Статистическая обработка экспериментальных данных

 

 

Таблица 9

Центральные эмпирические моменты выборок

Параметры	Выборка
	1	2	3
m2	41,49	1,97	58,61
m3	-2,47	0,55	548,68
m4	3356,54	9,06	14631,85

 

 

 

Таблица 10

Параметры статистических распределений  выборок

Параметры	Выборка
	1	2	3
	12,06	4,04	9,20
	6,44	1,40	7,66
	-0,01	0,20	1,22
	-1,05	-0,66	1,26
	0,53	0,35	0,83

 

 

3.3. Установление законов распределения  выборочных совокупностей

Для установления законов  выборочных совокупностей необходимо:

1) сопоставить вид  плотности эмпирического и теоретического  распределений;

2) сравнить коэффициенты  асимметрии, эксцессы и коэффициенты  вариации  статистического и теоретического распределений; 

3) сформулировать нулевую  гипотезу;

4) найти критическую  точку; 

5) вычислить наблюдаемое  значение критерия Пирсона; 

6) определить закон распределения выборочной совокупности.

3.3.1. Сопоставление  вида плотности эмпирического и теоретического распределений

 

Сопоставление вида плотности эмпирического и теоретического распределений представлено на рис. 7, 8, 9.

 

  

Рис. 7. Сопоставление плотности распределений:

      а - гистограмма относительной частоты (выборка 1)

                                         б - равномерное распределение

 

 

     

 

Рис. 8. Сопоставление плотности  распределения:

    а - гистограмма относительных  частот (выборка 2)

     б - нормальное распределение

 

 

 

Рис. 9. Сопоставление плотности распределений:

    а - гистограмма относительной частоты (выборка 3)

   б - показательное распределение

 

3.3.2. Формулировка нулевой гипотезы

 

Сравнительный анализ относительных  частот исследуемых выборочных совокупностей  с плотностями нормального, равномерного и показательного распределений позволяет выдвинуть нулевые гипотезы Н₀:

- выборочная совокупность 1 имеет равномерное распределение с параметрами и .

- выборочная совокупность 2 имеет нормальное распределение с параметром и; ;

- выборочная совокупность 3 имеет показательное распределение с параметрами

3.3.3. Сравнение коэффициентов асимметрии, эксцессы и коэффициентов вариации статистических и теоретических распределений

 

Результаты сравнения  коэффициентов асимметрии, эксцессов  и коэффициентов вариации выборочных совокупностей не противоречат выдвинутым гипотезам:

- коэффициент асимметрии , эксцесс и коэффициент вариации выборочной совокупности 1 сравнимы с соответствующими параметрами равномерного распределения ( ).

- коэффициент асимметрии и эксцесс выборочной совокупности 2 сравнимы с соответствующими параметрами нормального распределения ( );

- коэффициент вариации выборочной совокупности 3 сравним с соответствующим параметром показательного распределения ( );

3.3.4. Проверка гипотезы о равномерном распределении выборки 1

 

Для того чтобы при  уровне значимости α проверить гипотезу о  равномерном распределении выборочной совокупности 1, надо:

1. Оценить параметры a и b – концов интервала, в котором наблюдались возможные значения случайной величины Х, по формулам   и [6].

2. Найти плотность  вероятности предполагаемого равномерного распределения по формуле

3. Определить теоретические  частоты по формулам:

 

4. Найти наблюдаемое  значение критерия Пирсона  по формуле .

5. Найти критическую  точку  по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы r. Критическую точку находят по таблице критических точек распределения χ².

6. Принять или не  принять гипотезу о равномерном  распределении выборочной совокупности 1.

7. Нарисовать на одних осях графики плотности равномерного распределения и гистограммы относительных частот.

Вычисления  для выборки 1 представлены в таблице 15.

 

 

 

Таблица 15

Вычисление наблюдаемого значения критерия для выборки 1

xi-1		xi		ni		f(x)
1,5	0,10		0,15		0,23		0,34		0,51
4,5	0,12		0,5		2		11		49
7,5	0,12		0,90		6,75		50,63		379,69
10,5	0,15		1,58		16,54		173,64		1823,26
13,5	0,16		2,16		29,16		393,66		5314,41
16,5	0,14		2,31		38,12		628,90		10376,81
19,5	0,10		2,0		38		741		14459
22,5	0,11		2,48		55,69		1252,97		28191,80
Σ									60594,7

 

Уровень значимости α для проверки гипотезы о равномерном распределении выборочной совокупности 1 выбирается равным 0,05, а число степеней свободы r определяется по формуле .

Таблица 16

Проверка гипотезы о равномерном  распределении выборки 1

Нулевая гипотеза Н0: выборочная совокупность 1 имеет равномерное распределение с параметрами и .

Число степеней свободы:

Уровень значимости α = 0,05

Критическая точка

Наблюдаемое значение критерия Пирсона

Критическая область  :

Область принятия гипотезы :

Условие принятия Н0 :

Условие непринятия Н0 :

Результат проверки гипотезы: гипотезу принять.

 

Рис. 10. Сравнение относительных частот и плотности распределения (1)

 

3.3.5. Проверка гипотезы о нормальном распределении выборки 2

 

Для того чтобы при  уровне значимости α проверить гипотезу о нормальном распределении выборочной совокупности 2, надо:

1. Определить параметры нормального распределения по вычисленным статистическим моментам по формулам , ;
2. Найти вероятности попадания случайной величины Х в частичные интервалы по формуле , где F(x) – функция нормального распределения, , где Ф(z) – функция Лапласа;
3. Определить теоретические частоты по формуле ;
4. Найти наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле ;
5. Найти критическую точку по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы r = k-v-1, где v – количество параметров распределения, найденных по выборке (v = 2). Критическую точку находят по таблице критических точек распределения χ²;
6. Сделать вывод: принять или не принять гипотезу о нормальном распределении выборочной совокупности 2;
7. Нарисовать на одних осях графики плотности нормального распределения и гистограммы относительных частот [5].

Вычисления  для выборки 2 представлены в таблице 11.

 

 

 

 

 

 

Таблица 11

Вычисление наблюдаемого значения критерия для выборки 2

xi	xi+1	ni	F(xi,a,σ)	F(xi+1,a,σ )	Pi
1	-2,17	2	-1,45	6	0,015	0,073	0,058
2	-1,45	3	-0,74	19	0,073	0,229	0,156
3	-0,74	4	0,0	27	0,229	0,489	0,259
4	0,0	5	0,68	22	0,489	0,753	0,264
5	0,68	6	1,40	16	0,753	0,919	0,166
6	1,40	7	2,11	9	0,919	0,983	0,064
7	2,11	8	2,82	1	0,983	0,998	0,015
1	-2,17	2	-1,45	6	0,015	0,073	0,058
Σ							2,795

 

Уровень значимости α для проверки гипотезы о нормальном распределении выборочной совокупности 2 выбирается равным 0,05, а число степеней свободы r определяется по формуле .

 

Таблица 12

Проверка гипотезы о  нормальном распределении выборки 2

Нулевая гипотеза Н0: выборочная совокупность 2 имеет нормальное распределение с параметрами и .

Число степеней свободы:

Уровень значимости a = 0,05

Критическая точка

Наблюдаемое значение критерия Пирсона

Критическая область :

Область принятия гипотезы :

Условие принятия Н0 :

Условие непринятия  Н0 :

Результат проверки гипотезы: гипотезу принять

 

 

 

Рис. 10. Сравнение относительных частот и плотности распределения (2)

 

3.3.6. Проверка гипотезы о показательном распределении выборки 3

 

Для того чтобы при  уровне значимости α проверить гипотезу о показательном распределении выборочной совокупности 3, надо:

1. Принять в качестве  оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней: ;

2. Найти вероятности  попадания случайной величины Х в частичные интервалы по формуле [6];

3. Определить теоретические частоты по формуле ;

4. Найти наблюдаемое  значение критерия Пирсона  по  
формуле ;

5. Найти критическую  точку  по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы r. Критическую точку находят  по таблице критических точек распределения χ² ;

6. Принять или не  принять гипотезу о показательном  распределении выборочной совокупности 3;

7. Нарисовать на одних  осях графики плотности показательного распределения и гистограммы относительных частот.

Вычисления  для выборки 3 представлены в таблице 13.

 

 

 

 

Таблица 13

Вычисление наблюдаемого значения критерия для выборки 3

 

xi	xi+1	ni	λхi	λхi+1			Pi
0	5	41	0	0,543	1	0,5807	0,4193	41,93	0,021
5	10	22	0,543478261	1,087	0,5807	0,3372	0,2435	24,35	0,226
10	15	15	1,086956522	1,630	0,3372	0,1958	0,1414	14,14	0,052
15	20	13	1,630434783	2,174	0,1958	0,1137	0,0821	8,21	2,793
20	25	5	2,173913043	2,717	0,1137	0,0660	0,0477	4,77	0,011
25	30	2	2,717391304	3,261	0,0660	0,0384	0,0277	2,77	0,214
30	35	1	3,260869565	3,804	0,0384	0,0223	0,0161	1,61	0,230
35	40	1	3,804347826	4,348	0,0223	0,0129	0,0093	0,93	0,005
Σ									3,552