Корреляционно-регрессионный анализ взаимосвязи производственных показателей предприятия (организации)

    По  направлению связи бывают прямыми, когда зависимая переменная растет с увеличением факторного признака, и обратными, при которых рост последнего сопровождается уменьшением функции. Такие связи также можно назвать соответственно положительными и отрицательными.

    Относительно  своей аналитической формы связи бывают линейными и нелинейными. В первом случае между признаками в среднем проявляются линейные соотношения. Нелинейная взаимосвязь выражается нелинейной функцией, а переменные связаны между собой в среднем нелинейно.

    Существует  еще одна достаточно важная характеристика связей с точки зрения взаимодействующих  факторов. Если характеризуется связь  двух признаков, то ее принято называть парной. Если изучаются более чем две переменные – множественной.

    Указанные выше классификационные признаки наиболее часто встречаются в статистическом анализе. Но, кроме перечисленных различают также непосредственные, косвенные и ложные связи. Собственно, суть каждой из них очевидна из названия. В первом случае факторы взаимодействуют между собой непосредственно. Для косвенной связи характерно участие какой-то третьей переменной, которая опосредует связь между изучаемыми признаками. Ложная связь – это связь, установленная формально и, как правило, подтвержденная только количественными оценками. Она не имеет под собой качественной основы или же бессмысленна.

    По  силе различаются слабые и сильные  связи. Эта формальная характеристика выражается конкретными величинами и интерпретируется в соответствии с общепринятыми критериями силы связи для конкретных показателей.

    В наиболее общем виде задача статистики в области изучения взаимосвязей состоит в количественной оценке их наличия и направления, а также  характеристике силы и формы влияния одних факторов на другие. Для ее решения применяются две группы методов, одна из которых включает в себя методы корреляционного анализа, а другая – регрессионный анализ. В то же время ряд исследователей объединяет эти методы в корреляционно-регрессионный анализ, что имеет под собой некоторые основания: наличие целого ряда общих вычислительных процедур, взаимодополнения при интерпретации результатов и др.

    Поэтому в данном контексте можно говорить о корреляционном анализе в широком  смысле – когда всесторонне характеризуется взаимосвязь. В то же время выделяют корреляционный анализ в узком смысле – когда исследуется сила связи – и регрессионный анализ, в ходе которого оцениваются ее форма и воздействие одних факторов на другие.

    Задачи  собственно корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

    Задачи  регрессионного анализа лежат в  сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значении зависимой переменной.

    Решение названных задач опирается на соответствующие приемы, алгоритмы, показатели, применение которых дает основание говорить о статистическом изучении взаимосвязей. 
 
 
 

3. Корреляционно-регрессионный  анализ

 

    Для выявления наличия связи, ее характера  и направления в статистике используют методы: приведения параллельных данных; аналитических группировок; графический, корреляции.

    Корреляционно-регрессионный анализ включает в себя измерение тесноты, направления связи и установление аналитического выражения (формы) связи (регрессионный анализ).

    Одним из методов корреляционно-регрессионного анализа является метод парной корреляции, рассматривающий влияние вариации факторного признака x на результативный y. Аналитическая связь между ними описывается уравнениями:

    прямой

    параболы

    гиперболы и т.д.

    Оценка  параметров уравнения регрессии осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных y_i от выровненных (теоретических) y_xi

    (1)

    Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии имеет вид:

          (2)

    Для оценки типичности параметров уравнения  регрессии используется t-критерий Стьюдента. При этом вычисляются фактические значения t-критерия для параметров. Полученные фактические значения сравниваются с критическим, которые получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы.

    Полученные  при анализе корреляционной связи  параметры уравнения регрессии  признаются типичными, если t фактическое больше t критического.

    По  приведенным на типичность параметрам уравнения регрессии производится синтезирование (построение) математической модели связи. При этом параметры  примененной в анализе математической функции получают соответствующие количественные значения: один параметр показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов, а другой параметр – на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при изменении факторного на единицу его собственного измерения.

    Проверка  практической значимости синтезированных  в корреляционно-регрессионном анализе  математических моделей осуществляется посредством показателей тесноты  связи между признаками x и y.

    Для статистической оценки тесноты связи применяются следующие показатели вариации:

    1. общая дисперсия результативного  признака, отображающая общее влияние всех факторов;

    2. факторная дисперсия результативного признака, отображающая вариацию y только от воздействия изучаемого фактора, которая характеризует отклонение выровненных значений y_x от их общей средней величины y;

    3. остаточная дисперсия, отображающая  вариацию результативного признака  y от всех прочих, кроме x факторов, которая характеризует отклонение эмпирических (фактических) значений результативного признака y_i от их выровненных значений y_xi.

    Соотношение между факторной и общей дисперсиями  характеризует меру тесноты связи  между признаками x и y

            (3)

    Этот  показатель называется индексом детерминации (причинности). Он выражает долю факторной дисперсии, т.е. характеризует, какая часть общей вариации результативного признака y объясняется изменением факторного признака x. На основе предыдущей формулы определяется индекс корреляции R:

           (4)

    Используя правило сложения дисперсий, можно вычислить индекс корреляции.

          (5)

    При прямолинейной форме связи показатель тесноты связи определяется по формуле  линейного коэффициента корреляции r:

    (6)

    Для оценки значимости коэффициента корреляции r применяется t-критерий Стьюдента с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы k.

    Если  , то величина коэффициента корреляции признается существенной.

    Для оценки значимости индекса корреляции R применяется F-критерий Фишера. Фактическое значение критерия F_R определяется по формуле:

      ,      (7)

      где m – число параметров уравнения регрессии.

    Величина  F_R сравнивается с критическим значением F_K, которое определяется по таблице F – критерия с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы k₁=m-1 и k₂=n-m.

    Если  F_R> F_K, то величина индекса корреляции признается существенной.

    По  степени тесноты связи различают  количественные критерии оценки тесноты  связи.

     Таблица Чэддока 

 

    С целью расширения возможностей экономического анализа используются частные коэффициенты эластичности:

             (8)

    Он  показывает, насколько процентов в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного на 1%.

 

4. Пример для теоретической части

 

    Имеются следующие данные о производстве молочной продукции и стоимости  основных производственных фондов по 15 предприятиям Московской области. Произведем синтез адекватной экономико-математической модели между изучаемыми признаками на базе метода наименьших квадратов. С экономической точки зрения сформулируем выводы относительно исследуемой связи.

    Зависимость y от x найдем с помощью корреляционно-регрессионного анализа. Рассмотрим прямолинейную форму зависимости y от x: