1. Цель работы.

    Изучение  свободных колебаний маятника, с  хорошей точностью удовлетворяющего модели математического маятника; оценка точности реализации этой модели в лабораторной установке; определение ускорения свободного падения; оценка результатов измерений и расчет погрешностей. 

    2. Схемам установки. 

    

                                        Рис. 1

    3. Теория метода. 

    Период  малых колебаний физического  маятника равен

    

               (1)

где I_o— момент инерции маятника относительно оси качании ОО, m — масса маятника, а — расстояние от оси качаний маятника до его центра масс С, g—ускорение свободного падения.

    В данной работе проводится экспериментальная  проверка соотношения (1) в случае, когда  маятник можно приближенно считать  математическим, т. е. когда масса  маятника сосредоточена в области, размеры которой малы по сравнению с а.

     Исследуемый в лабораторной установке маятник схематически изображен на рисунке. Он представляет собой стальной шарик радиусом r на бифилярном подвесе: тонкая нить пропущена через центр шарика, концы нити закреплены на стойке. Длина подвеса может регулироваться в пределах от нескольких сантиметров до 1 м. Период колебаний с высокой (до 10^-3 с) точностью измеряется с помощью электронного секундомера.

    Момент  инерции маятника складывается. Из момента инерции шарика и момента  инерции нити подвеса. Пренебрегая  моментом инерции нити, запишем момент инерции маятника относительно оси ОО в виде:

    

    (2)

    Соотношение (2) следует из теоремы Гюйгенса—Штейнера, если учесть, что момент инерции  однородного шара радиусом r и массой т относительно оси, проходящей через его центр, равен:                                      

    

    Рассмотрим  случай, когда радиус шарика мал  но срапненшо с длиной подвеса: . Тогда в (2) можно пренебречь слагаемым , малым по сравнению с ma², и положить

    

                             (3)

    В этом приближении I_o определяется, очевидно, с небольшой систематической погрешностью

    

            (4)

которую в условиях опыта легко оценить. С учетом (3) период колебаний маятника можно записать в виде

    

         (5)

    Он, как и должно быть, совпадает с  периодом колебаний математического маятника, длина подвеса которого а. Из (5) находим следующее выражение для ускорения свободного падения:

    

             (6)

    Измерения.

    Соотношение (6) позволяет опытным путем определить ускорение свободного падения. Для этого, очевидно, необходимо измерить период колебаний маятника Т и длину подвеса а, затем рассчитать g no формуле (6).

    Однако, прежде чем перейти к определению  g, необходимо выяснить, применимо ли вообще соотношение (6) для лабораторной установки.

    Дело  в том, что выражение (1) для периода  колебаний справедливо для идеализированной модели физического маятника. Следовательно, и соотношение (6) также справедливо только в рамках этой модели. При выводе соотношения (1) были сделаны следующие предположения:

    1) маятник совершает колебания малой амплитуды, и поэтому период колебаний не зависит от амплитуды (изохронность колебаний);

    2) затуханием колебаний можно пренебречь.

    Непосредственным  измерением легко проверить, что  периоды колебаний маятника при малой (порядка 3—5°) и большой (30—45°) амплитудах заметно отличаются. Так как расчетная формула (6) применима только для малых амплитуд, то необходимо определить, в каком диапазоне амплитуд период колебаний остается постоянным с достаточно высокой точностью (например, с точностью до 0.5"о). Это легко сделать, измеряя период колебаний маятника для различных значений амплитуды в пределах от 2—3° до 10—15°.

    Обсудим теперь, как можно оценить влияние  затухания на период колебаний маятника. Отклонив маятник из положения равновесия, легко проверить, что колебания его постепенно затухают. Количественную оценку величины поправки к периоду можно получить, если учесть, что основной причиной затухания колебаний маятника является вязкое трение о воздух.

    В этом случае действующая на шарик  сила трения пропорциональна скорости его движения:

    

    Период  колебаний маятника несколько увеличивается, а частота колебаний уменьшается по сравнению с 'частотой маятника без трения. При этом частота колебаний

    

              (7)

а их период

    

               (8)

    где

    Коэффициент затухания выражается через число  колебаний N, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,78 3 раза:

    

(9)

    [см.]] (3.14)]. Из соотношений (7), (8) и (9) находим

    

         (10)

    

             (11)

    Таким образом,

    

                      (12)

    Видно, что уже при N 10 поправка (12) к периоду колебании

    

меньше 0,1% и ею можно пренебречь.

Задание.

    1. Определите диапазон изохронности колебаний. Для этого измерьте период колебании маятника для 8—10 значений амплитуды в пределах от 0 до 30°. Результаты занесите в табл. 1. Выясните, в каком диапазоне амплитуд колебания можно считать изохронными с точностью до 0,1; 0,5; 1%.

    2. Определите по формуле (12) влияние затухания на период колебаний. Для этого найдите число N колебаний, за которое амплитуда колебаний маятника уменьшается примерно в три раза.

    3. Вычислите наименьшую длину подвеса  маятника  , при которой с точностью до 0,5% можно считать момент инерции маятника равным I₀ = та². Для этого в соотношении (4) примите 0,005 и вычислите .

    4. Проверьте, подтверждается ли на опыте линейная зависимость

    

между квадратом периода колебании  Т² и длиной а подвеса [см. (6)].

    Для этого измерьте период колебаний  маятника для четырех-пяти длин подвеса в пределах от 25 см до 1 м.

    При измерениях амплитуда  колебаний должна быть малой, т. е. находиться в найденном выше диапазоне изохронности. Результаты измерений занесите в табл. 2.

    По  результатам измерений постройте  график зависимости Т² от а в осях координат Х = a, Y = Т².

    5. Определите ускорение свободного падения g. Для этого измерьте период колебаний Т маятника при наибольшем значении длины подвеса , чтобы уменьшить относительную погрешность . Вычислите g с помощью формулы (6) при найденных значениях Т и а.

    Оцените   погрешность  и запишите полученный результат в виде

    

    4. Таблицы с результатами  измерений и обработка  результатов этих  измерений. 

    1.                              Таблица №1.  

 

    2.

     N=34.

      

    3.

              .    
 

     - наименьшая длинна подвеса маятника, при которой можно считать момент инерции маятника равным

    4.

    Таблица №2.

 

    Обработка результатов измерений этой таблицы представлена на графике 1.

    Погрешность измерений высоты – 0,005 (м).

    Погрешность измерения периода  – 0,0005 (с).  

    5.   

    По  формуле  рассчитываю ускорение свободного падения:

    

    

    

    

    

    

     

      

    

     - относительная погрешность  g. 

      
 
 
 
 
 

    5. Вывод.

    Входе работы я изучил свободное колебание маятника, с хорошей точностью, удовлетворяющей модели математического маятника. Определил ускорение свободного падения, которое почти соответствует истинному значению ускорения свободного падения. Оценил результат измерений и рассчитал погрешности этих измерений.