данного тока  и сравнить с P_max, а также рассчитать с точностью до единиц микроампер максимально возможное значение тока I_max, соответствующее P_max.

      Решение:

P = I ²R = 0,204 Вт = 204 мВт < P_max;

                        I_max = = 221мкА. 

      1.2. Имеется конденсатор емкостью 100 пФ. В начальный момент опыта конденсатор разряжен, затем его в течение 20 мкс заряжают постоянным током, значение которого требуется определить. После этого измеряют напряжение на конденсаторе, которое оказывается равным 1 мВ. Определите выраженное в наноамперах значение тока.

      Решение:

      I = U C / t = 5 нА. 

      1.3. Верхняя граница рабочей полосы  частот электронно-лучевого осциллографа определяется спадом его амплитудно-частотной характеристики  (т.е. уменьшением чувствительности канала вертикального отклонения S_y при увеличении частоты входного напряжения относительно значения чувствительности на постоянном токе S_y,0) на 3дБ. Выразите соответствующее изменение чувствительности d_Sy в процентах.

      Решение:

      3 дБ = 20lg S_y,0 – 20lg S_y = 20lg(S_y,0/ S_y );

                       d_Sy = (S_y – S_y,0) 100% / S_y,0 = [ (S_y / S_y,0) – 1 ]100 %;

                       S_y / S_y,0 = 10 ^–0,15 =  0,707946;

                       d_Sy » –29 %. 

      1.4. Часто при вычислении относительной погрешности d пользуются приближенной формулой, при этом в знаменатель вместо истинного или действительного значения измеряемой величины подставляют измеренное значение. Полученное в результате такого расчета значение относительной погрешности d¢ отличается от d на «погрешность погрешности» d_погр. Выразите d_погр через d.

      Решение:

      d¢ = D / x = D / (x_и + D) = d / (1 + d);

                       d_погр = (d¢ – d) / d = –d / (1 + d);

                       d_погр » –d, так как обычно d << 1. 

      1.5. При измерении величины x возникает систематическая погрешность, относительное значение которой d остается постоянным во всем диапазоне измерений. Полагая, что значение d известно,  выведите формулу для расчета скорректированного (свободного от указанной погрешности) значения измеряемой величины x¢.

      Решение: 

      D = x – x¢= d x¢;  x¢ = x / (1 + d). 

      1.6. Измеренное значение сопротивления  R = 100,0 Ом. Предел допускаемой относительной погрешности измерения d_п = 1,0 %. Найдите интервал, в котором должно находиться R_и — истинное значение сопротивления.

      Решение: 

      D = R – R_и ;    R_и = R – D;    –D_п £ D £ D_п;   

                         R – D_п £ R_и £ R + D_п;

                         D_п  @  d_п R / 100 % = 1,0 Ом; 

                         99,0 Ом £ R_и £ 101,0 Ом. 

      1.7. Резистор, сопротивление которого требуется измерить, соединен последовательно  с  мерой сопротивления. Номинальное значение меры —  R₀ = 1 кОм. Образовавшаяся цепь подключена к источнику стабильного тока I. Вольтметром, входное сопротивление которого R_V = 100 кОм, поочередно измеряют падения  напряжения  на  обоих  резисторах.  Полученные значения —   соответственно  для  измеряемого  сопротивления  и  сопротивления  меры,  U = 3,5 В и U₀ = 0,5 В.  Искомое значение  вычисляют   по  формуле    R = R₀ U / U₀, в которой не учитывается конечное значение R_V, из-за чего возникает методическая погрешность d_м. Рассчитайте значение d_м.

      Решение:

      R = 7 кОм;

                        U = I R_и R_V / (R_и + R_V);  U₀ = I R₀ R_V / (R₀ + R_V);

                        R = R_и (R₀ + R_V) / (R_и + R_V);

                       R_и = R_V R / (R₀ + R_V – R);

                        d_м = (R – R_и) 100 % / R_и =  (R / R_и – 1) 100 % ;

                        d_м = (R₀ – R) 100 % / R_V = – 6,0 %. 

      1.8. Выразите абсолютную погрешность  взаимодействия для представленной ниже схемы через сопротивления резисторов R₁, R₂, R₃, R₄, показание вольтметра U и его входное сопротивление R_V.