Оптика

4. Если часть волновой поверхности  закрыть непрозрачным экраном, то вторичные волны излучаются только открытыми участками поверхности.

3. 2. Метод зон Френеля.

Для упрощения расчета результирующей амплитуды светового колебания в точке наблюдения Френель предложил метод деления фронта волны на зоны. Пусть S– точечный источник света, P – произвольная точка наблюдения, в которой необходимо определить амплитуду Е световых колебаний. Фронт волны в определенный момент времени есть сфера S’ (рис. 3.3). Зоны Френеля строятся таким образом, что расстояния от краев двух соседних зон до точки наблюдения отличаются на половину длины световой волны λ/2. Обозначим расстояние от точки P до волнового фронта OP = L, тогда границей центральной или первой зоны будут точки поверхности S’, находящиеся на расстоянии L+λ/2 от точки P. Эти точки расположены на поверхности по окружности. Точки сферы S’, находящиеся на расстоянии L+2λ/2 от P, образуют границу второй кольцевой зоны, на расстоянии L+3λ/2 – границу третьей и т.д.

Обозначим Е1 амплитуду волны, пришедшей в точку P от первой зоны, Е2 – от второй и т.д. Колебания, приходящие в точку В от двух соседних зон, противоположны по фазе, так как их разность хода равна λ/2, они будут ослаблять друг друга. Напомним, что при прохождении волной пути в половину длины волны ее фаза меняется на противоположную. Поэтому при суммировании амплитуды нечетных зон будем брать со знаком «+», а четных – со знаком «-». В итоге результирующая амплитуда, т.е. амплитуда колебаний от всех зон в точке P будет равна

Е = Е1 – Е2 + Е3 – Е4 +…+ Еn.

С увеличением номера зоны амплитуда колебаний монотонно убывает, так как увеличивается расстояние от зоны до точки P и угол α между нормалью к поверхности зоны и направлением на точку наблюдения, поэтому по абсолютной величине Е1 > Е2 > Е3 > Е4 >…> Еn.

Из-за того, что число зон n очень велико (например, для λ= 500 нм и L = 10 см n = 80000), амплитуды двух соседних зон мало отличаются друг от друга по величине и с большой степенью точности можно предположить, что

. Если представить амплитуду любой нечетной зоны, например Е1 как , то выражение для результирующей амплитуды запишется в виде

Согласно вышеприведенным рассуждениям все выражения в скобках обращаются в нуль и Е ≈ Е1/2. Результирующая амплитуда светового колебания от всей волновой поверхности в точке наблюдения равна половине амплитуды, приходящей от одной центральной зоны. Если на пути волны поставить непрозрачный экран, оставляющий открытой только центральную зону Френеля, то амплитуда светового колебания в точке P будет равняться Е1, т.е. возрастет в два раза. Если экран открывает две зоны, их амплитуды будут «гасить» друг друга и в точке P будет наблюдаться минимум интенсивности. Если открыты три зоны, третья зона останется не скомпенсированной и в точке P будет наблюдаться максимум, и т.д. Таким образом, если на волновой поверхности открыто нечетное число зон Френеля, в точке наблюдения будет светло, если четное – темно. Если между волновой поверхностью и точкой P поставить специальную пластинку, которая закрывала бы все четные (или нечетные) зоны, то интенсивность в точке P резко возрастает. Такая пластинка называется зонной и действует подобно собирающей линзе.

Различают дифракцию Френеля – это дифракция в сходящихся или расходящихся лучах и дифракцию Фраунгофера – в параллельных лучах. Разберем эти случаи более подробно.

3. 3. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске.

1. Пусть источник света S0 испускает сферическую волну. Поставим на пути волны непрозрачный экран Э1 с круглым отверстием АВ таким образом, чтобы перпендикуляр, опущенный из S0 на экран, проходил через центр отверстия (рис. 3.4 а). Для наблюдения дифракционной картины параллельно Э1 на расстоянии L от него поместим экран Э2. Используя метод зон Френеля, разобьем открытую часть волнового фронта АВ на зоны и определим результирующую амплитуду светового вектора в точке Р. Число открытых зон Френеля m зависит от размеров отверстия АВ, расстояния L и длины волны света λ. Если m – нечетное число, суммарная амплитуда в точке Р будет равна Е1/2 + Еm/2, что соответствует интерференционному максимуму На рис. 3.4 б показано, как меняется интенсивность света на экране Э2 в зависимости от расстояния r от центра экрана P. Следовательно, наличие преграды с круглым отверстием усиливает освещенность в точке Р, т.к. без экрана амплитуда в данной точке была бы равна Е1/2. Если m – четное число, результирующая амплитуда в точке Р:

.

Поскольку амплитуды двух соседних зон Френеля мало отличаются друг от друга, можно предположить, что и тогда результирующая амплитуда запишется в виде: и в точке Р будет наблюдаться интерференционный минимум (рис. 3.4 в). Чтобы найти результирующую амплитуду в другой точке экрана, например, Р’, необходимо разбить фронт волны на зоны с центром в точке О’ (рис. 3.4. а). В этом случае часть первоначальных зон будет закрыта экраном Э1. Амплитуда в точке Р’ будет определяться не только числом зон, укладывающихся на отверстии, но и степенью частичного перекрывания зон. Исходя из соображений симметрии, дифракционная картина должна состоять из чередующихся светлых и темных колец, что и было подтверждено экспериментально. По мере удаления от центра экрана интенсивность максимумов убывает. Если S0 – источник белого света, светлые кольца имеют радужную окраску.

