Решение геометрических задач на нахождение максимумов и минимумов аналитическими методами

    Анализируя  программный материал по математике,  выявим, что имеется достаточное  количество  понятий,  правил  и  задач,  при изучении которых  можно  использовать  проблемное  обучение.  В 5 классе выделены следующие темы: «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями», «Смешанные числа» и так далее.

    Проблемные  уроки  проводились  по  следующей  схеме.  Сначала  учитель ставит для всех общую проблему, формулирует последовательно на всех  уровнях проблемности, начиная с самого высокого. Чтобы определить, кто  в  состоянии вывести правило на каждом из четырех уровней проблемности  - «как  ученик  шел  к  открытию правила»,   учащиеся  должны  фиксировать результаты  своих попыток вывести правило, записать его на листочках,  ставя  порядковый  номер  проблемности.

    Это дает возможность учителю контролировать работу каждого ученика  на  всех этапах вывода правила. Если  учащиеся  выводили  и  фиксировали  правило  на самом высоком или последующих уровнях проблемности кроме низкого,  они  и  в дальнейшем  должны  были   продолжать   работу   над   правилом:   проверять формулировку  в  соответствии  с  показами  и,  если   нужно,   уточнять   и совершенствовать ее.

    В случае, когда отдельные ученики  не  справляются  с  заданием  ни  на одном уровне проблемности, учитель  имеет  возможность  определить  характер затруднений, их причины  и  своевременно  помочь;  вместе  с  тем  он  имеет возможность  формировать  у  детей   соответствующие   операции,   развивать творческое мышление.

    После того как учащиеся записали формулировку правила  при  постановке задания на низком уровне проблемности, учитель спросит некоторых из  них, какое они правило вывели, просит произнести это правило в  их  формулировке.

    Вслед за этим учитель формулировал правило  так, как оно надо в  учебнике,  и только после этого сообщал, какое правило изучено, записывал тему на  доске.

    Закрепление знаний и формирование  умений  и  навыков  проводилось  в  форме письменного и устного выполнения упражнений из учебника.

    Такая  организация  работы  отнимает  немало   времени,   однако   она рациональна: во-первых, все дети, используя помощь учителя, должны думать  и писать, совершенствуя формулировку;  во-вторых,  учитель  имеет  возможность проанализировать попытки, ход открытия  правила  каждым  учеником,  то  есть выявить индивидуальные  особенности  мыслительной  деятельности;  в-третьих, каждый ученик убеждается в  том,  что  если  будет  внимательным,  подумает, применит  имеющиеся  знания,  то  обязательно  справится  с   заданием;   в- четвертых, подсказки учителя направляют  мысль  ученика,  помогают  овладеть мыслительными операциями: сравнением, анализом,  синтезом,  обобщением,  при этом ученики, которые овладели мыслительными операциями, упражняются в  них, а другие обучаются им постепенно;  в-пятых,  воспитываются  ценные  качества личности – способность к напряженному умственному труду,  самостоятельность, пытливость, трудолюбие;  в-шестых,  формулируется  математическая  зоркость, устойчивость,  устойчивые  математические  навыки,  развивается   творческое мышление.

    При такой  организации  проблемного  урока  нет  изначального  деления учащихся на «сильных», «средних»  и  «слабых»  -  задание  всем  одинаковое; конечный результат – формулировка правила на одном из  уровней  проблемности – показатель уровня самостоятельности и развитие мыслительной  деятельности, уровня развития творческого мышления учащихся.

    После изучения правила на следующем  уроке  проводилась  проверка:  а) знания формулировки правила «»;  б) степени  сформированности  умений  и  навыков   в   виде   самостоятельности проверочной работы.

    Приведем  примеры заданий на разных уровнях проблемности в 5 классе. 

     Доли.

          Самый высокий уровень.

    Реши  задачу: Пассажир, проехав полпути, заснул.  Когда  он  проснулся, ему осталось ехать еще половину того пути,  что  он  проехал  спящим.  Какую часть всего пути он проспал? 

          Высокий уровень.

    Реши  задачу, сделав рисунок.

          Пассажир, проехав полпути, заснул. Когда он  проснулся,  ему   осталось ехать еще половину того пути, что он проехал спящим. Какую часть всего  пути он проспал? 

          Средний уровень.

    Посмотри внимательно на рисунок и реши задачу.

          Пассажир, проехав полпути, заснул. Когда он  проснулся,  ему   осталось ехать еще половину того пути, что он проехал спящим. Какую часть всего  пути он проспал?

              

     

             Низкий уровень.

    Дана  задача и рисунок к ней.

          Подсказка: Вторую часть пути  раздели на равные  части,  одну  из  этих частей он проехал спящим. Весь путь у нас  разделился  на  4  равные  части.

    Объясни почему и найди ответ на вопрос задачи. 

          В течении почти двух месяцев (с  27.11.06  по  19.02.2007)  проводился формирующий  эксперимент.  Уроки  математики  с  использованием   проблемных ситуаций проводились учителем Холодова Л.М.

    По  окончании  эксперимента  (18.02.2007)  мы  исследовали творческое мышление учащихся с помощью тестов  Торренса.  В следующем параграфе 3.3 диплома  мы  проведем  обработку результатов  педагогического  эксперимента,  что  позволит  проверить   нашу гипотезу на истинность. 

               
 
 
 
 
 
 

3.3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ  ПЕДАГОГИЧЕСКОГО  ИССЛЕДОВАНИЯ 

    Для проверки статистических гипотез на  основе  результатов  измерений некоторых  свойств  объектов   в   математической   статистике   разработаны специальные методы, основанные на  результатах  измерений  свойств  объектов двух зависимых выборок.

    Знаковой  критерий  предназначен  для  сравнения  состояния  некоторого свойства у членов двух зависимых выборок на основе измерений,  сделанных  по шкале не ниже порядковой.

    Пусть случайная  переменная  Х  характеризует  некоторого  свойства  в рассматриваемой  совокупности  объектов  при  первичном  измерении   данного свойства,  а  случайная  переменная  Y  характеризует  состояние  этого   же свойства в той же совокупности объектов при вторичном измерении.

    Имеется две серии наблюдений:

          x1, x2, …, xi, …, xN;

          y1, y2, …, yi, …, yN. 

    Над случайными переменными Х и Y, полученными  при  рассмотрении  двух зависимых выборок. На их основе составлено N пар вида (xi, yi), где xi,  yi – результат двукратного измерения одного и того  же  свойства,  у  одного  и того же объекта.

    Элементы  каждой пары xi, yi сравниваются между собой по  величине,  и паре присваиваются знак «+», если xi < yi, знак «-», если xi > yi и «0»,  если

    xi=yi.

    Допущения. Для применения  знакового  критерия  необходимо  выполнение следующих требований: 1) выборки случайные; 2) выборки независимые; 3)  пары (xi, yi) взаимно независимые; 4) изучаемое свойство объектов распределено  в обеих совокупностях, из которых сделаны выборки; 5) шкала  измерений  должна быть не ниже порядковой.

    В тех случаях, когда имеются достаточные  основания  предполагать,  что результаты второго измерения изучаемого свойства у одних и тех  же  объектов – yi  имеют тенденцию превышать результаты  первичного  измерения – xi, используется односторонний знаковый критерий.

    Проводится  проверка гипотез   H0: P(xi > yi)≤P(xi > yi)

      - при альтернативе H1: P(xi < yi)>P(xi > yi)

      Но отклоняется на уровне значимости α, если  наблюдаемое значение T > n-tα, где значение n-tα определяется по  формуле tα = 0,5(n+WαVn), где Wα - кванта нормального распределения, определяемый  для вероятности α. При α = 0,05 Wα = -1,64, при α = 0,02 Wα = -2,05; при α = 0,01 Wα = -2,58.

    При проверке гипотезы H0 отклоняется на  уровне  значимости  α, если T > n-tα (значение tα определяется по формуле).

    Учащиеся  выполняли тесты Торренса, направленные на проверку их  уровня творческого мышления.

    Затем была проведена система уроков проблемного  характера. После этого учащиеся выполнили те  же  тесты,  которые  оценивали  по  двенадцатибальной системе.

    Данный  эксперимент  проводился   с   целью   проверки   эффективности использования проблемных  ситуаций  на  математике  как  средства  повышения уровня мышления школьников.

    Результаты  двукратного выполнения работы 17 учащихся запишем в форме таблицы (см. таблицу 1).

    Проверяются гипотеза H0: уровень творческого мышления не  повысился после серии уроков с использованием проблемных ситуаций –  при  альтернативе H1:  уровень творческого мышления  повысился после серии   уроков   с использованием проблемных ситуаций.

    В соответствии с содержанием гипотез  следует  применить  односторонний знаковый критерий. Подсчитаем  значение  статистики  критерия  T1  равное числу  положительных  разностей  отметок,  полученных  учащимися.   Согласно данным таблицы, Т=9. Из них 17 пар в 6  случаях разность  измерений равна нулю, следовательно, остается только 11 (17-6 = 11) пар, то есть n =11.

    Для  определения  критических  значений  статистики   критерия   n-tα используем таблицу Б, так как n < 100. Для уровня значимости  α = 0,05 при n =11 значение n-tα = 11-2,78 = 8,22. Следовательно, выполняется неравенство Tнаблюд. > n-tα (9 > 8,22).  Поэтому в соответствии с правилом принятие решения  нулевая  гипотеза  отклоняется  на уровне  значимости  α = 0,05  и принимается   альтернативная   гипотеза,   что позволяет  сделать  вывод  об  повышении  уровня  творческого  мышления,   а следовательно и их развития, после серии уроков математики с  использованием проблемных ситуаций (системы карточек с разной степенью проблемности  одного и того же задания). 

                   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.4. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО  СОВЕРШЕНСТВОВАНИЮ  ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ТВОРЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ

    МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