Автор работы: Пользователь скрыл имя, 12 Декабря 2010 в 21:17, лабораторная работа
«Математический маятник»:Изучение свободных колебаний маятника, с хорошей точностью удовлетворяющего модели математического маятника; оценка точности реализации этой модели в лабораторной установке; определение ускорения свободного падения; оценка результатов измерений и расчет погрешностей.
«Измерение линейных размеров тел»:
Целью настоящей работы является освоение некото¬рых наиболее распространенных инструментов и прибо¬ров для измерения линейных размеров тел. В частности микрометра, штангенциркуля.
«Освоение методов проведения измерений и расчета их погрешностей»:
Ознакомление с методами оценки результатов измерений и расчета погрешностей.
«Наклонный маятник»:
Изучение силы трения качения методом наклонного маятника.
|
Изучение силы трения качения методом наклонного маятника.
Шар, закрепленный на длинной тонкой нити, может кататься по наклонной плоскости, при этом нить закручивается. Если шар отвести из положения равновесия (ось OO') на угол a и затем отпустить. то он будет колебаться, катаясь около положения равновесия. (рис. 2, а). Из-за трения колебания будут постепенно затухать.
Можно надеяться, что по величине затухания колебаний можно определить силу трения и коэффициент трения. Качественно оценить величину затухания можно с помощью несложного опыта. Плоскость установим под углом a — 450 к горизонту. Отведем шар на угол a — 6° и подсчитаем число колебаний, при которых амплитуда угла будет равна 4°. Число колебаний примерно будет от 10 до 15. Таким образом, за 10 колебаний амплитуда уменьшилась на 2°, а за одно колебание — на 0,2° = 3,5*10 -2 рад.
Типичное значение коэффициента трения скольжения m ~ 10-1, а коэффициент трения качения, как мы убедимся на опыте, m ~10-3. Трудно надеяться, что такое малое значение можно достаточно точно измерить с помощью такого опыта, как наш. Но по порядку величины m можно определить.
Выведем формулу, которая связывает уменьшение амплитуды колебаний с m.
Пусть А — точка поворота (рис. 2, а). В этом положении нить маятника составляет угол a с осью OO'. Если бы трения не было, то через половину периода маятник оказался бы в точке А', а угол отклонения был бы равен a. Но из-за трения шар немного не докатится до точки N и остановится в точке В. Это и будет точка поворота. В этой точке угол нити с осью OO' будет - За половину периода угол поворота маятника уменьшился на . Точка В расположена несколько ниже, чем точка А, и поэтому потенциальная энергия маятника в точке В меньше, чем в точке А. Следовательно, маятник потерял высоту при перемещении из А в В.
Найдем связь между потерей угла и потерей высоты . Для этого спроецируем точки А и В на ось ОО' (рис. 2. б). Это будут точки А' и В' соответственно. Очевидно, что длина отрезка
где l — длина нити, равная радиусу дуги АВ окружности. При этом угол этой дуги равен 2 - , длина дуги
Так как ось ОО' наклонена под углом b к горизонту, то проекция отрезка на вертикальную ось и есть потеря высоты :
Рис. 2
При этом изменение потенциальной энергии маятника между точками А и В
где m - масса шара, g — ускорение свободного падения.
Вычислим теперь работу силы трения. Так как сила трения
где m — коэффициент трения, — сила нормального давления шара на плоскость, то работа силы трения на пути между точками А и В равна
Так как , то из уравнении (1), (2) и (4) получаем
Выражение (5) можно существенно упростить, если учесть, что угол очень мал (как мы уже отмечали, он порядка 10-2). Так как , то , и .
Поэтому формулу (5) можно записать так:
откуда
Из формулы (6) видно, что потеря угла за половину периода определяется величиной m и углом a. Однако можно найти такие условия, при которых от угла a не зависит.
