Моделирование в металлургии

      В принципе оптимизация линейного критерия не имеет смысла, ибо устремления, например, к максимуму линейной функции                        есть не что иное, как устремление к бесконечности свободного члена d. Задача обретает смысл только при наличии ограничений представляющих собой замкнутую область дополнительных значений варьируемых переменных  Х.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию, задачи линейного программирования на двумерном случае.

       Область допустимых значений в данном случае определяется многогранником ОАВСD. Оптимизация  линейного показателя приводит к параллельному перемещению критерия к границе области, и решение всегда находится в одной из вершин этого многогранника. В данном случае это точка В. Задачи линейной оптимизации нашли применение при решении огромного количества практических задач. Перечислим некоторые из них:

- задача оптимального  раскроя;

- задача состояния  расписаний;

- задача оптимальной  загрузки оборудования;

- задача выбора  оптимального маршрута;

- задача оптимальной  упаковки;

- оптимизация  рациона питания;

- нахождение  оптимального состава смеси. 

Методы  многомерного поиска.

       Как правило, при решении задач  оптимизации Х является не  скаляром, а вектором. Рассмотрим  наиболее простые методы поиска  оптимального решения в предположении,  что в области допустимых значений находится один экстремум. Предполагая, что больше никакой информации о критерии нет. Рассмотрение будем вести и обсуждать на двумерной задачи, тогда область допустимых значений будет представлять собой плоскость, а значение критерия будем отображать на этой плоскости в виде эквидестантных линий(линии равного уровня). Наиболее простым является метод покоординатного поиска.

    В начале выбирается шаг поиска  по каждой координате, затем фиксируются все переменные Х кроме одного. И пошагово начинается поиск наилучшего значения критерия. Найденное лучшее значение Х1 фиксируется и начинается поиск по другой переменной. Процесс поиска продолжается до тех пор пока вариации, любой из переменных не приводят к улучшению решения. Дальнейшее улучшение движения возможно лишь в том случае, если по всем переменным снизить шаг поиска. Нетрудно заметить, что эта процедура представляет собой последовательное применение  методов одномерного поиска. Поэтому кроме пошагового движения к цели  здесь возможно применение и других процедур, таких например, как дихотомия и золотое сечение.

         Покоординатный поиск, как правило,  трудоёмок и состоит из большого  числа шагов. Поэтому естественно  желание использовать процедуры  одновмернного движения с варьированием всех переменных Х. Наиболее простым из них является симплекс метод, название идёт от самой простой геометрические фигуры. Самой простой фигурой на плоскости является треугольник, в объёме пирамида, в пространстве большей размерности гипер пирамида. Число вершин у этих фигур лишь на единицу больше разности пространств в которое они погружены. В начале выбирается стартовое положение симплекса и его размеры, проводятся эксперименты в вершинах симплекса, определяется наихудшая из вершин и систем переворотов через ребро противоположное худшей вершине. Проводятся дополнительные эксперименты, процесс продолжается до тех пор, пока симплекс не начнёт вращаться вокруг одной из вершин либо качаться около одного из рёбер.

    В литературе по оптимизации имеются специальные формулы для расчёта координат вершин симплекса. Количество дополнительных экспериментов на каждом шаге определяется количеством вершин симплекса минус два, а так как количество вершин равно n+1, то количество дополнительных экспериментов будет n-2. Если сделать предположение о выпуклости критерия, то и на практике оно оказывается справедливым, то можно резко сократить количество поисковых шагов, используя, градиентные процедуры.  В них в стартовой точки поиска делается несколько пробных экспериментов и определяется направление максимального улучшения значения критерия, это направление называется градиентным, вдоль него делается большой поисковых шаг, затем вновь проводиться поисковые эксперименты и вновь определяется градиентное направление.