Оптика

Эйнштейн выдвигает предположение, что свет сам по себе имеет корпускулярную природу, что имеет смысл смотреть на свет не как на поток волн, а как на поток частиц. Эйнштейн, вводя фотоны, совсем не отбрасывал волновую теорию света. Это видно уже из самой гипотезы о фотонах - энергия фотона пропорциональна частоте света. Можно сказать так: свет - ни волны, ни корпускулы в подлинном смысле этих слов, а нечто такое, что в опыте проявляется иногда как волны (интерференция, дифракция, поляризация), а иногда как поток корпускул, фотонов (черное излучение, фотоэффект и др.). И той и другой картиной - волновой и корпускулярной - приходится пользоваться смотря по обстоятельствам. Для описания одних явлений более подходит волновая точка зрения на свет, для описания других - фотонная. К настоящему времени построена единая непротиворечивая теория (квантовая теория поля или квантовая электродинамика). Она находится за пределами нашего курса, и мы ее (по причине сложности) не будем рассматривать, а удовлетворимся изложенной наглядной точкой зрения.

Основные положения квантовой механики.

 

Противоречия классической физики: особенности строения атома, линейчатые спектры атомов, дифракция электронов, дифракция нейтронов.@

Корпускулярно-волновой дуализм свойств, обнаруженный у электромагнитного излучения, вскоре был обнаружен и у микрочастиц (молекул, атомов, ядер атомов, электронов, протонов, нейтронов и др.). В начале ХХ века в ряде экспериментов с микрочастицами, были обнаружены явления, которые не могли быть объяснены классической механикой, созданной для макротел. 

Первая серия таких явлений связана с экспериментами по рассеиванию альфа-частиц при прохождении их через вещество. Альфа-частицы являются ядрами атомов гелия и имеют положительный электрический заряд, так как  состоят из двух протонов и двух нейтронов. Английский ученый Резерфорд, пропуская альфа-частицы с большой кинетической энергией через тонкие металлические пластинки, установил, что большая часть частиц отклоняются от первоначального направления на небольшие углы. Наряду с рассеиванием на малые углы, было обнаружено отклонение отдельных частиц и на большие углы, доходящие до 1800 (Рис.1). Такое рассеивание было обнаружено и при прохождении альфа-частиц через газы.

Рис.1. Схема опытов Резерфорда.

 

При анализе этих экспериментов было установлено, что отклонения происходят вследствие кулоновского отталкивания от положительного заряда, сосредоточенного в очень малом объеме внутри атома. До этого уже было известно (по экспериментам с ионизацией газов), что в составе атомов вещества также имеются элементарные частицы – электроны (с малой  массой и отрицательным  зарядом). Для объяснения результатов рассеивания Резерфорд в 1911г. предложил планетарную модель атома. Согласно этой модели атом построен по типу Солнечной системы - в центре атома в очень малой области (10-14 м) находится положительно заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома, а вокруг ядра под действием сил Кулоновского притяжения двигаются по замкнутым орбитам электроны (примерный радиус орбит -10-10м). При этом суммарный заряд электронов равен по величине заряду ядра, поэтому в целом атом нейтрален.  При прохождении альфа-частиц через такой атом, только малая часть частиц будет сталкиваться с ядром и рассеиваться назад, основная их часть будет проходить на больших расстояниях от ядра и, вследствие малости Кулоновских сил, будут  отклоняться на небольшие углы.

Таким образом, планетарная модель атома полностью объяснила эксперименты по рассеиванию. Однако, согласно классической электродинамике электрон, двигающийся по орбите вокруг ядра должен испускать электромагнитные волны непрерывного спектра частот. При этом он теряет свою энергию и через малый интервал времени (10-8 с) должен упасть на ядро, то есть такой атом нестабилен и имеет очень малое время жизни. Но, как известно, атомы отличаются большим временем жизни. Кроме того, из экспериментов по изучению частотного состава излучения (спектров) отдельных атомов в газах, известно, что атомы в невозбужденном  (нормальном) состоянии не испускают электромагнитные волны, они излучают их только после передачи им энергии (при возбуждении), при зтом  спектр частот имеет дискретный характер. Например, у атома водорода  было обнаружено несколько серий частот излучения, наиболее известные описываются соотношениями:

                                          (1.1)

серия Лаймана для ультрафиолетового излучения,

                                         (1.2)

серия Бальмераа для видимого излучения

                                       (1.3)

серия Пашена для инфракрасного излучения, здесь R-постоянная Ридберга, n – номер частоты (номер линии спектра излучения) в серии.  Эксперименты по изучению спектра поглощения электромагнитного излучения для атома водорода показали, что спектр поглощения тоже имеет дискретный характер, описываемый соотношениями (1.1-1.3). Подобная дискретность спектров была обнаружена у всех атомов. Таким образом, планетарная модель атома требовала серьезных доработок.