Вспомним, что m мало, порядка 10-3. Если рассматривать достаточно большие амплитуды a так, чтобы
то слагаемые m и ctgb в знаменателе формулы (6) можно пренебречь и тогда
С другой стороны, пусть углы a будут малыми, т. е. a<<1 и тогда за половину колебания потеря угла
Заметим, что формула (8) справедлива при условии
Из-за того, что m ~ 10-2, углы ÷10-4 рад удовлетворяют неравенствам (9).
Если бы m было порядка 10-2 -10-1, как в случае трения скольжения, то тогда бы неравенства (9) не выполнялись. Понятно, что за одно полное колебание потеря угла будет , а за n колебаний потеря угла составляет
откуда
Формула (10) дает удобный способ измерения m: необходимо измерить уменьшение угла за 10—15 колебаний, а затем по формуле (10) вычислить m. Мы знаем, что за 10 колебаний угол уменьшается примерно на 2° (при b =45°). Тогда n=10 и
Выясним физический смысл коэффициента трения качения. Рассмотрим сначала более общую задачу. Шар массой m и моментом инерции - относительно оси, проходящей через центр масс, движется по гладкой поверхности (рис. 3). К центру масс С приложена сила направленная вдоль оси X и являющаяся функцией координаты х. Со стороны поверхности на тело действует сила трения . Пусть момент силы трения относительно оси. проходящей через центр С шара, равен . Уравнения движения шара в этом случае имеют вид
где
Рис. 3.
Допустим, что:
1) тело катится без проскальзывания. Тогда
где R — радиус катка;
2) тело и плоскость являются абсолютно жесткими, т. е. тело не деформируется, а касается плоскости в одной точке О (точечный контакт), тогда между моментом силы трения н силой трения имеется связь
С учетом (13) и (14) из (11) и (12) получаем, например, выражение для силы трения
Выражение (15) не содержит коэффициента трения m который определяется физическими свойствами соприкасающихся поверхностей шара и плоскости, такими, как шероховатость, или вид материала, из которого изготовлен шар, или плоскость. Этот результат — прямое следствие принятой идеализации, отражаемой связями (13) и (14). Кроме того, легко показать, что в принятой модели сила трения не совершает работы. Действительно, умножим уравнение (11) на , а уравнение (12) — на w. Учитывая, что
и складывая (II) и (12), получаем
где - потенциальная энергия шара в поле силы F(x). Обратите внимание, что
Если принять во внимание (13) и (14), то правая часть равенства (16) обращается в нуль. В левой части (16) стоит производная, но времени от полной энергии E системы, которая состоит из кинетической энергии поступательного движения катка и кинетической энергии вращательного движения и потенциальной энергии W (х). Это значит, что полная энергия системы постоянная величина, т. е. сила трения не совершает работы. Очевидно, что и этот несколько странный результат также следствие принятой идеализации. Это говорит о том, что принятая идеализация не отвечает физической реальности. В самом деле, в процессе движения шар взаимодействует с плоскостью, поэтому его механическая энергия должна убывать, а это значит, что связи (13) и (I4) могут быть верны лишь настолько, насколько можно пренебречь диссипацией энергии.
Совершенно ясно, что в данном случае нельзя принять такую идеализацию, поскольку наша цель — по изменению анергии маятника определить коэффициент трения.
Поступим следующим образом. Будем считать справедливым предположение об абсолютной жесткости шара и поверхности, а значит, и справедливой связи (14). Однако откажемся от предположения, что шар движется без проскальзывания. Мы допустим (а потом и убедимся), что имеет место слабое проскальзывание.
Пусть скорость точек касания (на рис. 3 точка О) тара (скорость проскальзывания)
Будем считать, что
Тогда, подставляя в уравнение (16) и учитывая условия (14) н (19), приходим к уравнению
из которого видно, что скорость диссипации энергии равна мощности силы трения. Результат вполне естественный, тело скользит по поверхности со скоростью u, на него действует сила трения, совершающая работу, вследствие чего полная энергия системы уменьшается.
Выполняя в (20) дифференцирование и учитывая (17), получаем уравнение движения центра масс шара: