Электрические цепи постоянного тока

     Электрические цепи постоянного  тока

     ЗАДАЧА  №1

      Дано: Е₂ = 6 В; Е₃= 12,5 В; R₁ = 2,5 Ом; R₂ = 5 Ом; R₃ = 6 Ом; R'₄ = 2 Ом; R''₄ = 1,5 Ом; R₅= 4 Ом; R''₆ = 7,5 Ом; J₂=0,3А.

     

       
 
 
 
 
 

           Рис. 1

     Для электрической схемы выполнить следующее:

     1. Упростить схему, заменив последовательно  и параллельно соединительные  резисторы четвертой и шестой  ветвей эквивалентными. Дальнейший  расчет вести для упрощенной  схемы.

     2. Составить на основании законов  Кирхгофа систему уравнений для  расчета токов во всех ветвях схемы.

     3. Определить токи во всех ветвях  схемы методом контурных токов.

     4.Определить  токи во всех ветвях схемы  методом узловых потенциалов.

     5. Результаты расчетов токов, проведенного  двумя методами, свести в таблицу  и сравнить между собой.

     6. Составить баланс мощностей в  исходной схеме (схеме с источником  тока), вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок (сопротивлений).

     7. Определить  методом эквивалентного  генератора ток I₁

     8. Начертить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС.

     Решение:

1. Заменим последовательно соединенные резисторы четвертой ветви эквивалентным:

     R₄ = R'₄ + R''₄ = 2 + 1,5 = 3,5 Ом

     Заменим параллельно соединительные резисторы  шестой ветви эквивалентным:

     R'_{6 =} R''₆ = 7,5 Ом

     Заменим источник тока J₂ эквивалентным источником ЭДС Е:

     Е = R₂J₂ = 5 ∙ 0,3 = 1,5 В

     При этом электрическая цепь заменяется эквивалентной цепью без ветви  с источником тока J₂ и добавляется ЭДС Е в ветвь с резистором R₂ и ЭДС Е₂.

     В итоге получим упрощенную схему для дальнейших расчетов. 
 

     

     

     

     

       
 

      2. Токи  в линейной электрической цепи  могут быть определены на основе  уравнений, составленных по законам  Кирхгофа. Согласно первому закону  Кирхгофа, алгебраическая сумма  токов в узле равна нулю. 

     

     

     

     

     

       
 

     Схема содержит шесть ветвей, следовательно, в этой цепи шесть неизвестных  токов. Для расчета должно быть составлено шесть уравнений, из них три по первому закону Кирхгофа, так как  цепь содержит четыре узла, и три  по второму, так как схема содержит три независимых контура. Перед расчетом в ветвях схемы произвольно выбирают  положительные направления токов. Положительные направления ЭДС совпадают с истинными их направлениями и указываются стрелками внутри изображений источников.

     По  первому закону Кирхгофа составляем уравнения для узлов а, b, с.

для узла «а»  I₄ – I₁ – I₂ = 0;

для узла «b» I₂ – I₅ – I₆ = 0;

для узла «с» I₅ – I₃ – I₄ = 0.

     Составим  систему уравнений по второму  закону Кирхгофа.

     В качестве певого контура выбираем контур, содержащий сопротивления R₂, R_4, R₅

R₂I₂ + R₄I₄ + R₅I₅ = E₂ + E

     Уравнение для второго контура, содержащего  сопротивления  R₁, R_3, R₄

R₃I₃ – R₁I₁ - R₄I₄ = - E₃.  

     Уравнение для третьего контура содержащего  сопротивления  R₃, R_5, R₆

R₆I₆ – R₃I₃ – R₅I₅ = E₃.  

Система уравнений для шести неизвестных токов:

I₄ – I₁ – I₂ = 0;

I₂ – I₅ – I₆ = 0;

I₅ – I₃ – I₄ = 0.

R₂I₂ + R₄I₄ + R₅I₅ = E₂ + E

R₃I₃ – R₁I₁ - R₄I₄ = - E₃.

R₆I₆ – R₃I₃ – R₅I₅ = E₃.  

     Методом подстановки, переходим от шести  уравнений к трем.

Выразим токи I_1, I₃, I₆ через токи I_2, I₄, I₅

I₁ = I₄ - I₂ ; I₆ = I₂ – I₅ ; I₃ = I₅ – I₄ .

     Получим систему из трех уравнений с тремя  известными:

R₂I₂ + R₄I₄ + R₅I₅ = E₂ + E

R₃(I₅ – I₄) - R₁(I₄ – I₂) - R₄ I₄ = - E₃

R₆(I₂ – I₅) – R₃(I₅ – I₄) – R₅ I₅ = E₃

     Преобразуем раскрыв скобки:

R₂I₂ + R₄I₄ + R₅I₅ = E₂ + E

R₁I₂ – (R₁ + R₃ +R₄) I₄ + R₃ I₅ = - E₃

R₆I₂ + R₃ I₄ – (R₃ + R₅ +R₆) I₅ = E₃

Получаем :

5I₂ + 3,5I₄ + 4I₅ = 6+1,5

2,5I₂ – (2,5+ 6 +3,5) I₄ + 6 I₅ = - 12,5

7,5I₂ + 6I₄ – (6 + 4 +7,5) I₅ = 12,5

     3. Токи в линейной электрической  цепи могут быть определены  методом контурных токов. Число  уравнений для расчета этой  цепи равно трем, т.е. числу  независимых контуров.

      Для расчета заданной цепи методом  контурных токов выбираем три  независимых контура и предлагаем в каждом из них свой собственный ток (I_11, I₂₂, I₃₃), обтекающий контур. 

     

     

     

     

       
 

Составим  обобщенную систему по методу контурных  токов:

R₁₁I₁₁ + R₁₂I₂₂ + R₁₃I₃₃ = E₁₁

R₂₁I₁₁ + R₂₂I₂₂ + R₂₃I₃₃ = E₂₂

R₃₁I₁₁ + R₃₂I₂₂ + R₃₃I₃₃ = E₃₃, где

Е_nn – сумма ЭДС, действующих в контуре n

R_nn – сопротивление ветви, общей для двух контуров n и m.

E₁₁ = Е + Е₂ = 5+2,5 = 7,5 В;

E₂₂ = - Е₂ = -12,5 В;

E₃₃ = Е₃ = 12,5 В;

R₁₁ = R₂ + R₄ + R₅ = 5+3,5 + 4 = 12,5 Ом;

R₂₂ = R₁ + R₃ + R₄ = 2,5 + 6 +3,5 = 12 Ом;

R₃₃ = R₃ + R₅ + R₆ = 6 +4 + 7,5 = 17,5 Ом;

R₁₂ = R₂₁ = - R₄ = -3,5 Ом;

R₂₃ = R₃₂ = -R₃ = -6 Ом;

R₁₃ = R₃₁ = -R₅ =-4 Ом.

Подставляем известные значения:

12,5I₁₁ - 3,5I₂₂ - 4I₃₃ = 7,5

-3,5I₁₁ + 12I₃₃ - 6 I₃₃ = - 12,5

-4I₁₁ - 6I₂₂ + 17,5 I₃₃ = 12,5

Вычисляем контурные токи: