Статистическая обработка экспериментальных данных

Федеральное агентство  по образованию

Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н Ельцина

Высшая школа экономики  и менеджмента

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

на тему:

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА  ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

 

по дисциплине:

Математическая статистика

 

 

 

 

Исполнитель:        Ананьин А. П.

ЭМ-201601

Руководитель:        Тимофеева Г.А.

 

 

 

 

 

 

Екатеринбург

2012

Содержание

 

ЗАДАНИЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

Целью курсовой работы является формирование умения анализировать  статистические данные и определять их распределения. Выполнение курсовой работы  обеспечивает углубление знаний о математических моделях вероятностных явлений, методах оценки параметров распределений и проверки  статистических гипотез, а также развивает навыки работы с графическими и статистическими программами.

Выполнение курсовой работы «Статистическая обработка экспериментальных данных» предусматривает исследование студентами трех выборочных совокупностей объемом по сто наблюдений каждая.

Исследование выборочной совокупности включает следующие этапы:

1. Составление статистических распределений выборочных совокупностей.

2. Нахождение параметров  статистических распределений.

3. Установление законов распределения выборочных совокупностей.

 

ВВЕДЕНИЕ

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные  явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных - результатов наблюдений.

Современная математическая статистика разрабатывает способы  определения числа необходимых  испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Целью курсовой работы является формирование умения анализировать статистические данные и определять их распределения. Выполнение курсовой работы  обеспечивает углубление знаний о математических моделях вероятностных явлений, методах оценки параметров распределений и проверки  статистических гипотез, а также развивает навыки работы с графическими и статистическими программами.

Проведение исследования выборочных совокупностей можно  успешно осуществлять с помощью  универсального табличного процессора Excel, возможности которого мне и предстоит изучить.

 

РАЗДЕЛ  1. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Первые работы, в которых  зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки  создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI - XVII вв.).

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654 - 1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др.

Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П.Л.Чебышева (1821 - 1894) и его учеников А.А. Маркова (1856 - 1922) и А.М. Ляпунова (1857 - 1918). В  этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам (С.Н.  Берштейн, В.И.  Романовский, А.Н. Колмогоров, А Я. Хинчин и др.). В настоящее время ведущая роль в создании новых ветвей теории вероятностей так же принадлежит российским математикам.

Математическая статистика возникла в XVII в. и развивалась параллельно с теорией вероятности.

В XX в. наиболее существенный вклад в математическую статистику был сделан советскими математиками, а так же английскими (Стьюдент, Р. Фишер, Э. Пирсон) и американскими (Ю. Нейман, А. Вальд) учеными.

 

РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, неизвестное заранее, какое именно.

2.1. Основные законы распределения  непрерывных случайных величин

2.1.1. Функция  распределения вероятностей случайной  величины

 

Функцией распределения называют функцию F(х), определяющую вероятность того, что непрерывная случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее числа х:

.                                                    

Плотностью  распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):

.                                                    

2.1.2. Числовые  характеристики случайных величин

 

Математическое  ожидание М(Х) непрерывной случайной величины, распределенной на интервале (х₁; х₂), характеризует ее среднее значение и определяется по формуле

         

                                                   

Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины, распределенной на интервале (х₁; х₂), характеризует ее рассеяние относительно математического ожидания и определяется по формуле

  .                               

Среднее квадратическое отклонение σ(Х) случайной непрерывной величины определяется по формуле

.

Начальным моментом порядка s случайной величины Х называют математическое ожидание величины Х^s:

.

В частности, .

Начальный момент первого  порядка случайной величины Х соответствует ее математическому ожиданию.

Центральным моментом порядка s случайной величины Х называют математическое ожидание величины :

.

В частности, центральный  момент первого порядка  случайной величины Х равен нулю: , а центральный момент второго порядка равен ее дисперсии .

Центральный момент четвертого порядка  случайной величины Х характеризует «крутость» или островершинность графика ее плотности распределения и служит для вычисления эксцесса , который определяется по формуле .                                                           

Эксцесс положительный, если кривая распределения имеет  острую вершину. Эксцесс отрицательный, если кривая распределения имеет пологую вершину [1].

2.1.3. Равномерное  распределение вероятностей

 

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале (a; b), которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение:

                                                                   

Функция равномерного  распределения на интервале (a; b) имеет вид:

                                           

График плотности равномерного распределения вероятностей представлен на рис.1.

        

     

 

Характеристики равномерного распределения определяются по формулам:

1) математическое ожидание  ;                                              

2) дисперсия  ;                                                                      

3) среднее квадратическое  отклонение  ;                             

4) асимметрия A_s = 0;                                                                                 

5) эксцесс  .                                                                                   

Вероятность попадания  случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, в заданный интервал (х₁; х₂) определяется по формуле .                                            

2.1.4. Показательное распределение вероятностей

 

Показательным (экспоненциальным) называют распределение непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью   

                                                                       

где λ – постоянная положительная величина.

Функция показательного распределения  имеет вид:

                                                                                                                                  

График плотности показательного распределения вероятностей представлен на рис. 2.

Рис. 2. График плотности  показательного распределения вероятностей

 

Характеристики показательного распределения  определяются по формулам (2) – (4):

1) математическое ожидание  ;                                                    

2) дисперсия  ;                                                                               

3) среднее квадратическое отклонение .                                    

Вероятность попадания  случайной величины Х, распределенной по показательному закону, в заданный интервал (х₁; х₂) определяется по  
формуле                 .                                                

2.1.5. Нормальное  распределение

 

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

                                                                             

 График плотности  нормального распределения представлен на рис. 3.

Рис. 3. График плотности нормального  распределения вероятностей

 

Математическое ожидание нормального  распределения равно  
параметру а. Среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру σ. Коэффициент асимметрии и эксцесс нормального распределения равны нулю: и .

Вероятность попадания нормально  распределенной случайной величины Х в заданный интервал (х₁; х₂) определяется по формуле (1):

                   ,                             

где Ф(х) – функция Лапласа,

                                                       .                                  

Значения функции Ф(х) приведены в таблице (приложение 1) [2].

 

2.2. Анализ статистических распределений

Математическая  статистика – это раздел математики, в котором изучаются математические методы планирования экспериментов, систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических целей.

Методы математической статистики обосновывают способы группировки и анализа статистических сведений о качественных и количественных признаках объектов различной природы.  Проведение обследования каждого объекта большой совокупности относительно интересующего признака или физически невозможно или экономически нецелесообразно. Для установления статистических закономерностей случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

2.2.1. Выборочная  совокупность

 

Выборочной  совокупностью, или просто выборкой, называют совокупность случайно отобранных объектов. Объемом n выборочной совокупности называют число объектов этой совокупности [2].

Интервальным статистическим распределением выборки называют перечень интервалов и соответствующих им частот n_i или относительных частот (в качестве частоты n_i, соответствующей интервалу, принимают количество наблюдений, попавших в этот интервал). Для  визуального восприятия интервального статистического распределения строят гистограмму.

Для распределения наблюдений по интервалам необходимо найти длину интервала h, определяемую как отношение разности между максимальным X_maх и минимальным X_min элементами выборки к  количеству интервалов k

                                       .                                              

Желательно перед вычислением длины интервала h максимальное X_maх и минимальное X_min значения выборки округлить до целых или удобных значений.