Изучение величин в начальных классах

2-й этап: сравнение однородных  величин (визуально, с помощью  ощущений, наложением, приложением,  путём использования различных  мерок).

3-й этап: знакомство с  единицей данной величины и  с измерительным прибором.

4-й этап: формирование  измерительных умений и навыков.

5-й этап: сложение и  вычитание однородных величин,  выраженных в единицах одного  наименования.

6-й этап: знакомство с  новыми единицами величин в  тесной связи с изучением нумерации  и сложения чисел. Перевод однородных  величин, выраженных в единицах  одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух  наименований, и наоборот.

7-й этап: сложение и  вычитание величин, выраженных  в единицах двух наименований.

8-й этап: умножение и  деление величин на число.

В программах развивающего обучения предусмотрено рассмотрение основных величин, их свойств и отношений  между ними с тем, чтобы показать, что числа, их свойства и действия, производимые над ними, выступают  в качестве частных случаев уже  известных общих закономерностей  величин. Структура данного курса  математики определяется рассмотрением  последовательности понятий: ВЕЛИЧИНА –> ЧИСЛО

Понятие величины в начальном  курсе математики не определяется, то есть  даётся без определения. Понятие величина раскрывается на конкретных примерах и основывается на опыте  ребёнка. Величины в начальном курсе  математики рассматривают как свойство предметов или явлений, проявляющееся  в результате сравнения. Особенно явно это проявляется в альтернативных программах Давыдова, Петерсон.

1.2 Методики преподавания некоторых величин измерения

Длина. С первых дней обучения в школе ставится задача уточнять пространственные представления детей. Этому помогают упражнения на сравнение предметов по протяженности, например: «Какая книга тоньше (книги прикладываются друг к другу)? Кто ниже: Саша или Оля (дети становятся рядом)? Что глубже: ручей или река (по представлению)?»

В процессе этих упражнений отрабатывается умение сравнивать предметы по длине, а также обобщается свойство, по которому происходит сравнение - линейная протяженность, длина.

Важным шагом в формировании данного понятия является знакомство с прямой линией и отрезком как  «носителем» линейной протяженности, лишенным по существу других свойств. Сравнивая отрезки на глаз, дети получают представление об одинаковых и неодинаковых по длине отрезках.

На следующем этапе  происходит знакомство с первой единицей измерения отрезков. Из множества  отрезков выделяется отрезок, который  принимают за единицу. Дети узнают его  название и приступают к измерению  с помощью этой единицы. Имеются  различные точки зрения по вопросу  о том, какую единицу измерения  вводить первой. В жизненной практике дети наблюдают чаще всего измерения  с помощь метра. Метр - основная единица  длины, метр существует в виде отдельного эталона (мерки). С помощью его  учителю легко показать процесс  измерения (как откладывается мерка  на отрезке, как происходит подсчёт  единиц измерения). Поэтому некоторые  методисты рекомендуют первой единицей измерения вводить метр. Однако при  рассмотрении метра трудно провести достаточное количество упражнений в измерении отрезков так, чтобы  работал каждый ученик, что совершенно необходимо для понимания самого процесса измерения. Другие методисты  предлагают первой единицей измерения  ввести сантиметр, что позволит каждому  ученику выполнить, сидя за партой, большое количество работ по измерению. Это не исключает возможности  на подготовительном этапе, опираясь на жизненные наблюдения детей, вспомнить, чем и как измеряют тесьму, ткани, ленту, и т.п., померить для примера 2-3 м. шпагата или измерить длину  доски. Не устанавливая соотношений  между метром и сантиметром, можно  ввести сантиметр как мерку для  измерения небольших отрезков, длина  которых меньше метра.

Чтобы дети получили наглядное  представление о сантиметре, следует  выполнить ряд упражнений. Например, полезно, чтобы они сами изготовили макеты сантиметра (нарезали из узкой  полоски бумаги в клетку полоски  длиной в 1 см, начертили отрезки  длиной в 1 см, нашли что ширина мизинца примерно равна 1 см.

Далее учащихся знакомят с  измерением отрезков. Чтобы дети ясно поняли процесс измерения и что  показывают числа, получаемые при измерении, целесообразно постепенно переходить от простейшего приёма укладывания  моделей сантиметра и их подсчёта к более трудному - отмериванию («прошагать»  меркой по отрезку и подсчитать, сколько раз отложилась единица измерения). Только затем приступать к измерению способом прикладывания линейки или рулетки к измеряемому отрезку.

Многие методисты советуют сначала пользоваться линейками, которые  изготовляются детьми из листа бумаги в клеточку. На этих линейках наносятся  сантиметровые деления, но цифры  не пишутся. Этими линейками дети пользуются при измерении отрезков, чертят отрезки на нелинованной бумаге.

Для формирования измерительных  навыков выполняется система  разнообразных упражнений. Это измерение  и черчение отрезков.

Позднее при нумерации  чисел в пределах 100, вводятся новые  единицы измерения - дециметр, а затем  метр. Работа происходит в таком  же плане, как и при знакомстве с сантиметром. Затем устанавливают отношения между единицами измерения (сколько сантиметров содержится в 1 дм. В 1м) Дети упражняются в измерении с помощью двух разных мерок (например длина крышки парты 4 дм 5 см, длина доски 2м 8 дм.). С этого времени приступают к сравнению длин на основе сравнения соответствующих отрезков.

Затем рассматривают преобразования величин: замену крупных величин  мелкими (3 дм 5 см = 35 см) и мелких единиц крупными (48 см = 4 дм 8 см). Постепенно учащиеся осознают, что числовое значение длины зависит от выбора единицы измерения (например, длина одного и того же отрезка может быть обозначена и как 3 дм и как 30 см.).

Сравнение двух длин, выраженных в единицах двух наименований, теперь выполняют на основе преобразования их сравнения числовых значений, при  которых стоят одинаковые наименования единиц измерения (4 дм 8 см > 39 см, так как 48 см > 39 см, или 4 дм 8 см > 3 дм 9 см).

Во 1 классе знакомство с  единицами длины продолжается: дети знакомятся с миллиметром, а позднее  с километром.

Введение миллиметра обосновывается необходимостью измерять отрезки, меньшие 1 см. Наглядное представление о  миллиметре дети получают, рассматривая отрезки деления на обычной масштабной линейке или на миллиметровой  бумаге. Сразу же устанавливается - сколько миллиметров в 1 см, и дети приступают к измерениям с точностью  до миллиметра. Для развития глазомера  полезно, прежде чем измерять заданные отрезки (в учебниках на карточке), прикинуть на глаз их длину. Хорошим  средством закрепления измерительных  графических и вычислительных навыков  являются задачи на измерение и упражнения в построении отрезков и геометрических фигур.

При знакомстве с километром полезно провести практические работы на местности, чтобы сформировать представление  об этой единице измерения. Чаще всего  дети вместе с учителем проходят расстояние, равное 1 км (полезно заметить время, за которое удалось пройти это  расстояние). Измеряют пройденное расстояние либо шагами (2 шага примерно составляют 1 м) либо с помощью рулетки или  мерной веревки. Попутно дети упражняются  в определении некоторых расстояний на глаз.

В 2 классе учащиеся составляют и заучивают таблицу всех изученных  единиц длины и их отношений. Таблица  усваивается в процессе многократных и систематических упражнений. Кроме того, продолжается работа по преобразованию и сравнению длин, выраженных в единицах двух наименований, изучаются письменные приемы вычисления над ними.

Начиная со 1 класса, в процессе решения задач знакомятся с нахождением  длины косвенным путём. Например, зная длину одного класса и числа  классов на этаже, вычисляют длину  здания школы, зная высоту комнат и  количество этажей дома, можно вычислить  приблизительно высоту дома и т.д. Работу над этой темой полезно продолжать и на других предметах и на внеклассных  занятиях.

Ёмкость. Еще в пропедевтический период, развивая количественные представления учащихся, учили детей измерять песок ложками, формочками, выясняли, в какую формочку песка входит меньше (больше). Во втором классе эта работа продолжается: учащиеся сравнивают емкость или вместимость, различных сосудов. Вначале сравнение проводиться на глаз (сосуды значительно отличаются по своей ёмкости). Например, предлагается сравнить, куда войдет воды больше: в банку или в кастрюлю. Перед учащимися ставятся пол-литровая банка и кастрюля емкостью 2 – 3 л, измеряется, сколько банок воды входит в кастрюлю.

Выявляя имеющийся у учащихся опыт, учитель предлагает им стандартные банки вместимостью 1л, 2л, 3л. Некоторые ребята знают вместимость этих банок, некоторые же не имеют о ней никакого представления. Учитель выясняет также, знают ли учащиеся, какими мерами измеряют молоко, керосин, бензин, растительное масло, вообще жидкости. Затем он показывает детям литровую кружку, а затем поочередно переливает воду из неё в бутылку, а затем в банку. Так учащиеся подводятся к выводу, что в банку вмещается столько же воды сколько и в кружку, и столько же, сколько в бутылку, т.е. равное количество воды – 1 л. Чтобы этот вывод был понятен учащимся, необходимо, чтобы каждый ученик проделал эту несложную работу сам. Важно, чтобы дети запомнили это новое слово, научились его правильно произносить и записывать при числах. Учащиеся должны уметь отыскивать среди других сосудов сосуд емкостью в 1л. Далее учащиеся учатся измерять вместимость сосудов и отмеривать заданное количество в литре. Они определяют, наполняя водой, емкость банок, небольших баллонов, кастрюль, ведер. Важно развивать глазомер учащихся, т.е. умение определить емкость сосудов на глаз. Учащиеся должны запомнить емкость стандартных наиболее часто встречающихся в быту сосудов: банки емкостью 1л, 2л, 3л, 5л; бидоны емкостью 1л, 2л, 3л, 5л, 10л, 20л, 40л, ведра емкость 8л, 10л, 12л. Главный упор делается на практическую работу.