2. Пусть между источником света  S0 и экраном Э размещен непрозрачный диск АВ, параллельный экрану (рис. 3.5). Пунктирная прямая S0Р перпендикулярна диску и проходит через его центр. Вновь воспользуемся методом зон Френеля. Пусть диск закрывает m зон, тогда амплитуда первой действующей зоны будет Еm+1. С нее и следует начинать построение зон. В результате суммирования амплитуд всех открытых зон мы получаем, что в точке Р амплитуда Е = Еm+1/2. Таким образом, при дифракции на круглом непрозрачном диске в центре экрана получается светлое пятно (т.к. интенсивность здесь отлична от нуля), окруженное чередующимися концентрическими кольцами минимумов и максимумов.

3. 4. Дифракция Фраунгофера на прямоугольной щели.

Дифракцию в параллельных лучах или дифракцию плоских волн впервые исследовал немецкий физик И. Фраунгофер в 1821-1822гг. Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально на непрозрачный экран Э1 с длинной узкой щелью АВ шириной а (рис. 3.6). Согласно принципу Гюйгенса – Френеля все точки щели можно рассматривать как вторичные источники световых волн, колеблющихся в одной фазе (так как плоскость щели есть часть волновой поверхности падающей пло ской волны), и распространяющихся во всех направлениях. Из всего многообразия направлений выберем одно произвольное и будем рассматривать лучи, идущие под углом φ к падающим лучам. Параллельно экрану Э1 поместим линзу Л, а в ее фокальной плоскости – экран Э2, на котором лучи соберутся в некоторой точке Р. Опустим перпендикуляр АС из точки А на крайний луч. АС представляет собой волновую поверхность для лучей, идущих под углом φ и, согласно определению, все точки данной поверхности колеблются в одной фазе. Поэтому отрезок ВС является оптической разностью хода между крайними лучами пучка, ВС = Δ = аsinφ. Поделим участок ВС на отрезки, равные λ/2 и из точек деления проведем плоскости, параллельные АС до пересечения с АВ (эти плоскости перпендикулярны рисунку и поэтому на нем изображены как прямые линии). Эти плоскости поделят щель АВ на равные полоски, которые являются зонами Френеля, т.к. световые волны, идущие от соседних полосок, имеют разность хода λ/2 (см. рис. 3.6). Если число зон будет четным, они попарно погасят друг друга, и в точке Р будет наблюдаться минимум освещенности. Четное число отрезков на участке ВС соответствует условию аsinφ = ±2m λ/2, где m = 1,2,3…Это условие называется условием дифракционного минимума. Из него находятся углы, под которыми наблюдаются дифракционные минимумы на экране. Знак “минус” соответствует лучам, идущим от щели под углом –φ.

Если число зон Френеля нечетно, на экране в точке Р получается дифракционный максимум. Условие дифракционного максимума имеет вид

аsinφ = ±(2m + 1)λ/2, где m = 1, 2, 3…

Это условие определяет углы, соответствующие максимумам освещенности на экране Э2. Число m называется порядком дифракционного максимума или минимума.

В центральной точке экрана О соберутся лучи, идущие в направлении φ = 0, следовательно, без разности хода. В этом направлении щель действует как одна зона Френеля, создавая в точке О самый интенсивный максимум нулевого порядка. Это будет светлая полоса, повторяющая форму щели. Дифракционная картина от щели симметрична относительно точки О и интенсивности максимумов более высоких порядков уменьшаются в пропорции 1 : 0,047 : 0,017 : 0,008…

Дифракционная картина на экране зависит от отношения длины волны падающего монохроматического излучения λ к ширине щели а. Из условия дифракционного минимума , следовательно расстояния от центра картины до минимумов возрастают с уменьшением а. Центральная светлая полоса при этом расширяется. При а«λ вся поверхность щели будет небольшой частью лишь одной зоны Френеля. Такую щель можно считать линейным источником света, колебания от которого будут распространяться в одной фазе и дифракционной картины не наблюдается. При а»λ в центре экрана получается широкая равномерно освещенная полоса, обусловленная беспрепятственным прямолинейным распространением света от источника, и на ее краях наблюдаются очень узкие дифракционные полосы.

При освещении щели белым светом дифракционные максимумы, соответствующие различным длинам волн пространственно разделятся. Чем меньше длина волны, тем ближе к центру экрана будет располагаться ее максимум. Это следует из условия максимума при дифракции от одной щели. В центре экрана объединятся лучи всех длин волн, так как здесь угол φ = 0 и разность хода Δ = 0, поэтому центральный максимум будет белым. Максимумы первого, второго и высших порядков разложатся в спектры, обращенные фиолетовым краем к центру экрана. Подобные спектры расплывчаты, поэтому четкое разделение по длинам волн при дифракции от одной щели получить не удается. Для получения более качественной дифракционной картины свет от источника необходимо пропустить через несколько параллельных щелей.