Для объяснения спектров излучения и поглощения атома водорода  в 1913г. датский ученый Бор добавил к этой модели три ограничения  (постулата), которые не соответствовали законам классической механики.

1. Атом может находиться в различных состояниях, в этих состояниях электрон двигается по определенным стационарным орбитам без излучения и без потери энергии. Эти орбиты называют Боровскими орбитами.

2. При движении по Боровским орбитам электрон имеет строго определенный (дискретный) момент импульса L (L равен произведению массы электрона, его скорости и радиуса  орбиты). Его значение задается формулой квантования Бора

              ,

где момент импульса  связывается с постоянной Планка h и квантовым числом n.

Квантовое число n является номером состояния атома и номером Боровской орбиты электрона. В этих состояниях радиусы орбит электрона и его скорости различны, атом также имеет различные энергии. Обычно атом находится в основном или невозбужденном состоянии n=1 с наименьшим значением энергии, состояния с n = 2, 3, 4 имеют большие энергии и называются возбужденными.

3. При передаче атому энергии он переходит в какое-либо возбужденное состояние с n = 2, 3, 4… (если передача энергии производится с помощью электромагнитного излучения, то происходит поглощение атомом порции излучения), в возбужденном состоянии атом находится недолго (»10-8с), он испускает порцию (квант)  электромагнитного излучения и переходит в какое-либо состояние с меньшим квантовым числом. При всех переходах, в соответствии с законом сохранения, энергия кванта e точно равна разности энергий атома  e = En–Em.

При использовании этих постулатов, расчет полной энергии атома Е, которая складывается из кинетической энергии вращения электрона и потенциальной энергии электростатического взаимодействия электрона с ядром приводит к соотношению  En = -hR/n2. Отсюда, используя  формулу немецкого ученого Планка для кванта электромагнитного излучения e  = hn и закон сохранения энергии в виде e = En-Em , можно получить n = (En-Em)/h = R(1/n2-1/n2), что полностью соответствует результатам  экспериментов (1.1-1.3). Таким образом, данная модель позволила рассчитывать и объяснять спектры атома водорода, за что в 1922 г. Бор был удостоен Нобелевской премии по физике. Изложенная выше теория была обобщена (Теория Бора-Зоммерфельда, 1915г.) и для описания "водородоподобных" атомов, содержащих один электрон, движущийся в поле ядра с положительным зарядом (таких как однократно ионизированный гелий, двукратно ионизированный литий, трехкратно ионизированный бериллий  и т.д.), но для более сложных атомов она оказалась непригодной.

Вторая серия необычных явлений  связана  с прохождением элементарных частиц через неоднородные среды, при котором наблюдаются явления дифракции и интерференции. Например, при рассеянии электронов от поверхности монокристалла никеля получается отчетливая дифракционная картина (опыт Дэвиссона и Джермера). Дифракция пучка электронов при прохождении через тонкие слои металлов и кристаллов была обнаружена Томсоном (Рис.2). Позднее было обнаружено, что аналогичное явление дифракции наблюдается также для протонов,  нейтронов и даже для молекул водорода при их попадании на кристалл.

Рис.2. Схема эксперимента Томпсона по дифракции электронов.

 

Обнаружена была и интерференция элементарных частиц. Например, если направить пучок электронов на две щели, то на экране из фотоимульсии после проявления можно наблюдать интерференционную картину  в виде параллельных полос, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга (Рис.3). Интересно, что при малых интенсивностях электронных пучков, наблюдается постепенное формирование интерференционной картины (Рис.3.а – время пропускания мало, Рис.3.б – время пропускания большое), что доказывает корпускулярность электронов. Аналогичные результаты были получены и при интерференции других частиц.

Рис.3. Схема экспериментов по интерференции электронов.

 

Таким образом, элементарные частицы в одних условиях проявляют свойства волн (явления дифракции, интерференции), в других же – свойства отдельных частиц-корпускул (движение электронов в электронно-лучевой трубке, взаимодействие электрона и фотона при фотоэффекте и  эффекте Комптона), что не может быть объяснено в рамках классической механики.

 

Гипотеза Луи-де-Бройля о корпускулярно-волновом дуализме свойств микрочастиц.

Как известно, эксперименты с электромагнитными волнами показали, что в некоторых явлениях они проявляют свойства частиц (фотоэффект, эффект Комптона, тепловое излучение и др). Эти явления удалось описать, если предположить согласно теории Планка, что электромагнитное излучение является потоком частиц-фотонов или квантов со следующими значениями энергии и импульса

                                                              (1.4)

где  n- частота, l- длина волны.

По аналогии, Луи де Бройль в 1923 году выдвинул гипотезу, что для объяснения волновых свойств микрочастиц им необходимо сопоставить особые волны, которые были названы волнами де Бройля. То есть, если микрочастице приписать некоторый волновой процесс с длиной волны

                                                                                                      (1.5)

(где р, m, υ – импульс, масса  и скорость частицы), то по формулам  дифракции и интерференции для  электромагнитных волн можно рассчитать эти явления и для пучков микрочастиц. Например, по известной формуле оптики для дифракционной решетки dSin(ak) = kl можно рассчитать положения максимумов и при дифракции микрочастиц. Эта гипотеза нашла полное подтверждение в вышеупомянутых экспериментах.

Эксперименты также показали, что распространение волн де Бройля не связано с распространением электромагнитных волн, а также каких-либо других волн, известных в классической физике. Наблюдаемое постепенное формирование интерференционной картины показывает, что волны де Бройля связаны со статистической природой движения микрочастиц и имеют вероятностное истолкование.

Физика атома.

 

Электрон в атоме водорода. Энергетические уровни. Квантовые числа и их физический смысл.

Квантово-механическая теория атома, построенная на уравнении Шредингера, гораздо совершеннее полу-классичекой теории атома Бора, построенной на ряде постулатов. Она сохраняет некоторые аспекты старой теории – например, электроны могут находиться в атоме только в состояниях с определенной дискретной энергией; при переходе электрона из одного состояния в другое испускается (или поглощается) фотон. Но квантовая механика не просто дополняет теорию Бора, она рисует совершенно иную картину строения атома. Согласно квантовой механике, не существует определенных круговых орбит у электронов, как в теории Бора. В силу волновой природы электрон «размазан» в пространстве, т.е. может с определенной вероятностью находится в любой точке пространства.

При рассмотрении атома водорода, движение его единственного электрона можно рассматривать как движение в электрическом поле ядра. По аналогии с задачей о движении частицы в потенциальной яме простой формы, здесь необходимо найти решения стационарного уравнения Шредингера в трехмерном пространстве с конкретным видом потенциальной энергии, описывающем его электростатическое взаимодействие с ядром

  .                                                                 (2.1)

При решении уравнения Шредингера в данном случае используют специальные функции математической физики - сферические функции и сферическую систему координат, центр которой совпадает с центром ядра атома. Если записать уравнение Шредингера в сферических координатах (r, a, q), то его можно строго аналитически решить, это решение представляют в виде произведения трех функций

                                                                                                        (2.2)           

Важной особенностью решения является его зависимость от трех чисел n, l, m, называемых квантовыми числами. В квантовой механике каждому решению соответствует определенное состояние атома со своим распределением электрона вокруг ядра, которое задается соответствующей волновой функцией, зависящей от трех квантовых чисел: n, l, m.

Квантовое число n называется главным квантовым числом, от него зависит значение полной энергии атома водорода, при этом атом может иметь не любые значения энергии Е, а лишь некоторые Еn. Квантовое число n может принимать следующий ряд значений n = 1,  2, 3, … ¥. Значения энергии Еn, которые может иметь атом, называют разрешенными значениями энергии атома, а их совокупность Е1, Е2, … Е¥  представляет собой энергетический спектр атома.  Разрешенные значения энергии обычно изображаются в виде горизонтальных линий, называемых энергетическими уровнями. Для атома водорода квантовая механика предсказывает точно такие же энергетические уровни, что и теория Бора, т.е.

                             .                                            (2.3)

Состояние атома с наименьшей энергией называется основным (n = 1), все остальные состояния – возбужденными (см. рис.8).

                                                          

 

                            Рис.8. Схема энергетических уровней атома водорода.

 

Орбитальное квантовое число l связано с моментом импульса орбитального движения электрона вокруг ядра. Так как электрон имеет электрический заряд, то его движение вокруг ядра приводит к появлению магнитного момента, аналогичного магнитному моменту кругового витка с током. Орбитальное квантовое число l может принимать целочисленные значения от 0 до n -1, оно квантует величину момента импульса L и магнитного момента m согласно соотношениям