Площадь. Прежде всего, площадь выделяется как свойство плоских предметов среди других их свойств. Уже дошкольники сравнивает предметы по площади, при этом они пользуются наложением предметов или сравнивают их на глаз.

В процессе изучения геометрического  материала в 1 - 2 классах у детей  уточняются представления о площади  как о свойствах плоских геометрических фигур. Более четким становится понимание того, что фигуры могут быть различными и одинаковыми по площади.

Следует также ознакомить учащихся с нахождением приближенной площади фигуры таким способом: сосчитать  все не целые квадратные сантиметры и общее число разделить на два, затем полученное число сложить  с числом целых квадратных сантиметров, которые содержатся в данной фигуре. Для нахождения площади геометрических фигур не разделенные на квадратные сантиметры; используют палетку. Палетка - это прозрачная пластинка, разбитая на равные квадраты. Полезно такую  палетку изготовить с детьми на уроках труда. Наложив палетку на геометрическую фигуру, подсчитывают число целых  и не целых квадратных сантиметров, которые в ней содержатся. Для  нахождения площади фигур начерченных  в тетрадях, в качестве палетки  используют разлиновку тетрадей. В  это же время приступают к сопоставлению  площади и периметров многоугольников  с тем, чтобы дети не смешивали  эти понятия, а в дальнейшем четко  различали способы нахождения площади  и периметра прямоугольника. На следующем  этапе учащиеся знакомятся с приёмом  вычисления площади фигуры. Сначала  рассматривают фигуры, которые уже  разделены на квадратные сантиметры. Их площадь находят путем подсчета квадратных сантиметров в одном  ряду, а затем полученное число  умножают на число рядов. Например, если в одном ряду 6 кв. см, а таких  рядов 5, то площадь ровна 6 х 5, т.е. 30 кв. см. Очень важно при этом установить соответствие между длинной прямоугольника и числом квадратных сантиметров, прилегающих  к длине, шириной прямоугольника и числом рядов. Делается вывод: чтобы  вычислить площадь прямоугольника нужно знать его длину и  ширину и найти произведение этих чисел.

Сравнив разные способы нахождения площади, дети могут сами решить вопрос, что легче: измерить длину и ширину прямоугольника и полученные числа  перемножить или разбить прямоугольник  на квадратные сантиметры и сосчитать  их.

При изучении единиц мер  следует проводить как можно  больше практических работ по измерению  и выражению результатов намерения  в различных единицах. Если специально не привлекать к. этому внимания учащихся, то они подсчитают, что разные числа (например, 2 м - 50 см, 250 см, 25 м) характеризуется  разными величинами, т.е. происходит отрыв числа от равной величины.

Значит, надо числа, полученные от измерения, всегда записывать с наименованием  мер. Если измерения проводить одной  мерой, то получаются числа с одним  наименованием (3м, 2м 25 см 12 ч и т.д.). При записи чисел, полученных от измерения  учащиеся, плохо представляют себе реальную величину единиц мер, могут  перепутать место записи наименования единиц измерения, например, записать результат так: 30 см 5 м. Поэтому полезны  такие задания, как 50… 35 см 100 руб. 25…  ( вписать пропущенные названия мер).

Преобразования чисел, выражающих длину, массу, стоимость и др. Одна из трудностей в решении этого вопроса состоит в том, что ученики с трудом понимают, то что одна и также величина может иметь различную числовую характеристику, т.е. например, как может быть, что длина класса 7м, 70 дм, 700 см.

Числа разные, но они имеют  одну и ту же величину - длину класса. Другая трудность возникает при  выполнении преобразований, учащиеся чаще всего допускают такие ошибки.

• При замене крупных мер мелкими мерами.
• При замене мелких мер крупными мерами.

Последовательность изучения преобразований чисел полученных от измерения величин, связана с  последовательностью изучения измерений  целых неотрицательных чисел  и действий над ними.

Действия над числами, полученными в результате измерения  величин, подчиняются тем же законам, что и действия над числами  в пределах 100, 1000 и многозначными  числами. Действия над числами, полученные от измерения величин - опираются  на знание учащимися единиц измерений  и их соотношения, а также умения выразить одни меры другими.

При изучении сложения и  вычитания чисел, полученных от измерения  величин важно соблюдать определенную последовательность. Всегда решения  примера надо начинать с его предварительного анализа. Сложение и вычитание.

Действие над числами, полученными от измерения величин, выполняются также как действие над многозначными числами с  той лишь разницей, что при числах должны быть записаны наименование единиц измерения.

Сначала рассмотреть те случаи сложения и вычитания чисел, выражающих длину, массу, стоимость, в которых  не требуется производить замену однихединиц измерения другими.

Затем, рассматриваются действия над числами с разными единицами  измерения. Выполнять действия над  ними можно разными способами:

• заменить крупные меры мелкими, т.е. выразить компоненты действия в одних и тех же единицах;
• показать, что при сложении, например двух полосок длиной соответственно 5 дм и 4 см в сумме получится полоска длиной 5 дм 4 см: если взять 50 копеек и 2 рубля, то вместе будет 2 руб. 50 коп.