3. 5. Дифракция Фраунгофера на  дифракционной решетке.

Совокупность параллельных щелей одинаковой ширины а, разделенных непрозрачными промежутками шириной b, лежащих в одной плоскости, называется одномерной дифракционной решеткой. В зависимости от практического назначения дифракционные решетки различаются по виду, материалу и способу изготовления, а также по количеству щелей N (от 0,25 до 6000/мм). Для наблюдения дифракции в видимом свете широко распространены дифракционные решетки, представляющие собой прозрачные стеклянные пластинки, на которые алмазным резцом наносятся тонкие параллельные штрихи, являющиеся непрозрачными промежутками шириной b. Сумма d = а + b называется периодом или постоянной дифракционной решетки. Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической волны, падающей нормально на поверхность решетки периодом d (рис. 3.7). Параллельно решетке расположим собирающую линзу L, а в ее фокадьной плоскости экран Э. Количество щелей в решетке равно N. Любая из щелей при закрытых всех остальных даст на экране спектр, описанный выше. На рис. 3.7 этот спектр обозначен пунктирной линией. Фазы колебаний в каждой точке любой из N щелей совпадают, так как эти точки принадлежат одной волновой поверхности падающей на решетку плоской волны. Следовательно, все щели являются когерентными источниками света и между ними возникает многолучевая интерференция. Вид спектра в данном случае усложняется (на рис. 3.7 он представлен сплошной линией). Полученное нами ранее условие дифракционного минимума аsinφ = ±2m λ/2 будет справедливо и в данном случае. В направлениях углов φ, удовлетворяющих этому условию, ни одна из щелей не будет давать свет, поэтому условие аsinφ = ±2m λ/2 является условием главных минимумов для дифракционной решетки. На рис. 3.7 главные минимумы обозначены точками Р1, Р1’ и т.д. В центре экрана точке О соберутся лучи от всех щелей, идущие под углом  
φ = 0, т.е. без разности хода. В результате сложения их амплитуд суммарная амплитуда в точке О будет в N раз больше, а интенсивность в N2 раз больше, чем в случае одной щели.

Рассмотрим любую пару соседних щелей, изображенных на рис. 3.7. Разность хода от соответствующих точек обеих щелей (например, крайних) Δ = ВС = dsinφ и разность фаз . Из условия интерференционного максимума если dsinφ = ±mλ и δ = ±2πm, то колебания от соседних щелей взаимно усилят друг друга. Следовательно, в направлениях, определяемых углами любая пара щелей даст максимум. Поэтому условие dsinφ = ±mλ, где m = 0, 1, 2…есть условие главных максимумов дифракционной решетки. Число m определяет порядок главного максимума. Количество главных максимумов в наблюдаемой дифракционной картине будет зависеть от величин d и λ. Так как модуль sinφ не может быть больше единицы, то максимальное число m ≤ d/λ. Положение главных максимумов не зависит от числа щелей N. Многолучевая интерференция между более далеко расположенными друг от друга щелями создает на экране между главными максимумами дополнительные (N-2) максимума, разделенные (N-1) минимумом. Расположение дополнительных минимумов удовлетворяет условию , где k принимает все возможные целочисленные значения кроме 0, N, 2N и т. д., так как при них данное условие совпадает с условием главных максимумов. Дополнительные максимумы очень малы по интенсивности и при больших N становятся практически неразличимыми на фоне ярких главных максимумов.

Если на решетку падает белый свет, то максимумы 1-го и более высоких порядков разложатся в спектры. Максимум для фиолетовых лучей будет располагаться ближе к центру экрана. Центральные нулевые максимумы для всех длин волн будут совпадать и поэтому в центре экрана будет наблюдаться белая полоса. Благодаря способности разлагать в спектр падающее излучение, дифракционная решетка широко используется для исследования спектрального состава излучения, т.е. для определения длин волн и интенсивностей всех его монохроматических компонентов. По расстояниям между дифракционными линиями при заданной длине волны можно определить период решетки, а по величине интенсивностей максимумов различных порядков изучить структуру рассеивающих центров (в обычной решетке это непрозрачные промежутки шириной b).

Для визуального наблюдения и фотографирования спектров применяются дифракционные спектрографы с дифракционной решеткой. Они позволяют проводить химический анализ и изучать строение материалов.

3. 6. Дисперсия и разрешающая сила спектрального прибора.

Основными характеристиками любого спектрального прибора, в том числе и дифракционной решетки, являются его дисперсия и разрешающая сила. От их величин зависит способность прибора пространственно разделить лучи разных длин волн. Линейная дисперсия D определяется как отношение , где dl - расстояние между спектральными линиями, а dλ – разность длин волн этих линий. Определение справедливо также для разности частот линий dν. Угловая дисперсия , где dφ – разность углов между лучами, отличающимися на dλ или dν соответственно. На рис. 3.9 показаны два луча, идущие под углами φ и φ + dφ, и имеющие длины волн λ и λ + dλ, соответственно.