Лабораторная работа по "Физики"

 

    1. Цель лабораторной  работы.

    Изучение  динамики тела, скользящего по наклонной  плоскости, и опытное определение коэффициентов трения покоя и скольжения.                                   

    2. Схема установки. 
 

    

    3. Теория метода.

    Трение  покоя.

    В работе изучается  движение однородного  бруска, имеющего форму  параллелепипеда, по наклонной плоскости (рис.1).Рассмотрим все силы действующие на данную систему.По второму закону Ньютона запишем:

    Mg + F_тр + N = Ma,

    где a – вектор ускорения точки,компоненты которого есть

    d²x/dt²≡a_x        ;      d²y/dt²

    Тогда в проекциях на оси координат  полу -  чим:

    -Mg∙cosα + N = M∙a_y             (1)

    Mg∙sinα – F_тр = M∙a_x            (2)

    Так как при любых перемещениях тела мы будем считать, что y=const, то уравнение (1) примет вид:

    N = Mg∙cosα                                                                         (3)

    Рассмотрим ситуацию, когда при постепенном увеличении угла α брусок остаётся в покое.При этом сила трения будет меняться по формуле (2), где следует положить α_x = 0; максимальное значение этой силы                      

    F_тр.max =Mg∙sinα₀ ,                                      (4)

    где а_о - предельное значение угла, при котором брусок еще удерживается на плоскости.Опыт показывает, что максимальное значение силы трения всегда пропорционально силе реакции опоры, то есть

    F_тр.max = k₀∙N                                                                        (5)

    Здесь коэффициент пропорциональности k₀ называется коэффициентом трения покоя.Тогда из фор - мул (3) – (5) получим:                                             

    k₀ = tgα₀                                                                             (6)

    Это отношение позволяет вычислить  коэффициент трения покоя по измеренному  значению α₀  .В ра –боте эти измерения выполняются следующим образом.Согласно формуле (6),

                                                                                     k₀ = l/L ,

    где – длина подвижного упора на рис.1, при которой брусок, первоначально  находившийся в покое, начина – ет движение вниз по наклонной плоскости (расстояние L является фиксированным).Проделав такой опыт несколько раз, получим отличные друг от друга значения  l₁, l₂, . . . , l_n.Вычислим среднее арифме – тическое                                                              

                                                                                    <l> = 1/n ∑ l_i  ,    

    стандартное отклонение среднего (среднеквадратичная ошибка):   

                                                                                         

                                                                               δ =√∑(<l> – l_i)²/n(n – 1)  ,

     и полные ошибки проведённых измерений

                                                            Δl = √(t_α,n∙δ)² + (t_α,n∙Δx/3)²  ,   ΔL = t_α,x∙Δx/3

    Здесь α - доверительная вероятность; t_α,n ,t_α,x- коэффициенты Стьюдента; Δx - системная ошибка из - мерительной линейки, равная половине её шкалы.Погрешность в измерении коэффициента трения покоя можно определить по формуле        

       

     Δk₀ = √(δk₀/δl∙Δl)² + (δk₀/δL∙ΔL)² ,                               (7a)

    Продифференцируем данное уравнение и после несложных преобразований получим:

    

    k₀ = <k₀>√(Δl/<l>)² + (ΔL/L)² ,                                                      (7б)

    

    где обозначено <k₀>≡<l>/L .В окончательном виде результат запишется так:                                                                                                                

    k₀ = <k₀> ±Δk₀          с вероятностью α.                                                  (8)

     Трение скольжения                                               

    Обратимся теперь к ситуации, когда брусок скользит вниз по наклонной плоскости (рис.1). Относи - тельно величины силы трения скольжения опыт показывает, что                                                    

    F_тр = k∙N,                                                                           (9)      

    где k - коэффициент трения скольжения.Соотношения (5) и (9) носят название законов сухого трения. Продолжая обсуждение опыта, из формул (2), (3) и (9) получим:

                                                                           a_x = g∙sinα - kg∙cosα  .

    Это означает, что движение бруска будет  равноускоренным, т.е.             

    ax = 2S/t²  ,                                                                        (10)                                                                                                                               где t – время за которое тело прошло путь S.Тогда из последних двух формул получим:

    k = tgα – 2S/gt²∙cosα .                                                              (11)

    Другой  вариант таких измерений показан на рис.2.Здесь брусок, соединённый с грузом массы m, двига –ется вверх по наклонной плоскости.Выведем уравнение движения геометрического центра бруска:

    Mg + F_тр + N + T = Ma ,

    где  T  - сила натяжения нити.Учитывая, что   a_y = 0, в проекциях на оси координат получим:

    -Mgcos + N = 0 ,                                                                    (12) 

    

    -Mgsin – F_тр + T = Ma ,                                                             (13)                                                                                где a≡a_x .Пусть массы нити и блока незначительны, тогда    T₁ = T.Следовательно, в проекции на вертикальное направление уравнение движения груза будет следующим:                             

                                                                                                        mg – T = ma . 

    Выразим с помощью формул (9), (12) и (13) ускорение с  которым будет  двигаться брусок: 

      a = (m – M∙sinα – kM∙cosα)/(m + M)g  (14)   

    Очевидно, что a = const значит, применима формула (10). Тогда из формулы (14) получим: 

    k = (1 – a/g – M/m(sinα  + a/g))/M∙cosα/m (15)

                                                                                                           

    На  графике результаты вычислений коэффициентов  трения должны ложиться на прямую.Угол меж – ду этой прямой и горизонтальной осью координат вычисляется по формуле:

                                                                     k = tgβ  ,  т.е. β = arctg k                                                              (16)

    где коэффициент  k вычисляется по формуле:

                                                         k = (n∙∑x_iy_i –∑ x_i∙∑y_i)/(n∙∑(x_i)² – (∑x_i)²                                                                   (17)

    где   x = M∙cosα/m , а  y = 1 – a/g – M/m(sinα + a/g)