Электрические цепи постоянного тока

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

В символической  форме эти уравнения будут  записаны в следующем виде: I₁ + I₂ -I₃ = 0;

R₁I₁ – jωL₂I₂ = E₂^';

 
 

     Определим комплексы действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись методом контурных токов

     В соответствии положительными направлениями контурных токов (I₁₁ I₂₂) составляем два уравнения в соответствии со вторым законом Кирхгофа. 

       

     При этом для левого и правого замкнутых контуров составим обобщенную систему:

     (R1 ⁺ j ωL₂) I₁₁ -j ωL₂1₂₂ = Е₂'

     -j ωL₂ I₁₁+ (jωL₂+ j ωL₃ – j/ jC₃) l₂₂ = - E'₂ ⁺ E'₃  

     Используя исходные донные найдем:

 
 
 
 

     -E₂'+E₃'= -300,011 – j 398,128 + 300,011 - j 398,128 = -j 796,256 B,

     R₁ + j ωL₂ = 60 + j ∙2 ∙3,14 ∙300 ∙32 -10^-3 = 60 + j 60,3186 Ом,

     j ωL₂ = j ∙2 ∙3,14 ∙300 ∙32 ∙10^-3= j60,3186 Ом,

 
 
 
 

     Подставляя найденные значения, получаем систему уравнений

     (60 + j 60,3186) I₁₁ - j60,3186 I₂₂ = 300,011 + j 398,128;

     -j 60,3186 I₁₁ + j 139,8417 I₂₂ = - j 796,256.

     Записываем искомые комплексные токи ветвей через контурные тока

     I₁ = I₁₁ ;  I₂ = I₂₂ – I₁₁;   I₃ = I₂₂

     Вычислим контурные токи I₁₁, I₂₂

 
 

     = 223,4616 + j 377,2506 

• j 60,3186 I₁₁ + j 139,8417 ∙ [ (1 + j 0.9947)I₁₁ – 6.6004 + j 4.9738] = 223.4616 + j377,2506;

(139,1031 + j 79,5231) I₁₁ = 695,541 + j126,7851; 

 
 

I²² = (1 - j 0,995) ∙(4,1612-j 1,4676) - 6,60014 ₊ j4,9738 = -3,8991 -j 0,633 A.

     Тогда искомые комплексные токи ветвей:

I₁ = 4,1612 - j 1.4676 А;

I₂ = - 3,8991 - j 0,633 - (4,1612 -j 1,4676) = - 8,0603 + j 0,8346 А,

I₃ =-3,8991-j 0,633 А.

     Определим комплексы действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись методом узловых потенциалов.

     

     Комплексные сопротивления ветвей цепи:

     Z₁ = R₁ = 60 ОМ;

     Z₂ =jωL₂ = j ∙2∙3,14 ∙600∙16^-10 = j60,3186 Ом;

 
 

     Комплексные проводимости ветвей цепи:

 
 
 
 
 
 

     Комплексные токи в ветвях цепи в соответствии с уравнениями 
электрического равновесия, составленными по второму закону Кирхгофа 
для замкнутых контуров цепи:

        R₁ I₁ + U12 = 0;

jωL₂ 1₂ +U₁₂ =-Е'₂;

 

     Откуда

 
 
 

                       ∙ U₁₂ = - 6,6004 + j 4,9738 + j 0,0166 ∙ U₁₂; 

 

                       = - 5,0064 – j3,7726 –  j 0,0126 ∙ U₁₂ 

Комплексное напряжение U₁₂, действующее между узлами 1 и 2 цепи, находим с помощью уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для узла 1 цепи:

I₁ + I₁ -  I₃ =0

отсюда подставляя значения комплексных токов получим

- Y₁ U₁₂ - Y₂ Е₂' - Y₂ U₁₂ - Y₃ Е₃'- Y₃ U₁₂ =0;

- Y₁ Е₂' - Y₃ Е₃' - U₁₂ (Y₁ + Y₂ + Y_з) = 0;

 

     Подставляя  числовые значения имеем

U₁₂ = [- j 0,0166 ∙(300,011 + j 398,128) - (- j0,0126)∙ (300,011 -j 398,128) ] /10,0167+

+ (-j 0,0166)+ (-j 0,0126)]=-249,6699 + j 88,0573 В.

     Тогда искомые комплексные токи ветвей:

I₁ = - 0,0167 ∙(- 249,6699 + j 88,0573) = 4,1612 -j 1А676 А,

I₂ =- 6,6004 + j4,9738 + j 0,0166 ∙ (- 249,6699 + j 88,0573) = - 8,0603 + j 0,8346 А;

I₃ = - 5,0064 -j 3,7726 -j 0,0126 ∙ (- 249,6699 + j 88,0573) = -3,8991 - j 0,633 А.

     Составим  баланс мощностей

Р₁ = Re [-I₂ Е₂' + I₃ Е₃'];    Р₂= I₁² R₁;

где I₂ и I₃ - сопряженные комплексные токи_;

I₁ - действующее значение модуль тока,

Re [- I₂ Е₂' + I₃ Е₃' ] - действительная часть комплексного числа -I₂Е₂' + I₃Е₃'.

I₂ = - 8,0603 -у 0,8346 А, I₃ = - 3,8991 + j 0,633 А,

I₁ = √ 4,1612² + 1,4676² = 4,4124 A

     Тогда

Р₁= Re [ (- 8,0603 -j 0,8346) ∙(300,011 + j 398,128) + (- 3,8991 + j 0,633) ∙ (300,011 - j 398,128) ]= = 1168,17 Вт

P₂ = 4,4124² ∙ 60 = 1168,17 Вт.

     Найдем  комплексный ток I методом эквивалентного генератора

     Порядок расчета:

     Находим напряжение на зажимах разомкнутой  ветви U_{ab xx}

     Определяем  входное сопротивление Z_bx  всей схемы по отношениям к зажимам разомкнутой ветви а и b при закороченных источниках ЭДС.

Подсчитаем ток  по формуле:

     Условно разрываем ветвь с R₁ и определяем U_{ab хх} по второму закону Кирхгофа для условно-замкнутого контура.

     Токи  в этой схеме будем обозначать со значком хх имея в виду, что  токи разные:

     U_{ab xx} – jωL₂ I_2xx = E'₂

     U_{ab xx} = E'₂ + jωL₂ I_2xx

     Найдем  неизвестный комплексный ток I_2хх любым известным методом расчета цепей постоянного тока, например, методом контурных токов. Для удобства еще роз перерисуем схему, чтобы ясно был виден независимый контур.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Запишем уравнение по методу контурных токов: