Статистическая обработка экспериментальных данных

Количество интервалов k (целое число) целесообразно выбрать не менее 7, но и не более 15 или определить по формуле Старджесса

,                                                      

где n – объем выборки.

Если k, вычисляемое по формуле Старджесса,  нецелое число, то в качестве числа интервалов можно выбрать ближайшее к k целое число, не меньшее k.

2.2.2. Статистические оценки параметров распределения

 

Выборочной  средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если все значения х₁, х₂, ….., х_n выборки объема n различны, то

.

Если значения признака  х₁, х₂, ….., х_k имеют соответственно частоты , причем n₁+n₂+……+n_k = n, то

            

.                                             

Для характеристики рассеяния  значений количественного признака Х выборки вокруг своего среднего значения вводят такой параметр, как выборочная дисперсия.

Выборочным средним  квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

                                               .                                                   

Коэффициент асимметрии статистического распределения определяется по формуле

                                             .                                    

Эксцесс статистического распределения определяется по формуле

                                        .                             

Относительной характеристикой  рассеивания случайной величины выступает коэффициент вариации V, который вычисляется как отношение среднего квадратического отклонения и выборочной средней по формуле

                                                              .                                                    

2.2.3. Метод моментов

 

Если гистограмма относительных частот выборочной совокупности близка к плотности теоретического распределения, то  можно найти неизвестные параметры теоретического  распределения с помощью метода моментов. 

Метод моментов – это определение неизвестных параметров статистического распределения путем приравнивания теоретических моментов рассматриваемого распределения соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.

Основой рассматриваемого  подхода  выступает тот факт, что начальные и центральные эмпирические моменты  являются состоятельными оценками соответственно начальных и центральных теоретических моментов того же порядка. Метод моментов предложен К. Пирсоном.

Для нахождения параметра λ показательного распределения  необходимо приравнять начальный момент первого порядка показательного распределения начальному моменту первого порядка эмпирического распределения:

                                                                                                                     

Для нахождения параметров а и σ нормального распределения необходимо:

1) приравнять начальный  момент первого порядка нормального  распределения к начальному моменту  первого порядка эмпирического распределения:

                                                                ;                                                      центральный момент второго порядка нормального распределения к центральному моменту второго порядка эмпирического распределения:

            

.                                                  

Для нахождения параметров a и b равномерного распределения необходимо:

1) приравнять начальный момент  первого порядка равномерного  распределения к начальному моменту первого порядка эмпирического распределения:

                                                                 ;                                                                                                   

2) центральный момент второго  порядка  равномерного распределения  к центральному моменту второго  порядка эмпирического распределения:

                                                                .                                                                                                

Параметры равномерного распределения a и b можно определить по формулам:

.

Начальные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков  статистического распределения приравниваются соответственно к начальным моментам третьего и четвертого порядков случайной величины:

  и .

Центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков  статистического распределения приравниваются соответственно к центральным моментам третьего и четвертого порядков  случайной величины:

  и  [3].

2.2.4. Проверка статистических гипотез

 

Установление  закона распределения выборочной совокупности проводится через проверку статистических гипотез.

Статистической  называют гипотезу о виде неизвестного распределения. Статистические гипотезы бывают двух видов: нулевая (выдвигаемая) гипотеза Н₀ и конкурирующая (противоречащая нулевой) Н₁. 

Проведение проверки статистическими методами приводит к появлению ошибок двух родов:

1) ошибка первого рода – отвержение правильной гипотезы;

2) ошибка второго рода – принятие неправильной гипотезы.

Вероятность совершить  ошибку первого рода называют уровнем значимости и обозначают через α. Наиболее часто уровень значимости принимают 0,05, что означает наличие  риска отвергнуть правильную гипотезу в пяти случаях из ста.

Для проверки нулевой  гипотезы используется специально подобранная  случайная величина, которая называется статистическим критерием.

Наблюдаемым значением критерия называют его значение, вычисленное по выборке.

После выбора определенного  критерия множество всех его возможных  значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другое – при которых она принимается.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.

Критической точкой называют точку, отделяющую критическую область от области принятия гипотезы. Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку.

Основной принцип проверки статистических гипотез формулируется следующим образом: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, – гипотезу принимают. Для проверки гипотезы о закономерности распределения выборочной совокупности применяется критерий Пирсона (хи-квадрат), критические точки которого находят по таблице «Критические точки распределения χ²».

Нулевую гипотезу следует принимать, если наблюдаемое значение критерия Пирсона меньше значения критической точки . Нулевую гипотезу следует отвергнуть, если наблюдаемое значение критерия Пирсона больше значения критической точки .

Для вычисления наблюдаемого значения критерия Пирсона необходимо сравнить эмпирические и теоретические частоты каждого интервала статистического распределения выборки по формуле

                              , где k – количество интервалов.

Эмпирическая частота  равна количеству наблюдений в выборке, попавших в данный интервал. Теоретическая частота вычисляется по формуле                                           ,                                                   

где Р_i – вероятность попадания случайной величины Х теоретического распределения в частичный интервал ; n – объем выборки.

Выбор теоретического распределения  определяется примерным совпадением вида гистограммы относительных частот статистического распределения  с графиком плотности соответствующего распределения случайной величины Х (рис. 1, 2, 3). Результатом проведенного сравнительного анализа выступает выдвижение гипотезы о виде распределения выборочной совокупности и ее последующая проверка.  

Для подтверждения выдвигаемой  гипотезы сравниваются:

1) коэффициент асимметрии  статистического распределения с коэффициентами асимметрии равномерного и нормального распределений ( );

2) эксцесс  статистического распределения с эксцессами равномерного ( ) или нормального распределений ( );

3) коэффициент вариации V статистического распределения с коэффициентами вариации показательного ( ) распределения.

 

РАЗДЕЛ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫБОРОЧНЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ

Исследование выборочной совокупности включает следующие этапы:

1. составление статистических распределений выборочных       совокупностей;
2. нахождение параметров статистических распределений;
3. установление законов распределения выборочных совокупностей. Выполнение курсовой работы предусматривает исследование трех выборочных совокупностей объемом по сто наблюдений каждая.

3.1. Статистический анализ выборочных совокупностей

Исследуемые выборки 1, 2, 3 представлены в таблицах 1, 2, 3.

Таблица 1

Выборка 1

17,85	10,99	23,47	17,80	18,95	11,52	8,78	4,84	19,06	17,33
15,05	21,71	7,43	12,36	14,03	2,47	11,19	22,61	9,04	21,71
5,38	2,26	9,05	22,50	7,62	15,36	18,95	5,35	21,70	15,47
2,12	11,56	22,76	17,37	3,55	17,15	14,22	6,05	8,36	7,78
22,28	8,47	14,48	19,94	0,33	4,71	8,73	21,71	21,41	19,79
11,00	12,07	20,96	16,40	14,01	18,35	12,06	6,07	5,68	13,35
1,87	14,83	18,74	10,08	4,07	4,28	7,73	3,32	0,05	14,19
23,13	12,15	3,88	9,69	13,80	14,88	21,63	15,52	15,74	11,31
13,40	19,51	10,62	5,15	4,12	14,73	7,03	8,68	10,16	9,62
0,11	10,69	17,76	0,70	13,46	2,56	11,14	17,62	15,37	20,36